反比例函數中的面積問題

董淑娥

【摘要】 反比例函數的面積問題主要包含以下三種情況：一點與原點以及坐標軸上一點構成的三角形的面積，兩點與原點構成的三角形的面積，兩點兩垂線的面積問題.

【關鍵詞】 反比例函數;面積問題

1 反比例函數上一點與坐標軸上一點及原點構成三角形

過反比例函數y=kx（k≠0）的圖象上一點，向x軸或y軸作垂線，所圍成的三角形面積為12|k|.

例1 如圖1，過反比例函數y=kx（x>0）的圖象上一點A作AB⊥x軸于點B，連接AO，若S△AOB=2，則k的值為（）

（A） 2. （B） 3.

（C） 4.（D） 5.

解 根據反比例函數的系數k的幾何意義得到S△AOB=12|k|，

所以|k|=2×2=4，

所以k=±4.

由圖象，得k>0，所以k=4.

故選（C）.

例2 如圖2，已知A為反比例函數y=kx（x<0）的圖象上一點，過點A作AB⊥y軸，垂足為B.若△OAB的面積為2，則k的值為（）

（A） 2.（B）-2.

（C） 4.（D）-4.

解 因為AB⊥y軸，

所以S△OAB=12|k|=2，

所以k=±4.

由圖象，得k<0，

所以k=-4.

故選（D）.

2 反比例函數上兩點與原點構成三角形

2.1 兩交點在雙曲線的同一支上

反比例函數圖象與一次函數圖象的交點和原點所圍成的三角形面積，若兩交點在同一支上，如圖3.

方法1 作AE⊥x軸于點E，BF⊥x軸于點F，

則S△AOB=S梯形AEFB.

方法2

S△AOB=S△COD-S△AOC-S△BOD.

例3 如圖4，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于D，C，與反比例函數y=2x（x>0）的圖象交于A，B兩點，則△AOB的面積是.

解 作AE⊥x軸于點E，BF⊥x軸于點F，則

S△AOB=S梯形AEFB=12（yA+yB）（xB-xA）.

由-x+3=2x，得 x2-3x+2=0，

解得x1=1，x2=2，

所以A（1，2），B（2，1），

所以SAOB=12（2+1）（2-1）=32.

例4 如圖5，在平面直角坐標系中，點P（1，4），Q（m，n）在函數y=kx（x>0）的圖象上，當m>1時，過點P分別作x軸，y軸的垂線，垂足為點A，B;過點Q分別作x軸，y軸的垂線，垂足為點C，D.QD交PA于點E，隨著m的增大，四邊形ACQE的面積（）

（A）減小. （B）增大.

（C）先減小后增大.（D）先增大后減小.

解 由題意，得

AC=m-1，CQ=n，

則S四邊形ACQE=AC·CQ=（m-1）n=mn-n.

因為點P（1，4），Q（m，n）在函數y=kx（x>0）的圖象上，

所以mn=k=1×4=4.

所以S四邊形ACQE=4-n.

因為當m>1時，n隨m的增大而減小，

所以S四邊形ACQE隨m的增大而增大.

故選（B）.

2.1 兩交點分別在雙曲線的兩支上

反比例函數圖象與一次函數圖象的交點和原點所圍成的三角形面積，若兩交點分別在兩支上，如圖6.

方法1

S△AOB=12OD·|xB-xA|

=12·|yA-yB|.

方法2 S△AOB=S△OCD+S△BOD+S△AOC.

方法3 作AE⊥y軸，BF⊥x軸，AE與BF相交于點N，則

S△AOB=S△ABN-S△AOE-S△BOF-S矩形OENF，

或S△AOB=S△ABN-S△AON-S△BON.

例5 如圖7，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=mx的圖象交于A（-2，1），B（1，n）兩點.

（1）試確定上述反比例函數和一次函數的表達式;

（2）求△AOB的面積.

解 （1）因為點A（-2，1）在反比例函數y=mx的圖象上，

所以m=（-2）×1=-2.

所以反比例函數的表達式為y=-2x.

因為點B（1，n）也在反比例函數y=-2x的圖象上，

所以n=-2，即B（1，-2）.

把點A（-2，1），點B（1，-2）代入一次函數中，得

-2k+b=1，k+b=-2，解得k=-1，b=-1.

所以一次函數的表達式為y=-x-1.

（2）在y=-x-1中，當y=0時，得x=-1.

所以直線y=-x-1與x軸的交點為C（-1，0）.

因為線段OC將△AOB分成△AOC和△BOC，

所以S△AOB=S△AOC+S△BOC

=12×1×1+12×1×2

=12+1=32.

3 兩點兩垂線的面積問題

反比例函數圖象與正比例函數圖象的交點及由交點向坐標軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|.

如圖8，S△APP′=2|k|，

如圖9，S四邊形AMBN=2|k|.

0

例6 如圖10，反比例函數y=5x的圖象與直線y=kx（k>0）相交于A，B兩點，AC∥y軸，BC∥x軸則△ABC的面積等于.

解 直接利用上面的結論可得S△ABC=2|k|=10.