平行四邊形對角線的應用

周雪

平行四邊形的對角線互相平分是平行四邊形一條重要的性質.利用該性質可求解平行四邊形周長、面積、線段長等問題，也是歷年中考熱點問題之一.利用該性質求解問題，需根據具體問題，合理利用已知條件進行分析、求解，進而得出答案.以下列舉說明它們的應用.

1 利用對角線求周長

例1 圖1

如圖1，在平行四邊形ABCD中，BC=10，AC=14，BD=8.△AOD的周長是多少？△ABC與△DBC的周長哪個長？長多少？

解 因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以OB=OD=4，

OA=OC=7，

又因為AD=BC=10，

所以S△AOD=AD+OA+OD=10+4+7=21.

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AB=CD，

又因為S△ABC=AB+BC+AC，

S△DBC=CD+BC+BD，

所以S△ABC-S△DBC=AC-BD=14-4=6，

所以△ABC的周長比△DBC的周長長6.

2 利用對角線求面積

例2 圖2

如圖2，在平行四邊形ABCD中，AC，BD為對角線，BC=6，BC邊上的高為4，則陰影部分的面積為（）

（A） 3. （B） 6.

（C）12.（D）24.

解 因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以OA=OC，OB=OD，

AD∥BC，AB∥CD，

所以∠OAN=∠OCM，

在△AON和△COM中，

∠AON=∠OCM，∠AON=∠COM，OA=OC，

所以△AON≌△COM，

同理△AOE≌△COF，

△BOE≌△DOF，

△BOG≌△DOH，

所以OG=OH，OM=ON，

在△GOM和△HON中，

OG=OH，∠GOM=∠HON，OM=ON，

所以△GOM≌△HON，

所以S陰影=12S平行四邊形ABCD=16×6×4=12.

例3 如圖3，在平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的長，以及△OBC的面積.

解 因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以BC=AD=8，

CD=AB=10，

因為AC⊥BC，

所以△ABC是直角三角形，

根據勾股定理

AC=AB2-BC2=102-82=6，

又因為OA=OC，

所以OA=12AC=3，

S△OBC=12BC·OC=12×8×3=12.

3 利用對角線求線段的長

例4 圖4

如圖4，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線分別與AD，BC交于點E，F. 求證：AE=CF.

證明 因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AD∥BC，OA=OC，

于是∠DAO=∠BCO，

在△AOE和△COF中，

∠DAO=∠BCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，

所以△AOE≌△COF，

所以AE=CF.

例5 如圖5，在平行四邊形ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，并且AE=CF，求證：BE=DF.

證明 連接BD交AC于點O，因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以OA=OC，OB=OD，

又因為AE=CF，

所以OA-AE=OC-CF，

于是OE=OF，

在△BOE和△DOF中，

OE=OF，∠BOE=∠DOF，OB=OD，

所以△BOE≌△DOF，

所以BE=DF.

4 利用對角線求取值范圍

例6 圖6

如圖6，在平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，對角線AC，BD相交于點O，則OA的取值范圍是（）

（A）2cm<OA<5cm.

（B）2cm<OA<8cm.

（C）1cm<OA<4cm.

（D）3cm<OA<8cm.

解 因為AB=3cm，BC=5cm，

所以在△ABC中，

2cm<AC<8cm，

又因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以OA=12AC，

所以1cm<OA<4cm.

例7 如圖7，在平行四邊形ABCD中，若AC=10，BD=6，AD=a，則a的取值范圍是.

解 因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以OA=OC=5，

OB=OD=3，

又因為AD=a，

所以在△AOD中，2<a<8.

5 利用對角線求最值

例8 圖8

如圖8，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P為AB邊上一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形APCQ，則對角線PQ長度的最小值為.

解 因為四邊形APCQ為平行四邊形，

所以點O是AC的中點，PQ=2PO，

所以PQ最短，只需要PO最短，

于是過點O作AB的垂線，交AB與點P′，此時線段OP′最短，

因為AC=8，

所以AO=12AC=4，

又因為OP′⊥AB，

∠BAC=45°，

所以在Rt△AP′O中，OP′=22，

即OP的最小值為22，

所以PQ的最小值為2×22=42.