用列方程法求圖形面積的三種途徑

孫志東

【摘要】 本文通過三個典型案例給出建立方程求解圖形面積的三種途徑：根據圖形面積比建立方程、根據勾股定理建立方程、 根據中間橋梁建立方程.

【關鍵詞】 求面積;列方程;面積比;勾股定理;中間橋梁

在平面幾何中，求圖形面積是一類重要的問題，特別是求三角形或四邊形的面積類型較多.因為求圖形的面積不僅僅涉及計算，還涉及到推理，能考查學生綜合運用幾何和代數知識解決問題的能力，所以它在競賽中常常出現.下面通過三個典型案例來說明求圖形面積的三種有效途徑.

1 根據圖形面積比相等建立方程求面積

例1 圖1

如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，且△ABE，△ADF，△CEF的面積分別為5，4，3，則△AEF的面積是.

分析 考慮到等高的平行四邊形面積比等于對應底邊的比，通過作兩條平行線，可以把原平行四邊形分割成四個小平行四邊形.若假設其中一個小平行四邊形的面積，則其他三個平行四邊形的面積很容易表示出來，這樣根據四個小平行四邊形的面積之間的關系就可以建立方程.

解 如圖2，過點E作AB的平行線交AD于點G，過點F作BC的平行線交AB于點H，EG與HF交于點O，可知AHOG，BEOH，ECFO，OFDG都是平行四邊形.

設SAHOG=x，則SBEOH=10-x，

SECFO=6，SOFDG=8-x.

根據SAHOG∶SOFDG=SBEOH∶SECFO得

x∶（8-x）=（10-x）∶6，

即方程x2-24x+80=0，

解得x=4或20，

因為0<x<8，

所以x=4，

從而S△AEF=（10+6+4）-（5+3+4）=8.

2 根據勾股定理建立方程求面積

例3 圖3

如圖3，正方形DEFG的三個頂點D，E，G分別在△ABC的邊BC，AC，AB上，D為BC的中點，AG=7，GB=6，AE=9，EC=2，求正方形DEFG的面積.

分析 由線段中點，可以聯想到三角形的中位線，結合正方形的對邊平行的條件，得到相似三角形，得出幾條關鍵線段的關系，最后利用勾股定理完成方程的建立.

解 如圖4，過點B作DE的平行線交AC于點M，延長GF交AC于點N.設DE=x，則由BD=CD，得

CE=ME=2，

所以BM=2x，

且AM=AC-ME

=9-2=7.

由GN∥BM，得

GNBM=ANAM=AGAB，

即x+FN2x=AN7=713，

解得AN=4913，FN=x13，

所以NE=AE-AN=9-4913=6813.

在Rt△ENF中，由EF2+FN2=NE2，得

x2+x132=68132，

解得x2=27.2，

即正方形DEFG的的面積為27.2.

注 在平面幾何中，利用勾股定理計算線段的長度，是非常重要的方法.

3 根據中間橋梁建立方程求面積

例3 圖5

如圖5，四邊形EFGH是正方形ABCD的內接四邊形，且FH=3，EG=4，S四邊形EFGH=5，求S正方形ABCD.

分析 因為四邊形EFGH不是特殊的四邊形，所以在初中階段，它的兩條對角線和面積這些數量不容易建立關系.這樣就需要我們另辟思路，不妨充分借助邊之間的關系，多次利用勾股定理尋找到一個等式，再利用圖形總面積等于各部分面積的和，得到另外一個等式，發(fā)現這兩個等式存在中間橋梁，從而建立方程就自然而然了.

解 設正方形ABCD的邊長為x，CG=a，

BE=b，BH=c，AF=d，則由勾股定理，得

x2+（a-b）2=16，x2+（c-d）2=9，

變形，整理，得

（a-b）2（c-d）2=（16-x2）（9-x2），①

又S正方形ABCD=x2=5+12bc+12（x-c）a+12（x-b）d+12（x-a）（x-d），

整理，得12x2=5+12（bc+ad-ac-bd），

即（a-b）（c-d）=10-x2，

所以（a-b）2（c-d）2=（10-x2）2，②

聯立①②，得

（16-x2）（9-x2）=（10-x2）2.

解得x2=445.

即S正方形ABCD=445.