數學思想在初中數學解題教學中的滲透

周洋

【摘要】在數學這門學科中，數學思維方法非常關鍵，需要學生具備一定程度的理解和領悟，才能夠自主完成知識網絡的架構，才能提高解題能力、應用能力，從而發展學科綜合素養，樹立正確的科學探究意識.進入初中階段之后，教師需要在解題過程中合理滲透數學思想與方法，這樣既可以幫助學生完成對數學思維模式的梳理和架構，又可以促進其對知識的感悟，實現靈活運用，也只有這樣才能夠在解決實際問題的過程中真正經歷發現、歸納以及總結等一系列思維過程，發展學科綜合素養.

【關鍵詞】歸化思想;思維方法;解題分析

1 借助數形結合，化抽象為形象

在數學思想方法中，包含的內容極其廣泛，例如分類討論思想、數形結合思想、化歸思想等等.進入初中階段之后，數學知識體系中的難點知識就是函數問題，這也是中考必然會考核的重點知識，需要教師在具體的教學過程中實現正確的引導以及有效滲透，特別是數形結合思想，充分利用了圖形的形象性，也能夠將其與數字的具體性一一對應，既能夠幫助學生化解函數等問題，又有助于提高學生的解題效能.

1.1 運用數形結合，理清數學概念

在初中數學知識體系中，數學概念是重要的構成.如果初中生對數學概念不理解，那么，他們就不能夠進行高效化解題，運用數形結合的策略能夠幫助學生理清數學概念，為高效解題奠定基礎.

例如 在二次函數部分，學生對二次函數的系數a，b，c的理解就很困難，這些符號很抽象，這時我們就可以借助二次函數的圖像，利用數形結合的思想幫助學生來認識和理解a，b，c等很多二次函數的性質，如a看開口方向和大小，b看對稱軸的位置，c看拋物線y軸的交點的位置，b2-4ac看拋物線與x軸交點的個數，a+b+c，a-b+c， 4a+2b+c， 4a-2b+c的正負如何判斷等等.

1.2 運用數形結合，找準解題思路

在初中數學解題教學中，要善于運用數形結合幫助學生找準解題思路，這樣就能夠達到事半功倍的教學效果.

例如 圖1直線y=kx+b與y 軸，x軸分別交與點A（0，2）B（4，0），當x滿足什么條件時，

（1） kx+b>0，（2） kx+b =0 ，

（3） kx+b<0，（4） 0<kx+b<2 ？

類似于這種求方程的解或求不等式的解集等問題，學生理解起來難度較大，這時我們可以引導學生畫出一次函數的圖像，利用數形結合的思想，指導學生：

kx+b>0是指x軸上方的直線y=kx+b部分，所以，它的解集是x<4;

kx+b =0是指直線y=kx+b與x軸的交點，即它的解是x=4;

kx+b<0是指x軸下方的直線y=kx+b部分，所以，它的解集是x>4;

0<kx+b<2是指直線y=kx+b在x軸與y=2之間的部分，所以，它的解集是0<x<4.

這樣借助數形結合，就能夠改變原本抽象的數學問題，使其具體化、簡單化，更利于學生理解和解決.數形結合的引入能夠提高學生的遷移以及轉化能力，需要教師立足于教學日常有意識的滲透，這樣學生才能夠在面對實際問題時，靈活的引入數形結合，發現其中的對應關系，完成知識的鞏固，強化學科綜合素養.

2 運用數學轉化，化復雜為簡單

進入初中階段之后，轉換思想也同樣關鍵，這是數學思想中的精髓所在，也是解決問題的有效方法，簡單地說，就是找出相似或者接近的方法用于解決這一問題.實際教學過程中，可以選擇一些典型問題作為具體的教學案例，這樣就能夠使抽象、復雜的數學題變得更加簡單、直接，也能夠突出考核要點.

對于教師而言，其根本目的就是要引導學生掌握解析題目的方法以及轉化問題的技能，這些都能夠幫助學生進一步提高解題能力.

2.1 以形助數

由于某些數量關系具有非常突出的抽象特質，很多初中生并不能夠準確把握，但是“形”卻具有與之相反的特點，那就是形象、直觀，借助這一優勢能夠用于映射具象思維，能夠為學生解決問題起到重要的定性作用.

結合解決問題的現實需求，我們在處理一部分包含抽象質量關系的問題時，經常將其轉化為圖形，以此展開討論，換言之，就是將“數”結構與“形”結構相互關聯，改變原有的抽象特質，為學生呈現直觀形象的圖形，然后再對圖形展開研究，這樣就更易于學生發現潛藏于問題中的隱含條件，找到解題線索，簡化求解過程.

例如 解不等式x-1≥-x2+2x+1.

初中生還未接觸過一元二次不等式，在解決此題的過程中可以引入圖像法.

令y1=x-1，y2=-x2+2x+1，由此便可以在相同的坐標系中分別位置y1和y2圖像，在有了兩個直觀的函數圖像之后，只需要滿足一個條件，也就是函數y1在y2圖像上方所對應的范圍，這樣就能順利得出不等式的解集.

所以，為了解決這一不等式，首先需要分別求出兩函數的交點，然后對圖像展開細致觀察，再推導出結論，更加輕松便捷.

2.2 借形理解

在初中數學解題教學中，引導學生借形理解題意十分重要，這樣就能夠讓學生在這個過程中快速地找到解題思路.

例如 主人新購置了一批貨物，小馬和小驢分別馱著這些貨物走在回家的路上，小馬不停地抱怨自己的貨物太重，都不能喘氣，小驢立刻反駁：自己身上的更重，如果小馬分給它一袋貨物，小驢頭的貨物的袋數將是小馬的兩倍.小馬也立刻回擊：如果你分給我一袋貨物，那么我們所馱的貨物數量就相同.請問小馬和小驢各自馱了多少袋貨物？

當學生初看此題時，立刻會被生動形象的情境所吸引，但是一到解題時卻不知所措，因為題目中包含了各種復雜的條件，繞來繞去，既不能理清題意，又難以算出正確的答案.

此時，我們可以這樣對學生進行引導：如何才能對題目進行簡化？如何才能去掉和題目無關的信息？

發動學生展開討論，在師生的共同努力下，題目就被變成了這樣：小馬給小驢一袋貨物之后，小驢的貨物是小馬的兩倍;小驢給小馬一袋，它們馱的數量相同;再繼續轉化，將小馬和小驢用一個字母來表示，就可以將這道題變成以前所學習的代數問題：有兩個數x、y，根據第一個條件可以得出x+1=2（y-1），根據第二個條件可以得出x-1=y+1;最后分別求出x、y即可.看到此時，學生便能夠理解，可以通過建立二元一次方程組來解決這一問題.

對于一部分數學問題而言，并不會是以簡單的數形轉變而呈現，而是體現了數形之間的相互變化，這也就意味著，我們需要展開探討，如何能夠將形的直觀轉化為數的嚴密，還要反向轉換和聯系.所以，針對此類問題的解決，必須要準確把握已知和結論，只有深入分析，才能挖掘潛藏于其中的數形互變.

例如 求12+14+18+…+12n的值.

對于這一道題，可以讓學生用一張邊長為1的正方形紙片進行折疊，分別標出正方形面積的12、14、18、……要求學生根據所掌握的知識，利用數形結合思想，推導當n為正整數時，12+14+18+…+12n的結果（用n表示）.

此類習題對于初中生而言，顯然還是具備一定難度的，需要引入數形結合思想.

利用剪刀對正方形紙片進行裁剪，第1次剪去整張紙的一半，余下的面積為12;再將余下的圖形剪去一半，由此得到圖形面積的14;第3次仍然是對余下圖形進行裁剪，減去一半之后得到的面積就可以標識為18.以此類推，然后將每次剪下的圖形面積相加，就可以得出答案.

由此可見，以數形結合思想解決問題，就是在這一過程中將數與形聯系在一起進行考察，分析問題的具體情形，然后利用圖形性質將其轉化為數量關系，或者反向轉化，不僅可以使原本復雜的問題進行簡單化處理，也改變了其抽象特質，是益于學生把握的有效方案.在數學解題過程中引入這一數學思想，是簡化問題的有效舉措.

3 借助方程思想，化單一為系統

所謂方程思想，也是一種思維策略，就是利用未知數建立等式，這也是初中學習的重難點所在.

通過對中考題型的梳理可知，一般會從以下方面進行考察：給出方程和條件，求解未知數;將其與函數圖像結合，在給出一部分條件之后求解未知數，利用實際問題求取最大、最小值等.在初中數學解題教學中，運用方程思想能夠引導學生進行系統化思考、解題.

例如 建一羊圈，可以利用一面長度為25m的墻，同時使用100m的圍欄，使羊圈的面積可以達到400 m2，并確保所圍成的羊圈可以平均分成三個等大的矩形，分別求羊圈的長與寬.

根據已知題意，可以設垂直于墻的邊為xm，而羊圈的面積就是（100-4x）x=400，根據限定條件可知100-4x≤25，這樣就能順利求解x.

對于這個例子而言，是一個現實問題，需要學生結合方程思想，也要引入圖形，還要分析已知和未知量之間的關系，這樣才能完成建模，才能夠將問題帶入到模型中，以此順利解決問題.

4 結語

總之，在進入初中之后，數形結合思想需要貫穿數學學習始終.只有實現數形的深入結合，才能更好地解決問題，與此同時，在發展學生空間觀念以及數感等方面，也具有極其顯著的啟發作用.

為了提高學生的數學學習效能，必須要滲透數學思想，既是為了幫助學生強化思維模式，也是為了使學生可以樹立科學的思維方法，這樣在面對問題時，才能做出客觀的分析、理性的解決，才真正能夠自覺主動的運用、深化對數學知識方法的理性認知，還能夠在解決問題的過程中梳理總結解題策略，掌握學科精髓.

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