拋物線中特殊圖形的存在問(wèn)題

王益玲 李先兵

拋物線中特殊圖形的存在問(wèn)題是初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試的常考題型.由于此類題型著重考查學(xué)生畫圖、析圖能力，兼顧考查學(xué)生的計(jì)算能力，所以每每遇此類試題，都會(huì)讓考生產(chǎn)生畏懼心理.本文以同一個(gè)例題下的多種問(wèn)題為例，闡述拋物線中特殊圖形存在問(wèn)題的解題策略.

已知，如圖1，拋物線y=x2+2x-3分別與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

問(wèn)題1 是否同時(shí)存在拋物線上一點(diǎn)P和x軸上一點(diǎn)D，使以A，C，P，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，試求點(diǎn)P坐標(biāo).若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 如圖2，將圖2

ABCD放置于平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)

A（xA，yA），B（xB，yB），

C（xC，yC），D（xD，yD），

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為

xA+xC2，yA+yC2，

BD的中點(diǎn)為xB+xD2，yB+yD2，由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故可得AC中點(diǎn)與BD中點(diǎn)重合，進(jìn)而可得

xA+xC2=xB+xD2，yA+yC2=yB+yD2，

整理可得xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD.

根據(jù)題意，得

A（-3，0），C（0，-3），

設(shè)P（m，m2+2m-3），D（n，0）.

若AC為平行四邊形的對(duì)角線，則有

-3+0=m+n，0-3=m2+2m-3+0，

解得m1=0，n1=-3，m2=-2，n2=-1，

當(dāng)m=0時(shí)，平行四邊形不存在，故舍去，

所以P（-2，-3），D（-1，0）.

若AP為平行四邊形的對(duì)角線，則有

-3+m=0+n，0+m2+2m-3=-3+0，

解得m1=0，n1=-3，m2=-2，n2=-5，

當(dāng)m=0時(shí)，平行四邊形不存在，故舍去，

所以P（-2，-3），D（-5，0）.

若AD為平行四邊形的對(duì)角線，則有

-3+n=0+m，0+0=-3+m2+2m-3，

解得m1=-1+7，n1=2+7，m2=-1-7，n2=2-7，

所以P（-1+7，3），D（2+7，0）

或P（-1-7，3），D（2-7，0）.

綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-3）或P（-1+7，3）或P（-1-7，3）.

歸納 平行四邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，利用“對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)和分別相等”得到方程組，再解出方程組即可得所求點(diǎn)坐標(biāo).

問(wèn)題2 在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△CBP為等腰三角形.若存在，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 △CBP為等腰三角形包含兩種情形，BC為腰或BC為底.

情形一，如圖3，BC為腰，則P必在以B，C為圓心，以BC為半徑的兩個(gè)圓上（B，C，P共線除外），兩圓與該拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)依次為P1（-1，6），P2（-1，0），P3（-1，-6），P4（-1，-6），顯然P4（-1，-6）與B，C共線，不符合題意，應(yīng)舍去.

情形二，BC為底，則P在BC的中垂線上，過(guò)上述兩圓的兩個(gè)交點(diǎn)的直線即為BC中垂線，與該拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)P5（-1，-1）.

綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，6）或（-1，0）或（-1，-6）或（-1，-1）.

歸納 已知兩定點(diǎn)求作第三點(diǎn)，使得以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的方法為，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以這兩點(diǎn)的距離為半徑作圓，并畫該線段的中垂線，簡(jiǎn)言之“兩圓一線”與所求點(diǎn)滿足的條件的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，并檢驗(yàn)是否符合題意.

問(wèn)題3 在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，在平面上找一點(diǎn)Q，使以P，Q，C，B為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

分析 以P，Q，C，B為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則△BCP必為等腰三角形.故此問(wèn)題中點(diǎn)P的求解同上述問(wèn)題2.若需求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)問(wèn)題一中所得結(jié)論即可求得.

歸納 已知兩定點(diǎn)，求另外兩點(diǎn)，使得以此四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，只需選擇合適的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，然后再利用問(wèn)題2中歸納的結(jié)論求解.

問(wèn)題4 在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△BCP為直角三角形.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 △BCP為直角三角形包含兩種情形，BC為直角邊或BC為斜邊.

情形一，如圖4，以BC為直角邊，過(guò)B，C兩點(diǎn)分別作BC的垂線，與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求，可求得，P1-1，23，P2-1，-83.

情形二，以BC為斜邊，則根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角為直角”可得，點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上.故以BC為直徑畫圓與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求，可求得P3（-1，-1），P4（-1，-2）.

綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為-1，23或

-1，-83或（-1，-1）或（-1，-2）.

歸納 已知兩定點(diǎn)求作第三點(diǎn)，使得以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形的方法為，分別過(guò)這兩點(diǎn)作其垂線，和以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為直徑的圓，簡(jiǎn)言之“兩線一圓”與所求點(diǎn)滿足的條件的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，并進(jìn)行檢驗(yàn)是否符合題意.

問(wèn)題5 在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，在平面上是否存在Q，使以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形為矩形.若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 以P，Q，C，B為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，則△BCP必為直角三角形.故此問(wèn)題中點(diǎn)P的求解同上述問(wèn)題4.若需求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)問(wèn)題1中所得結(jié)論即可求得.

歸納 已知兩定點(diǎn)，求另外兩點(diǎn)，使得以此四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，只需選擇合適的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，然后再利用問(wèn)題4中歸納的結(jié)論求解.