基于能力立意與素養導向的高考數學備考策略
——以平面解析幾何備考復習為例

◎虎志忠

(甘肅省鎮原縣三岔中學，甘肅 慶陽 744512)

引 言

現階段，伴隨著立德樹人教育思想的深入落實，立足于能力素養培養來構建高中教育體系已經成為高考體制改革背景下高中教育創新發展的關鍵途徑.其中，圍繞高考所具有的引導教學、服務選才等作用，高考數學題目設計多強調對學生的知識素養與數學能力進行系統考查，而對于平面解析幾何知識來說，其涉及數形結合、轉化歸納等多種數學思想，在高考中大多以選擇題和解答題的形式出現，分值占十七分到二十二分.因此，在針對平面解析幾何知識展開高考數學備考工作時，應明確課程教學培養學生數學思維能力與數學分析能力的總體目標，在著手于增強學生數學素養的基礎上構建科學的備考策略，進而有效提高學生的備考質量，并促進學生的多元化發展.

一、高中新課程標準背景下高考考綱精神的理解與分析

基于《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱“高中新課程標準”)，高中數學課程應兼具基礎性、發展性、適應性等多個特點，即不僅應面向全體學生，幫助學生構建完整的數學知識基礎，還應著手于學生的個體差異與成長需求來提供多樣化的課程內容，進而保障學生的學習興趣，促進學生的持續健康發展.對此，高中數學教育應強調以立德樹人教育思想為指導，在不斷完善課程體系、突出教育主線的基礎上把握數學知識的本質，進而構建集學生多方面能力素養培養于一體的完整數學教育模式，并以明確的課程教育目標為指導，確保學生能夠滿足未來國家社會市場發展的基本需求.此外，高中新課程標準指出，應在構建高中課程體系的同時，引導學生積極掌握數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，并依賴于教師的引導教育能效培養學生利用數學思維發現、提出、探究、解決數學問題的能力，這不僅是高中教育的總體目標，也是高考數學命題的主要依據.因此應深入把握高中新課程標準對于高考題設計的相關要求，在明確高考主要考查方向的基礎上建立完善的學生能力培養體系，并以此為基礎制訂符合學生發展需求的高考備考策略，保證學生備考原則與方向的正確性和合理性.

二、平面解析幾何高考備考的主要內容與目標分析

基于人教版高中數學教材，“直線和圓的方程”“圓錐曲線方程”等課程均涉及平面解析幾何知識，同時考慮到高中數學強調對學生的數學知識綜合應用能力進行培養，因此大多數平面解析幾何題目會涉及“三角函數”“解斜三角形”等課程知識.對此，通過深入分析高中課程內容，平面解析幾何課程的教學目標如下：其一，幫助學生學會在平面直角坐標系內認識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立相對應的標準方程，掌握直線方程的五種形式，掌握直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系，完善學生的數學知識基礎；其二，幫助學生學會利用代數知識理解圓錐曲線的基本性質，其中主要涉及橢圓、雙曲線、拋物線的簡單幾何性質以及平面直角坐標系內不同圓錐曲線的位置關系，這些問題大多數都是通過聯立方程，利用根與系數的關系來解決；其三，引導學生就平面解析幾何知識中涉及的數學思想進行思考，其中包括數形結合、分類討論、方程與函數、轉化與歸納等；其四，幫助學生學會利用基本平面解析幾何知識解決數學實際問題，主要方法是通過數學建模找到與實際問題對應的數學模型，進而提高學生的實際應用能力；其五，幫助學生以平面直角坐標系為基礎分析數學問題，建立恰當的問題情境，促使學生掌握基本的幾何問題解決技巧；其六，幫助學生系統分析平面解析幾何知識與代數知識的連接點，促使學生掌握將幾何問題轉化為代數知識的解題技巧；其七，幫助學生學會基于不同數學問題情境建立圓錐曲線的標準方程，并利用代數知識研究一些簡單的幾何實際問題；其八，培養學生的發散思維能力，使其能夠在解決數學問題時探索新的解題思路，并形成系統的問題解決思維.

三、平面解析幾何高考考情分析與命題動向研究

1.近年來全國高考數學Ⅱ卷平面解析幾何考情分析

針對全國高考數學Ⅱ卷，平面解析幾何是其整個考查體系的重點所在，是學生得分的一大關鍵.對此，以平面解析幾何知識體系內較為重要的圓錐曲線為例進行分析.首先，基于題型角度，多以兩小題(選擇題或填空題各5分)和一大題(解答題12分)的形式呈現；其次，基于考查內容，小題(選擇題或填空題)側重于對雙曲線進行綜合考查(如2016年第11題，2017年第9題，2019年第11題)以及對拋物線進行綜合考查(如2018年第5題，2019年第8題，2020年第8題)，對橢圓進行綜合考查的情況較少(如2019年第12題)，大題(解答題)側重于對橢圓和拋物線的綜合知識進行考查，主要考查內容包括直線與圓錐曲線的位置關系、定點、定值及范圍(如2017年第16題，2018年第16題，2019年第21題，2020年第19題).在大題的解答過程中，學生需具備較高的數學計算能力和利用數學語言表達解決問題思維過程的能力，通常來說，學生需應用一元二次方程根的判別式與韋達定理等知識來對題目進行思考與解答.

2.全國高考數學Ⅱ卷平面解析幾何考查熱點與命題動向分析

(1)直線與圓的考查

針對直線與圓的相關題型，選擇題或填空題出現得較為頻繁，其注重考查學生對于直線傾斜角與斜率、直線方程、圓的方程、直線與直線的位置關系、直線與圓的位置關系等知識的掌握及應用情況.同時，基于考查熱點，直線與圓的位置關系出現的次數較多，其強調對學生利用代數方程解答基本數學幾何問題的能力進行考查，需要學生具備一定的數學推理能力、抽象思維能力與計算分析能力，即需要學生充分掌握直線與圓的方程式，并能夠進行直線和圓的方程轉變，將其熟練地應用在方程式計算中.同時要求學生能夠根據方程式在平面直角坐標系中畫出方程的變化曲線，并利用數形結合思想分析題目的考查點.

(2)圓錐曲線的考查

對于圓錐曲線，選擇題、填空題、解答題中均有涉及，其中選擇題、填空題傾向于考查學生對于圓錐曲線的定義、直線與圓錐曲線的位置關系等知識的理解，需要學生構建代數方程進行解答，而解答題則傾向于考查學生對于橢圓定義、標準方程、直線與橢圓的位置關系等知識的掌握情況.并且，基于考查熱點，直線與圓錐曲線的位置關系出現得較為頻繁，其注重對學生利用直線與圓錐曲線的位置關系，結合橢圓、雙曲線相關概念等知識進行解題的能力進行考查，需要學生具備一定的數學建模能力與數學運算能力.

(3)命題動向

通過對近幾年全國高考數學Ⅱ卷內平面解析幾何題型進行分析，可以發現其存在考查形式靈活多變的特點，主要考查學生對于知識點分解、推導和應用的能力，要求學生能夠靈活掌握課本中的基本公式，能夠熟練地進行公式的推導，熟悉公式的演變過程，并能夠將公式應用在數學計算中，進而簡化計算.但無論何種題型，其均蘊含了豐富的數形結合思想，需要學生具備較強的運算求解能力與轉化分析能力.

四、針對平面解析幾何的高考考向分析與備考策略分析

高考強調對學生的數學知識素養與解題能力進行系統考查，因此，教師在圍繞平面解析幾何組織學生進行備考時，應重視提升學生審題的科學性與嚴謹性，鍛煉學生的題目審核能力及實際應用能力，讓學生能夠在審題之后，準確地抓住題目的關鍵點，找到解題的突破口，在確保學生解題規范性和表達精確性的基礎上改善解題的整體效率，進而提升學生的理論考試成績.

1.基本性質相關問題的考向分析與備考策略

基本性質是高中數學知識的基本理論，這部分理論內容的教學需要和案例結合起來，以此來協助學生充分理解知識點，因此在教學過程中，教師需要先將基本性質的字面意思分析清楚，再借助實例輔助學生理解，讓學生通過案例來理解課本中提到的基本概念，如圓錐曲線的離心率、定點、對稱點及其應用.如此，學生在完成計算之后，便能夠掌握每個概念的具體含義，進而能夠充分掌握概念在解題過程中的有效應用.

例如以圓錐曲線的離心率、頂點、對稱性為主的基本性質是高中數學平面解析幾何課程教學的重點所在，而高考命題也注重考查學生對于基本性質與各知識點間聯系的認識和理解.

A.2 B.3 C.4 D.8

分析該題考查學生對于拋物線基本性質的掌握情況，主要涉及拋物線焦點等基本性質，學生需要具備一定的空間想象能力，以確保能夠繪制出拋物線的大致形狀，進而結合焦點的基本概念進行解題.學生通過題目中的已知數據，畫出圓錐曲線的大致形狀，然后找到解決問題的關鍵點，進而通過嚴謹的分析以及數學運算，準確地求出題目的答案.由此可見，在針對平面解析幾何基本性質進行高考備考時，教師應注重加深學生對于數形結合思想的理解和感悟，通過引導學生畫圖的方式，來幫助其掌握正確的畫圖技巧，并通過幾何圖形來協助學生找到解題突破口，同時,利用幾何圖形讓學生檢測個人題目完成的準確度，進而使學生在鞏固知識基礎的同時游刃有余地解答此類問題.

2.曲線方程與軌跡問題的考向分析與備考策略

曲線方程與軌跡考查的是數學變量和定量之間的關系，是學生解決平面幾何圖形運行軌跡的關鍵.在歷年高考解答題中，軌跡與方程問題出現的頻率較高，強調對學生利用曲線性質求解曲線方程參數值的能力進行考查，同時了解學生對曲線方程軌跡的掌握和應用情況，考查學生是否能夠將曲線方程應用到實際生活中，因此在歷年考題中，除了對簡單的計算能力進行考查之外，甚至會出現一些實際應用題目.當然，無論哪種題目，其考查的核心都是學生對曲線性質以及曲線方程的理解和掌握程度.例如，一些題目涉及平面動點運動軌跡的計算，而其目標同樣在于求解曲線方程，因此同樣可將其歸為曲線方程問題.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD經過頂點.

分析該題考查學生對于直線與橢圓曲線關系的理解和分析能力，學生除了需要充分掌握橢圓的基本性質外，還應具備一定的想象能力與運算能力.因此，在針對曲線方程與軌跡問題進行高考備考時，教師應幫助學生形成系統的解題思維，在鞏固學生知識基礎的同時對學生的想象能力進行提升，進而使其能夠精確分析圖形的具體形狀與問題的解決思路，最終達到正確解答問題的目的.

3.曲線方程的坐標區間問題的考向分析與解決策略

曲線方程的坐標區間在歷年高考中出題率也比較高，主要考查學生對曲線方程在坐標中的呈現方式以及變化趨勢，旨在考查學生的綜合分析能力.學生通過曲線方程和曲線的結合，了解曲線方程的數值變化規律，其核心在于定量和變量之間的變化關系，也就是方程式的分解.

從以上三道高考復習題中可以看出，學生在復習平面解析幾何知識的過程中，需要引入數形結合思想，利用方程式和幾何圖形之間的變化，分析解題的突破點，而其核心是學生對方程基本形式、平面幾何基本性質、函數運算公式的靈活應用和轉變.學生通過分析關鍵點，找到解題思路，并準確地完成數學計算，這考查的是學生的數學綜合應用能力.

五、結束語

基于高中數學平面解析幾何的高考備考過程，由于相關題型往往涉及代數、幾何等多方面知識，因此，在備考過程中，教師應注重對以往教學存在的重思路、輕運算等問題進行解決，通過完善學生的解題思路、加強學生的計算能力來提高學生的審題分析能力和運算求解能力，進而達到提高學生備考質量的目的.