基于曲邊梯形面積刻畫畢達哥拉斯模糊數的排序方法

陶玉杰，索春鳳

(1.通化師范學院數學學院,吉林 通化 134002；2.北華大學數學與統計學院,吉林 吉林 132000)

0 引 言

自 1986年，ATANASSOV[1]首次提出直覺模糊集（intuitionistic fuzzy set，IFS）概念以來，IFS廣受關注。特別是自CHEN等[2]提出得分函數和HONG等[3]提出精確函數后，IFS在多屬性信息群體決策（MAGDM）領域得到迅猛發展。其主要原因是IFS在實際問題中能同時刻畫支持、反對和中立3種態度，從而克服了傳統模糊集僅由隸屬度描述事物的局限性。然而，IFS也存在一定缺陷，例如，隸屬度和非隸屬度之和受小于等于1的限制，導致其無法處理某些實際信息，這對IFS理論的廣泛應用提出了挑戰。為此，2013年，YAGER 等[4]首次將 IFS的限制條件擴展為隸屬度和非隸屬度的平方之和小于等于1，拓展了IFS。此外，還提出了在畢達哥拉斯模糊環境下按等級的自然準則排序的規則，并用極坐標形式表示畢達哥拉斯模糊數（Pythagorean fuzzy number，PFN）[5]。近年來，國內外學者對 PFS 理論及其應用進行了廣泛研究，尤其在決策分析方面取得了諸多成果，這些工作對進一步將PFN應用于多屬性信息決策問題具有重要理論意義。

2014年，ZHANG等[6]采用隸屬度和非隸屬度平方差形式首次提出得分函數這一概念，但當得分函數相等時卻出現了尷尬的局面。2015年，PENG等[7]針對文獻[6]的不足，將隸屬度和非隸屬度平方和作為精確函數對其進行補充，但又面臨新的問題：既然PFN是直覺模糊數（intuitionistic fuzzy number，IFN）的推廣，那么PFN和IFN的排序結果是否存在矛盾？事實上，矛盾確實存在，例如，設α=(0.5，0.3)，β=(0.4，0.1)，若按文獻[2-3]的方法，則其得分值S(α)=0.2＜0.3=S(β)，即α?β，若按文獻[6-7]的方法，則其得分值S(α)=0.52-0.32=0.16＞0.15=0.42-0.12=S(β)，即α?β，矛盾。為此，出現了很多改進的得分函數[8-10]。然而，這些得分函數及其排序準則雖然克服了已有方法的一些缺陷，但亦帶來了新的問題[11-12]。綜合看，這些得分函數的構造主要基于代數方法，只對數學公式進行了改進，缺乏對其幾何含義的考慮。

2017年，WAN 等[9]通過幾何圖形面積方法引入了知識測度（knowledge measure）和信息可靠性（information reliability）概念，并分別將知識測度和信息可靠性作為得分函數和精確函數，同時給出了PFNs的排序準則。遺憾的是，作者在推導信息可靠性（精確函數）時所用的三角形面積公式有錯，造成精確函數的數學表達式出錯，令給出的排序準則不可信。本文針對文獻[9]所采用的幾何方法，系統分析其在信息可靠性推導過程中出現錯誤的原因，并在畢達哥拉斯模糊環境下用曲邊梯形面積（curved trapezoidal area，CTA）得到了新的得分函數，重新給出了PFN的排序準則，進一步通過與其他3種PFN排序方法對比，說明本文方法的優勢。

1 基本定義

IFS作為傳統模糊集的拓展，迅速成為決策分析中的主要研究工具。PFS不僅是IFS的推廣，而且能在更廣泛領域處理多屬性模糊信息及其決策問題。兩者的共同點是可分別采用隸屬度、非隸屬度和猶豫度刻畫同意、反對和棄權3種態度，全面描述客觀事物的模糊現象。

2 問題的提出

文獻[9]推導信息可靠性Q(α)的幾何示意見圖1。

圖1 文獻[9]推導信息可靠性的幾何示意Fig.1 Geometric diagram of information reliability derived from reference[9]

3 排序方法

圖2 PFNα的可靠信息區域和猶豫信息區域示意Fig.2 Geometric diagram of reliable information area and hesitant information area of PFNα

4 實例分析

為簡單和直觀起見，本文回避文獻[9]而選擇與文獻[10-12]的方法進行比較。文獻[10-12]所涉及的得分函數公式及其排序準則見表1。

表1 4種得分函數公式及其排序準則對比Table 1 Comparison of four ranking function formulas and their ranking criteria

由表1知，雖然經不斷改進，得分函數公式有所不同，但排序準則相差不大，其中“～”指“等價于”，“?”指“強于”。不難看出已有方法存在2個缺陷：不能進行精確比較；與傳統IFN排序方法存在矛盾。

表2為4組PFNs下本文方法與文獻[10-12]方法的比較，得分函數值根據表1公式計算得到。

表2 本文方法與文獻[10-12]方法的比較Table 2 Comparison of the proposed method and the methods in references[10-12]

從表2的4組PFN數據看，文獻[10-12]方法均存在一定缺陷，原因是這些方法僅從得分函數式的代數意義上做改進，忽略了其幾何意義。為進一步說明本文方法的優勢，在畢達哥拉斯模糊環境下再選取3組PFN進行對比分析，見表3。

表3 本文方法與文獻[10-12]方法排序對比Table 3 A comparison of the proposed method and the ranking method in references[10-12]

由表3知，文獻[10-12]方法雖然克服了某些缺陷，但同時帶來了新的問題。實際上，對α1=(0.7，0.5)和β1=(0.5，0.1)，按本文和文獻[11-12]方法均得到β1?α1，而按文獻[10]方法卻得到α1?β1，說明文獻[10]方法有缺陷，而本文方法具有合理性。對α2=(0.4，0.4)和β2=(0.6，0.6)，按文獻[11-12]方法不能對其進行嚴格比較，只能視作α2～β2，而本文方法可以比較，且結果與文獻[10]一致。說明文獻[10-12]方法均在一定程度上存在缺陷，而本文方法克服了這些缺陷，所得結果與傳統的IFN排序結果一致。

綜上所述，本文方法的主要優勢表現為：

（1）將所有PFN和IFN統一在第一象限單位圓內，提出了統一的得分函數及其排序方法；

（2）沒有出現等價情況（α～β），實現對α與β的精確比較；

（3）沒有出現與傳統IFN排序不一致的情況；

（4）考慮了其幾何含義，使方法更具一般性和科學性。

毋庸置疑，這些優勢不僅克服了已有方法的某些缺陷，而且對進一步擴展PFN在決策分析中的應用具有重要理論意義。

5 結 論

PFS能有效、全面地處理一些具有不確定性和模糊性的問題，近年來被廣泛應用于解決多屬性指標信息的決策分析問題。通過PFN反映的可靠信息所對應的CTA提出了新的得分函數公式及其排序方法，并證明了方法的合理性。此外，通過選取幾組PFN，與文獻[10-12]方法進行了比較，結果說明本文方法不僅克服了文獻[10-12]方法的某些缺陷，而且實現了將IFN和PFN統一排序的目標。然而，這些優勢并不代表本文方法完美無缺，其仍存在其他缺陷，有待下一步重點研究。