對于抗震設計規范設計反應譜的探討和建議

楊 悅 施衛星 趙 昕 王梁坤 李曉瑋，

（1.同濟大學土木工程學院防災減災工程系，上海 200092；2.同濟大學建筑設計研究院（集團）有限公司，上海 200092）

0 引 言

反應譜涉及的相關概念主要為“真”譜和“偽”譜，在國內外學術界均存在一些混淆使用的現象[1]。我國學者劉恢先早在1958年就明確提出采用反應譜理論，但是認為真譜與偽譜之間的關系是“精確”與“簡化”的關系[2]。我國規范修訂[3]過程中及近期的學術研究中[4]也仍然采用這種“精確”的真絕對加速度反應譜。但是“真”譜與結構設計理論并不協調，引起了諸多問題，包括反應譜隨阻尼和周期增加出現大阻尼比的反應譜值大于小阻尼比的反應譜值，即“反超現象”。長周期設計反應譜與實際地震反應譜形狀不符等[5-6]。

為改良現有反應譜存在的問題，學者們提出的一類改進方案為，對現行規范反應譜中的阻尼相關項調整，或直接對反應譜公式上疊加二次調整系數，曹加良等[7]對這些方法進行了分析，改進效果均不理想。另一類改進方案為，采用獨立的長周期反應譜[8]，但與現行規范的協調性差，無法用于指導結構設計。

由于反應譜是內力分析的基礎和時程分析選波依據[9]，此外，基于位移的抗震設計方法中需利用偽加速度反應譜與位移反應譜的關系進行轉換[10-11]，現行規范轉換所得的位移反應譜無平臺段，不能反映等位移原理[12]，也不能指導長周期段的結構分析。隨著我國長周期結構不斷增多，提出物理意義明確且長周期段準確的反應譜曲線十分必要。

本文對反應譜相關概念的物理意義進行了分析，并利用簡諧荷載雙規準譜分析了地震反應譜的一般規律。最后對抗震設計反應譜的特征和影響因素進行了分析，并提出了對我國抗震設計反應譜的有關建議。

1 反應譜的相關定義

1.1 真偽反應譜的定義

結構運動方程如下式[13]：

式中：m為質點質量；c為阻尼系數；k為結構剛度；u為質點相對于地面的運動；??為質點相對速度；為質點相對加速度；為地面運動加速度；t為時間。

1.1.1 真反應譜

1.1.2 偽反應譜

由于結構所受彈性力為ku=mω2u，所以定義偽加速度譜由位移譜轉化而來，如式（5）所示。可見相對位移譜和偽絕對加速度譜能代表結構彈性內力，真絕對加速度譜反而不能代表結構內力。且振型分解反應譜法計算獲得的結構位移和內力也與偽譜協調，與真譜反而不協調。

式中：p代表“偽（pseudo）”，PSa(ξ，ω)為偽絕對加速度譜；PSv(ξ，ω)為偽相對速度譜。如無特別定語說明，本文下文所述及的“加速度譜”或“偽加速度譜”均指由式（5）定義的“偽絕對加速度譜”，“速度譜”指由式（6）定義“偽相對速度譜”。

1.2 雙規準反應譜定義

為了對結構地震響應進行更具通用性的研究，定義縱坐標為譜值與對應地面信號峰值的比值譜為標準反應譜，即放大系數反應譜，亦即“規準譜”。謝禮立等人將放大系數譜的橫坐標進一步改為結構頻率與峰值響應所在頻率的比值即加載頻率比的反應譜定義為“雙規準反應譜”[3]。

由于地震動作用持時短，瞬態響應衰減不充分，故對地震簡諧荷載作用分析時不可以忽略瞬態響應，應采用同時包含穩態和瞬態響應的全量響應進行分析。當結構受正弦簡諧荷載作用時，可以推導得到結構全量響應與加載位移幅值的比值即標準化位移時程uN(t)如式（7）所示。

由式（12）、式（13）可知，穩態響應和瞬態響應的響應時程及幅值由阻尼比ξ和頻率比β完全確定。且瞬態響應指數衰減項為e-ξωt，故當ξ為定值時，瞬態響應每個周期衰減的比例e-2πξ為定值，故穩態響應和瞬態響應合成的全量響應由阻尼比ξ、頻率比β和加載周數P完全確定，響應幅值可以由下述公式表達。如圖1所示，當上述要素相同時，加載周期分別為20 s和0.1 s的時程曲線形狀完全一致。

圖1 標準化位移時程響應（β=1，ξ=0.05，P=10）Fig.1 Normalized displacement time history

式 中 ：dispST(ξ，β) 為位移穩態響應幅值；dispINST(ξ，β)為位移瞬態響應幅值；SBNd(ξ，β，P)為雙規準位移反應譜；P為加載周數。符號中，disp代表位移，ST代表stable穩態響應，INST代表instante瞬態響應，N代表normal規準（規一化），BN代表binormal雙規準。

1.3 真偽反應譜的關系

1.3.1 真偽絕對加速度譜的關系

將式（2）代入式（5）并與真譜式（4）對比，當ξ較小時，真譜與偽譜近似相等，當ξ=0時，真偽加速度積分公式相同，這也是“偽”譜命名的出發點。

偽絕對加速度規準譜可以根據定義式（5）直接求得，其穩態幅值和瞬態響應幅值如下式所示：

式中，paccST(ξ，β)為偽絕對加速度穩態幅值和paccINST(ξ，β)為偽絕對加速度瞬態響應幅值。符號中acc代表acceleration加速度，p偽、ST穩態、INST瞬態定義與前文相同。

故偽加速度譜與位移譜相差頻率比β2倍，當β=1時，偽加速度譜與位移譜規準譜值相同即放大系數相同。

由運動方程可知質量乘以真加速度的慣性力反映的是彈性力式（19）與阻尼力式（20）的合力，而由式（20）可知當周期較長阻尼較大時，阻尼力與彈性力的比值變大。由于彈性力與阻尼力相位差為90度，合力可以表達為式（21），對該式作圖2，當阻尼比為0時，慣性力與彈性力相等，即真加速度反應譜與偽加速度反應譜完全相同，真加速度譜的放大倍數隨阻尼比增加和頻率比增加而增加。長周期結構的響應以頻率比為1的共振響應為主，但是也包含加速度譜峰值頻率下的強迫振動當阻尼比取19%，頻率比為1時，真加速譜比偽加速度譜大6%。當阻尼比取19%，頻率比為10時，真加速譜比偽加速度譜大395%。

圖2 真加速度譜與偽加速度的比值與頻率比和阻尼比的關系圖Fig.2 Relationship between the ratio of true acceleration spectrum to pseudo acceleration，frequency ratio and damping ratio

式中：FI是慣性力；FE是彈性力；Fd是阻尼力。

1.3.2 真偽相對速度譜的關系

偽相對速度規準譜可以根據定義式（6）直接求得，其穩態幅值和瞬態響應幅值如下式所示：

式中，pvelST(ξ，ω)為偽相對速度穩態幅值和pvelINST(ξ，ω)為偽相對速度瞬態響應幅值。符號中vel代表velocity速度，p偽、ST穩態、INST瞬態定義與前文相同。

故偽速度譜與位移譜相差頻率比β倍，當β=1時，偽速度譜與位移譜規準譜值相同即放大系數相同。

相對速度標準時程可以由位移時程對時間求導，如下式所示：

當ξ=0時，式（24）穩態響應第二項可以約去，可以求出穩態響應的幅值velST(ξ，ω)和瞬態響應幅值velINST(ξ，ω)如式（25）、式（26）所示。

式中，velST(ξ，β)為真相對速度穩態響應的幅值和velINST(ξ，，β)為真相對速度瞬態響應幅值。符號中vel速度、p偽、ST穩態、INST瞬態定義與前文相同。

對比式（22）和式（25）及式（23）和式（26），真偽譜的瞬態響應幅值相同，當ξ=0時穩態響應幅值相差β倍，當β=1即共振時，穩態響應幅值也相同。所以，當ξ=0時，β=1時，真偽速度譜完全相同，如下圖3所示。由上述分析可知，當結構位于速度敏感區時，即加載速度信號頻率比約為1的范圍內，真偽速度譜近似相等。

圖3 真偽速度譜對比（ξ=0.01，P=2）Fig.3 Comparison of true and false velocity spectra

2 簡諧荷載雙規準反應譜的特征

分別采用突然加載和緩慢加載進行反應譜分析，簡諧荷載雙規準反應譜具有如下特點。

2.1 結構初始狀態對于反應譜形狀的影響

2.1.1 零初始相對速度對低頻系統的影響

對簡諧振動雙規準位移反應譜隨作圖4（a），頻率比大于2以后，結構響應隨頻率比即結構周期增加而增加，且加載周數越多，響應越大。值得注意的是結構響應隨頻率比增加很容易超過共振區，即誤差很容易超過100%，顯然這與實際地震響應不符。

圖4 初速度對反應譜影響（ξ=0.05）Fig.4 The influence of initial velocity on response spectrum

這是由于當加載頻率比較大時，結構較柔，加載時質點絕對響應很小，相對位移以地面位移為主。可知，當結構無限柔時，相對位移等于地面位移。而對于初始速度和位移均為0的地面簡諧加速度時程，積分后地面位移為式（27），式中存在時間一次項，導致地面位移隨時間增加線性增加，出現基線漂移，顯然與實際地震加載過程不符。

式中，ug(t)為地面位移時程。

2.1.2 非零初始相對速度對高頻系統的影響

此時公式（11）原系數D將變為下式。

但是如圖4（c）所示，加速度規準化反應譜在頻率比較小時，即結構較剛時發生異常，當頻率比為0.1時峰值與共振峰接近，誤差達到100%，與實際地震動不符。這主要是由于，由于結構絕對初速度為0，故結構相對初速度與地面運動初速度大小相同方向相反為。當結構很剛時，質點本應緊跟地面隨動，相對位移和速度將接近0，絕對加速度接近于地面加速度，即規準譜起點為1。但是對結構施加非0相對初速度將使其發生相對位移，由于高頻結構剛度極大，導致結構內力很大，偽加速度譜反映了結構內力，使其失真，雙規準譜遠大于1。

2.2 模擬實際地震動的簡諧作用加載方式

鑒于以上兩種加載方式均與實際地震動不符，本文提出的加載過程試圖模擬真實地震動過程中某一簡諧分量的施加方式。真實地震過程中，地面運動某一簡諧分量初位移、速度和加速度均為0，假設地面運動也是單自由度振子模型，地面受振源方向荷載激勵并逐漸達到穩態峰值，由瞬態和穩態成分構成。本文選取與震源共振的信號進行研究，此時地面運動加速度信號為共振響應，共振響應[11]將如下式所示。

假設地面位移為ug0，ωg=4π，如圖5所示，當地面阻尼比小時，以0.05為例，地面信號需在多周后達到峰值，模擬緩慢加載。當地面阻尼高時，以0.90為例，地面信號迅速到達峰值，模擬突然加載。

圖5 位移時程響應與的比值（ωg=4π）Fig.5 The ratio of displacement time history to the

2.3 加載周數及緩慢加載與突然加載的關系

如圖6所示，當加載過程持續40周時，即結構較為充分地進入穩態振動時，突然加載和緩慢加載的雙規準反應譜峰值基本相同，但是沖擊分量的存在導致突加荷載反應譜峰值段更寬，即上升和下降段更緩。

當加載周數較少時，即結構未充分進入穩態振動時，緩慢加載前若干周荷載作用幅值小于荷載穩態幅值，緩慢加載的放大系數幅值相比于突加荷載更小。

除此以外突然加載和緩慢加載譜線隨頻率比變化規律相近，故以下分析以突然加載為例分析。

2.4 反應譜峰值與阻尼比的關系

由公式（30）及圖6可知，共振時結構需要往復多周后才能達到共振峰值。故加載周數較多時，結構可以達到共振峰值，瞬態荷載及其響應此時衰減充分。突加荷載和緩慢加載反應譜峰值一致，峰值均為，如圖7所示。

2.5 反應譜峰值頻率比與加載周數的關系

如圖8所示，隨加載周數減少，位移譜峰值頻率比逐漸大于1，加速度峰值頻率比逐漸小于1。反映了所疊加的瞬態荷載傅里葉幅值譜頻率成分不單一且具有連續性的特征。地震地面運動加速度時程可以通過傅里葉變換為頻域幅值譜F(ω)，則同一地面運動的速度和位移頻域幅值譜分別為F(ω)/ω和F(ω)/ω2，當幅值譜具有連續性時，加速度幅值譜的峰值頻率更高，而位移幅值譜的峰值頻率更低。

圖8 不同加載周數雙規準譜（ξ=0.05）Fig.8 Bi-Normalized spectrum with different loading cycles（ξ=0.05）

2.6 阻尼折減系數與加載周數的關系

隨加載周數減少，阻尼比對峰值響應的折減作用減小。由于振動充分時，共振響應受阻尼比影響較大，而當加載周數較少時，瞬態響應衰減不充分，響應未攀升至穩態共振峰值，瞬態響應主要受結構初始狀態影響和加載速度荷載影響，受阻尼比影響不大。對不同加載周數簡諧荷載的阻尼比折減系數分析結果作圖9能夠體現該規律，即等間距阻尼比下結構峰值響應的間距隨加載周數的增加而增加。

圖9 阻尼折減系數隨加載周數變化條形圖Fig.9 Damping reduction factors vary along with loading cycles

3 設計反應譜特征及影響因素

3.1 設計反應譜的基本特征

設計譜與單一地震波反應譜不同，體現了該場地可能發生的所有地震信號在各敏感段內的統計特征。

3.1.1 設計反應譜在各譜敏感段內出現平直段

根據前述分析，地面位移對低頻段敏感，速度對中頻段敏感，加速度對高頻段敏感。當震源類型、震級、震中距、場地類別相同時，可以認為一組地震信號除地面運動信號峰值相近外，持時、特征周期、加載速度等特性相近。由雙規準譜分析可知，峰值放大系數僅與加載周數和加載速度相關，故在各敏感段內一組信號的峰值放大系數接近。如圖10所示，設計反應譜作為統計譜將在各譜敏感段內表現為平直段。

圖10 不同加載頻率下簡諧加載加速度譜及譜平均值（P=3，ξ=0.05）Fig.10 Acceleration spectrum and spectral mean value of harmonic loading at different frequencies

3.1.2 建議的反應譜曲線表達式

根據上述分析，建議我國規范采用Newmark[10]提出的“偽加速度-速度-位移三聯譜”，即將三種譜線的峰值響應統計值簡化為平直段，且三個譜之間嚴格滿足轉換關系式（5）和式（6），未被三聯譜平直段覆蓋的周期取線性內插至理論極限值。

如圖11所示，由于速度譜和位移譜與加速度譜之間存在式（5）和式（6）的轉換關系，將它們轉換為加速度譜時，速度譜平直段轉換為一次曲線下降段，位移譜平直段轉換為二次曲線下降段。所以，加速度譜除平直段外，兩緊鄰曲線下降段體現的也是結構與地震動輸入的共振放大效應。相關公式如表1、表2所示。

表2 偽加速度譜表達式Table 2 Pseudo acceleration spectrum expression

圖11中，βa為加速度反應譜地面信號放大系數平臺段取值，βv為速度反應譜地面信號放大系數平臺段取值，βd為位移反應譜地面信號放大系數平臺段取值，Tga為加速度平直段終點也是速度平直段起點，Tgv為速度平臺終點也是位移平直段起點，T0為加速度譜平直段起點周期，Tgd為位移譜平直段終點周期，Tp為位移譜線性下降至理論極限的周期。

PGA為地面峰值加速度；PGV為地面峰值速度；PGD為地面峰值位移；η代表各阻尼比反應譜相比于5%阻尼比反應譜的阻尼折減系數。其余符號含義與圖11符號含義相同。

3.1.3 加三敏感段峰值放大系數依次減小

由第2.3節分析可知，反應譜放大系數β將隨加載周數即地震動持時與特征周期的比值增加而增加，且共振時三種譜的放大系數相同。故對同一地震事件的譜而言，由于持時相同，加速度譜、速度譜、位移譜的特征周期漸次增加，加載周數依次減小，所以β漸次減小。

3.1.4 轉折點周期正比于右側譜與左側譜峰值比值

由于各譜平直段均可以轉換為加速度譜，且加速度譜連續，可以根據分界點處的關系推導得出關系式（31）、式（32），即轉折點周期與右側譜與左側譜峰值的比值成正比。

3.1.5 常見結構設計反應譜可由三參數標定

由于我國發改委2021年規定“嚴格限制建設500米以上超高層建筑”，根據徐培福等提出的結構周期與高度的經驗公式[14]，未來大部分建筑周期小于9 s。參考美國規范[15]反應譜參數6 s≤Tgv≤12 s，位移平直段結束周期Tgd一般大于10 s。所以，我國常見結構周期范圍內加速度反應譜可以完全由三個參數標定。可由三聯譜各譜峰值，即三平直段高度標定，如式（33）所示。也可以根據轉折點周期與譜峰值的關系，由PSa，max、Tga、Tgv三個參數完全表達，如式（34），兩者是等價的。

式中，t為反應譜橫坐標結構周期。

式中，PSa，max=βa·PGA·ηa為加速度反應譜平直段取值，PSv，max=βv·PGV·ηv為速度反應譜平直段取值Sd，max=βd·PGD·ηd為位移反應譜平直段取值。

3.2 阻尼對設計反應譜的影響

3.2.1 三敏感段阻尼折減系數間距依次減小

加速度、速度、位移平直段之間有顯著差別，其中加速度譜不同阻尼比的譜曲線間距最寬，位移譜對應的間距最窄。這是由于三種譜的特征周期依次加長，對于同一地震作用，持時相同，反應譜周期越長，加載周數越少，如同一持時為50 s的地震波，假設加速度特征周期為1 s，位移特征周期為5 s，則加載周數分別為50周和10周。根據第1節分析可知，隨加載周數減少瞬態響應占比逐漸加大，阻尼影響逐漸減小，即阻尼折減系數間距逐漸變小。

3.2.2 阻尼折減系數與具體周期無關

我國規范編制組認為阻尼折減系數應與周期相關。但是由前述分析可知加速度反應譜實際上體現的是加速度、速度和位移的共振響應，由簡諧地震反應譜分析可知，共振峰值阻尼折減系數僅與加載周數、阻尼比、加載速度相關，對具體場地而言，震源類型、震級、震中距、場地類別相同，可以認為上述參數相同，所以某一平直段折減系數與具體周期無關。

3.2.3 隨阻尼增加反應譜轉折點周期逐漸右移

根據式（31）、式（32）特征周期可以由右側譜與左側譜峰值段比值表達，且阻尼比增加時右側譜折減程度小于左側，故特征周期隨阻尼比增加逐漸右移。

3.3 地震動特性對設計反應譜的影響

場地的地震動頻譜特性主要由震級、震中距和場地類確定。

3.3.1 烈度對于長周期反應譜的影響

從定性角度而言，由地震學的基本理論可知[16]，震級越大，振源破裂面就越長，地震脈沖持時也會變長，故傅里葉變換后長周期分量增多。即烈度對于長周期位移敏感段特征周期影響顯著。

從定量的角度而言。根據周錫元等[17]給出的擬合式（35），假設震中距R取定值時，則M每增大級時，設防烈度I提高1度。但根據里氏震級的定義式（36），此時地面運動位移幅值Amax將依次放大倍。同時，大震級時長周期分量更為豐富，持時更長，位移反應譜峰值放大系數也將進一步放大。所以如圖12所示，若以6度反應譜為基準，8度下位移敏感段反應譜需至少放大16倍才能獲得準確取值，根據式（31）、式（32）反應譜轉折點周期也將顯著右移。可見震級對反應譜位移敏感段影響顯著。

圖12 地面峰值加速度和峰值位移隨烈度增加的放大系數Fig.12 The amplification factor of PGA and PGD

式中：M為里氏震級；I為設防烈度；R為震中距；A0是距震中100 km處接收到的0級地震的地震波振幅；Amax是距震中100 km處接收到的所測量地震的地震波振幅，單位μm。

目前我國規范未考慮震級對特征周期的影響，顯然低估了高烈度區長周期段反應譜取值，但采用斜直線下降段替代二次曲線下降段，并在6 s后拉平反應譜來提高地震作用，一定程度上對這種低估進行了彌補[18]。但必須指出，這種簡化方法是基于長周期信號數量少精度低的情形提出的[8]，隨著寬頻采集儀等采集設備的進步和地震事件的積累，有條件適時提高我國反應譜的精度，替換簡化方法。

3.3.2 震中距對于場地設防地震參數的影響

由于同一地震事件不同震中距的長周期分量豐富程度不同，震中距增加時長周期分量衰減慢而短周期分量衰減快[20]。如圖13所示，考察位移敏感段的反應譜高度，很可能出現加速度譜峰值較大的近震小于加速度譜峰值較小的遠震的情況。目前我國規范以加速度譜平直段的高度標定烈度，對于短周期結構有明確的設計指導作用，但對于中長期結構，加速度平臺高的情形不一定是最不利情形。建議非單一震源地震區，分別給出使加速度、速度和位移平直段最高的三組參數，或給出包絡參數，以使各周期段的結構設計均安全可靠。

圖13 加速度、速度和位移敏感段分別最大的三種情形Fig.13 The three cases with the highest acceleration，velocity and displacement respectively

4 結論和建議

本文對真偽反應譜的物理意義進行了分析，并利用簡諧荷載雙規準譜分析了地震反應譜的一般規律。提出以下結論和建議：

（1）簡諧波加載與地震真實加載過程不符，會導致反應譜失真。真實加載過程應考慮加載速度的影響。影響簡諧荷載雙規準反應譜的因素主要包括加載周數、阻尼比、加載速度、頻率比。

（2）建議規范修訂設計加速度反應譜為偽加速度反應譜或三聯譜，并利用寬頻強震記錄儀充實我國低頻長周期強震記錄波庫，標定反應譜參數。加速度譜、速度譜、位移譜可以互相轉換，即三者任一反應譜均能完整表達結構在各敏感周期范圍內的響應。

（3）在常見結構的周期范圍內，反應譜可以由三個參數完全標定和表達，即三聯譜三個平直段高度，或偽加速度譜平直段高度及分別進入速度敏感段和位移敏感度段的轉折點周期Tga和Tgv。建議規范將全國各地設防烈度和地震分組兩參數表改為各地標準場地三參數表。若仍采用地震分組即震中距和衰減關系標定周期轉折點參數，建議補充周期轉折點與震級或設防烈度的關系。

（4）所建議的反應譜隨阻尼增加不存在“反超現象”。阻尼折減系數與具體周期無關。阻尼增加時，周期轉折點右側受阻尼影響小于左側，轉折點周期右移。建議標定三個敏感平直段的阻尼折減系數，以更符合實際地震動特性。

（5）設防烈度對于長周期反應譜或轉折點周期取值有顯著影響。建議采用轉折點周期延長的方式取代斜直線下降段和6 s后拉平規定，以合理地反映烈度對反應譜的影響。

（6）建議對任意場地分別給出使各敏感段最不利的三組反應譜參數或一組包絡參數。