非均質和各向異性裂縫邊坡穩定性分析

梁承龍 劉 芳

（廣西交通職業技術學院土木建筑工程學院，南寧 530023）

0 引 言

土坡穩定性長期以來是巖土工程一個熱門問題，許多學者對此做了大量研究[1-3]。極限分析以其便捷的運算被廣泛應用于土坡穩定性。極限分析通過構建運動許可的速度場直接求解極限狀態下的極限荷載，所求的極限荷載是不小于真實值的上限解。最早由 Drucker和 Prager[4]提出極限分析理論，隨后Chen[5]運用極限分析理論詳細研究了巖土體邊坡的穩定性，并推導出二維土坡破壞面是一條對數螺旋線。

而裂縫邊坡普遍存在于實際工程之中，研究表明裂縫的存在會降低邊坡穩定性。Utili[6]綜合研究了裂縫深度和位置對邊坡穩定性的影響。Michalowski[7]論述了孔隙水壓力及裂縫形成對邊坡穩定性的影響。Zhao等[8]分析了地震作用下邊坡穩定性并得出地震效應將大幅度降低邊坡穩定性。羅強等[9]探討了坡頂超載對均質土坡穩定性的影響。基于非線性Mohr-Coulomb屈服準則，Li和Yang[10]分析了孔隙水作用下裂縫邊坡穩定性；李得建等[11]研究了地震效應下裂縫邊坡穩定性。然而，實際中土體表現出某種程度的各向異性以及非均質性，上述研究都是針對均質土坡，因此得出的結果較為保守同時也會造成經濟損失。Chen[5]給出了非均質和各向異性土坡的穩定系數。欒茂田等[12]進行了阻滑樁加固非均質各向異性土坡穩定性分析并得出最優加固位置。夏元友和陳春舒[13]提出了水平條分極限分析方法研究非均質性及各向異性錨固邊坡抗震穩定性。王珍等[14]采用擬合多項式近似描述對數螺旋線對非均質邊坡穩定性上限分析評價研究。

上述所研究的非均質各向異性土坡都不含有裂縫，因此本文基于極限分析上限定理，考慮土體非均質性和各向異性，研究孔隙水壓力作用下裂縫邊坡穩定性，通過優化算法求解邊坡穩定系數，并結合算例驗證本文計算方法的有效性，探討了邊坡土體非均質性和各向異性參數變化對其穩定性以及裂縫深度和位置的影響規律。

1 土的非均質性和各向異性

實際中土并非均質和各向同性，而是表現出一些程度上的非均質性和各向異性。目前大多學者采用Mohr-Coulomb屈服準則對土體的非均質性和各向異性進行分析，研究表明，內摩擦角的各向異性的影響可以忽略不計[15-16]。因此本文假定內摩擦角保持不變，僅考慮黏聚力c的非均質性和各向異性，如圖1（a）和（b）所示。土體黏聚力的各向異性與主應力方向夾角有關，可表示為：

圖1 土體非均質性與各向異性Fig.1 Nonhomogeneity and anisotropy of soils

式中：ch和cv分別為水平和豎直方向上的黏聚力；i為大主應力方向與豎直方向的夾角。

ch采用圖1（b）所示沿深度變化模式，n0、n1和n2分別坡頂、坡趾和坡底處的非均質系數。當n0=n1=n2時，土體表現為均質性。定義各向異性系數k=ch/cv，則式（1）可改寫為

當k=1.0，即cv=ch時，土體表現為各向同性。

2 土坡穩定性上限解法

極限分析上限定理可描述為對任一滿足運動許可的破壞機構，令外力做功等于內能耗散率，便可求得不小于真實值的極限荷載上限解：

式中：Ti為邊界S上的面力；Fi為體積V中的體力；分別為運動許可速度場中的應力場和塑性應變速率為運動許可的速度場。

本文將土重功率Wγ和孔隙水壓力功率Wu視為外功率，土體沿破壞面產生的內能耗散作為內功率D，從而根據能量平衡方程求解土坡臨界高度上限解：

如圖2所示，建立運動許可的坡底破壞機構。該破壞機構通過坡趾下方；當β'=β時，破壞機構退化成坡趾破壞，即破壞面通過坡趾C。土坡坡高為H，坡度為β，坡頂AB=L。坡體BCDEF視為剛體并以角速度ω繞點O作旋轉破壞，破壞面為一條對數螺旋線r=r0exp[（θ-θ0）tanφ]，基準線OA與OD長度分別為r0和rh，對應的角度分別為θ0和θh。坡頂處引入一條垂直張拉裂縫EF，裂縫深度為d，裂縫位置與坡肩B距離為x。E為裂縫與破壞面的交點，對應角度為θc。破壞面處的線速度與破壞面的夾角為土體內摩擦角φ。m為破壞面與垂直于該點最大主應力方向的平面之間的夾角。u為裂縫內水壓力大小。

圖2 裂縫邊坡對數螺旋破壞機制Fig.2 Log-spiral failure mechanism of cracked slopes

由于坡體BCDEF視為剛體旋轉，因此破壞時土體不會發生體積變形。故BCDEF區土重功率Wγ可表示為

式中：γ為土體容重；f1-f4和p1-p3具體表示式見文獻[6]。

由于坡內孔隙水壓力分布的復雜性，Bishop和Morgenstern[17]引提出孔隙水壓力分布采用孔隙水壓力ru從而考慮孔隙水壓力的影響，并被諸多學者采用[18-22]：

式中：u為孔隙水壓力；h為孔隙水作用高度。

Michalowski[7]以此將孔隙水壓力作為外荷載引入能量平衡方程中，因此式（3）可改寫為：

式中，ni為邊界S的外法線方向。

本文采用 Michalowski[7]的計算方法求解孔隙水壓力功率。假定土體處于穩定滲流狀態，孔隙水壓力為靜水壓力，且裂縫中水位高度與ru呈線性關系。當ru=0.5時，假設邊坡處于水位線以下。作用在破壞面上的孔隙水壓力功率Wu1可表示為

式中，h的具體表達式見文獻[23]。

裂縫內水壓力功率Wu2可表示為

式中：γw為水的容重，取γw/γ=0.5；θ（h）為裂縫中水位高度對應的角度。

如圖1（a）所示，破壞面最大深度N/r0可由幾何關系給出：

其中：

因此，沿破壞面的內能耗散率D為

由圖1（a）中幾何關系可得：

式中，δ=π/4+φ/2。

由圖1（a）和（b）破壞面每處的黏聚力ci：

將式（15）、式（16）帶入式（12）經積分和化簡后可得到：

式中，q1-q3的具體表達見文獻[5]。

根據式（4），令土重功率與孔隙水壓力功率之和等于內能耗散率，可以得到非均質各向異性土坡的臨界高度Hcr，并定義NS=γHcr/c為土坡的穩定系數：

NS是關于四個變量θ0，θc，θh和β'的非線性隱式函數，直接求解往往十分困難，因此采用序列二次規劃優化算法求解NS的最優解，表述如下：

3 對比驗證

為了驗證上述模型和計算方法的正確性，將本文中的土坡退化成均質土坡與現有文獻進行對比，即非均勻性系數n0=n1=n2=1。并令θc=θ0，即不考慮裂縫的存在，結合強度折減法將本文求解得出的穩定系數轉化成安全系數Fs并對比各向異性系數k=0.5和k=1.0兩種情況，相關參數與對比結果如表1所示。由表可知，對于各項異性均質土坡，本文求解結果與現有文獻解答非常接近，最大誤差不超過2%，從而充分驗證了本文模型和計算方法的有效性。

表1 邊坡安全系數對比分析Table 1 Comparative analysis of safety factors of slopes

4 參數分析

4.1 非均質性系數的影響

由圖3—圖6可知，考慮坡內孔隙水的存在會降低邊坡穩定性。圖3和圖4給出了土體非均質性對邊坡穩定性的影響。由圖3可知，無論是否考慮坡內孔隙水壓力作用，邊坡穩定性隨著n0的增大呈線性增大，且隨著邊坡坡角的減小和內摩擦角的增大，穩定系數增加的幅度增大。如圖3（a）所示β=45°土坡，n0從0.5到1變化時，φ=10°和φ=20°對應的穩定系數γH/c分別增大了13.1%和17.4%。原因在于，坡頂處的黏聚力小于坡趾處的黏聚力，相比較于均質土，黏聚力整體減小了，從滑動土體沿破壞面消耗的內能減小，因而導致邊坡穩定性減小。圖4表示在不同孔隙水壓力系數下土體非均質性對邊坡穩定性的影響。從圖4可以看出，在不考慮孔隙水作用下n0對邊坡穩定性的影響最大，并隨著孔隙水壓力系數的增大，n0的影響在減小。ru=0和ru=0.5穩定系數分別提高了16.6%和10.3%。

圖3 土體非均質性對邊坡穩定性的影響Fig.3 Effect of soil nonhomogeneity on slope stability

圖4 不同孔隙水作用下土體非均質性對邊坡穩定性的影響Fig.4 Effect of soil nonhomogeneity on slope stability under different pore water pressure

圖5 土體各向異性對邊坡穩定性的影響Fig.5 Effect of soil anisotropy on slope stability

圖6 不同孔隙水作用下土體各向異性對邊坡穩定性的影響Fig.6 Effect of soil anisotropy on slope stability under different pore water pressure

圖7 土體非均質性和各向異性對裂縫深度的影響Fig.7 Effect of nonhomogeneity and anisotropy of soil on crack depth

4.2 各向異性系數的影響

圖5和圖6給出了土體各向異性對邊坡穩定性的影響。圖5表明隨著k的增大，邊坡穩定性逐漸降低。原因在于，隨著k的增大，ci減小，從而邊坡破壞時沿破壞面消耗的內能減小，導致邊坡穩定性降低。圖6給出了不同孔隙水壓力系數下土體對邊坡穩定性的影響，從圖中可知，對于不同的ru，邊坡穩定性隨著k的增大而降低，且隨著ru的增大，土體的各向異性影響逐漸減小。

4.3 裂縫深度和位置

圖7和圖8分別給出了土體非均質性和各向異性對裂縫深度和位置的影響。從圖7可以看出，裂縫深度隨著坡角的增大而增大，圖7（b）表明坡內孔隙水的存在會使得裂縫深度增加，原因在于裂縫中存在水壓力在促使邊坡ABCD破壞的同時也為垂直邊坡AFE提供抗滑力，提高了該邊坡的穩定性，即邊坡臨界高度Hcr增大，即裂縫深度。相比較于均質各向同性土坡，僅考慮各向異性的土坡對應的裂縫深度更大，而僅考慮非均質的土坡對應裂縫深度最小。從圖8可知，裂縫位置隨著坡角的增大先增大后減小至0。另外，無論是否考慮坡內孔隙水壓力作用，圖8表明土體的非均質性對裂縫位置的影響遠大于土體各向異性對裂縫位置的影響。因此土體的各向異性對裂縫位置的影響可忽略不計。

圖8 土體非均質性和各向異性對裂縫位置的影響Fig.8 Effect of nonhomogeneity and anisotropy of soil on crack location

5 結 論

本文基于極限分析上限定理，分析了孔隙水壓力作用下土體非均質性和各向異性對裂縫邊坡穩定性的影響，通過優化程序求解得到邊坡穩定系數上限解，探討了土體非均質性和各向異性對邊坡穩定性及裂縫深度和位置的影響，得到以下結論：

（1）邊坡穩定性隨著非均質系數的增大呈線性增大，隨著各向異性系數的減小而增大。這是由于土體的非均質系數增大和各項異性系數的減小導致滑落土體沿破壞面的內能耗散增大，從而提高邊坡的穩定性。在實際工程中需考慮土體的非均質和各向異性以減小經濟損失。

（2）孔隙水壓力作用會導致裂縫深度增加。裂縫深度隨著非均質系數和各向異性系數的減小而增大，但隨著非均質系數和各向異性系數同時減小而減小。裂縫位置隨著非均質系數的增大越靠近坡肩，土體的各向異性對裂縫位置的影響可以忽略不計。