一種基于速度-高度剖面的再入制導算法*

尤志鵬 邵 干 李 洋 楊 勇

中國運載火箭技術研究院，北京 100076

0 引言

空天飛行器再入過程具有約束多、大氣及氣動不確定性高等特點，設計精度高、自主性好、自適應性強的再入制導算法仍然充滿挑戰。航天飛機再入制導律是最早得到應用的升力式再入制導律，經過了多次飛行考驗，從未發生致命性故障，被后續可重復使用飛行器(RLV)所繼承并得到進一步發展[1-2]。此后，更加先進的再入制導算法得到廣泛研究，自主性、快速性、適應性進一步增強[3-5]。

現有再入制導算法主要分為2類：標準軌跡制導和預測校正制導。目前，標準軌跡制導應用最廣泛，Mease等[6-7]提出衍化加速度再入制導律(EAGLE)，比傳統航天飛機再入制導律具有更強的自適應能力，可以應用于大橫程再入。王鵬等[8]進一步考慮了基于阻力加速度-能量剖面再入制導算法的速度傾角控制問題，提升了制導精度和適應性。趙頔等[9]通過數值迭代確定滿足終端約束的速度-高度剖面，制導精度較高。但是，標準軌跡跟蹤制導算法需要離線設計標準剖面，自主性較差，不利于飛行器性能發揮。

預測校正制導通過比較預測終端條件與期望終端條件偏差形成制導指令，不需要事先規劃飛行剖面。早期預測校正制導迭代參數較多，Fuhry等[10]通過解算傾斜角指令和傾斜角變號時機消除預測落點與期望落點偏差，但該算法計算復雜，計算資源消耗多。為降低迭代復雜度，Lu等[11]將攻角剖面固定，每制導周期僅迭代獲取滿足航程要求的傾側角剖面，并通過傾側角反號控制橫程，得到一種通用預測校正制導算法[12-13]。劉剛等[14]進一步考慮了預測校正制導律設計過程中的攻角調節問題，增強了算法適應性。但是，上述制導算法在每個制導周期均需要在縱向運動平面內執行多次彈道積分，算法效率仍存在較大提升空間。

為降低預測校正制導計算復雜度，本文提出一種基于速度-高度剖面的預測校正再入制導算法。在每個制導周期通過卡爾曼濾波估計速度中點對應的無量綱高度，預測滿足航程要求的速度-高度剖面，避免傳統數值預測校正的多次數值迭代。同時，針對算法在再入飛行末端擬合系數奇異問題，通過切換為標準軌跡制導予以避免。

1 運動方程及約束

1.1 運動方程

假設地球是均質圓球，三維質點再入運動無量綱方程為：

(1)

L=ρ(VcV)2SrefCL/(2mg0)

(2)

D=ρ(VcV)2SrefCD/(2mg0)

(3)

式中:ρ表示大氣密度；Sref,m分別表示參考面積和飛行器質量；CL,CD分別表示升力系數和阻力系數，與攻角α有關，而攻角通常按速度進行裝訂。

1.2 再入約束

再入過程約束主要包括動壓約束、熱流約束、過載約束、平衡滑翔約束，分別通過下式計算：

(4)

(5)

n=|Lcosα+Dsinα|≤nmax

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

通過牛頓迭代求解式(7)，得到該約束下r和V的對應關系，至此，給定攻角剖面后，即可以得到再入走廊。

末端約束主要包含末端高度、末端速度、末端經緯度約束，對于基于速度-高度設計的飛行剖面，速度是自變量，因此高度約束和經緯度約束是末端主要約束。表達如下

r(Vf)=rf

(11)

θ(Vf)=θf

(12)

φ(Vf)=φf

(13)

式中：rf、θf和φf分別表示末端飛行器質心至地心距離、末端經度和末端緯度。

2 制導算法設計

飛行器再入段包括初始再入段和擬平衡滑翔再入階。初始再入段氣動力作用較弱，通常在滿足航程、熱流等約束作用下，以固定傾角飛行。當飛行器再入軌跡進入再入走廊并滿足擬平衡滑翔條件時，飛行器進入擬平衡滑翔階段，該階段飛行時間長、飛行距離遠、狀態變化大，是再入制導律主要起作用階段，本文從該段開始設計再入制導律。由于進入該階段后，飛行速度隨飛行時間逐漸降低，具有良好的單調性，因此可將速度作為運動方程的自變量，實現運動方程降階，提高預測校正制導計算效率。

2.1 速度-高度飛行剖面擬合

再入飛行過程中，飛行器除需要滿足再入走廊約束外，縱向軌跡還需要滿足航程、終端速度和終端高度約束，除此之外，為保證飛行軌跡平滑，可進一步引入終端高度對終端速度的導數約束。飛行器當前縱向軌跡狀態包含當前速度、當前高度、當前航跡傾角。由于

(14)

式中：h表示無量綱飛行高度，因此

(15)

即航跡傾角約束可轉化為飛行高度對飛行速度的導數約束。因此可利用三次分段多項式形式的速度-高度飛行剖面擬合縱向飛行剖面，即

(16)

式中：aj,bj,j=0,…,3是擬合系數，Vm表示當前速度至交班點速度的速度中點，即Vm=(Vi+Vf)/2，在第i個制導周期，已知狀態主要包括當前點的速度Vi、高度hi、航跡傾角γi，再入段交班點的速度Vf、高度hf。初始及終端狀態構成四組約束，即(Vi,hi)、(Vi,(dh/dV)i)、(Vf,hf)、(Vf,(dh/dV)f)。此外為滿足連續性要求，需要兩個分段在Vm處飛行高度相等且高度相對于速度的導數及二階導數相等，形成三組約束。同時，航程要求可通過調整Vm處飛行高度hm實現，至此形成了8組約束，可對擬合系數進行求解。在速度-高度剖面內航程隨速度變化表達為：

(17)

將式(15)代入，可得飛行航程與期望待飛航程之差可以表示為

(18)

式中：Rexp表示期望待飛航程。

選擇合適的hm，使得S(hm)=0，從而滿足航程約束。

2.2 縱向制導指令

為得到期望的縱向航程，需要在每個制導周期獲得合適的hm，從而確定飛行剖面并得到傾側角幅值。

通過卡爾曼濾波對每個制導周期內滿足式(18)的hm進行辨識，利用辨識結果求解擬合剖面的擬合系數，進而產生該制導周期所需要的制導指令，避免了傳統數值預測算法需要多次積分縱向運動方程的不足，增強了算法實時性。

建模過程如下：

狀態方程：

hm_i+1=hm_i+εi

(19)

觀測方程：

Zi=S(hm_i)+νi

(20)

式中：i表示第i個制導周期，hm_i+1,hm_i表示第i+1和第i個制導周期速度中點對應的無量綱飛行高度；εi及νi為互不相關零均值高斯白噪聲，其協方差分別記為Qi,Wi。

為獲得使再入剖面滿足航程約束的hm_i，可將觀測值設置為Zi+1≡0。hm_i必須滿足再入走廊約束并且具有一定的裕度，將速度中點對應飛行高度距離再入走廊邊界的無量綱距離取為不小于κ=5×10-4，修正后的辨識結果見式(21)。

(21)

觀測方程是非線性的，濾波過程中需要通過式(22)所示的差分計算觀測矩陣Hi+1。

(22)

在每個制導周期，當hm_i確定后，可通過式(23)求解該制導周期對應的速度-高度剖面擬合系數。

(23)

為獲得傾側角指令，將飛行高度對速度求二階導數，得

(24)

其中

(25)

(26)

(27)

當前飛行狀態接近終端狀態時，式(23)求逆過程會出現奇異。為解決該問題，當前飛行速度與終端速度之差小于100m/s時，停止預測校正制導，不再更新飛行剖面，改為跟蹤最后一次產生的飛行剖面，即式(28)。

cosσ=

(28)

式中：ξ,ω分別是阻尼比和自然頻率，可取為固定值；href為參考軌跡對應的高度。為進一步增強跟蹤能力，考慮引入傾側角反饋，即

Lcosσ′=Lcosσ-K(γ-γref)

(29)

式中：K是反饋系數；γref為參考剖面對應的航跡傾角。

2.3 橫向制導

橫向制導采用基于航跡偏角偏差走廊的傾側角反轉實現，表達如下

(30)

式中：Δψup和Δψdown表示航跡偏角走廊上邊界和下邊界；Δψ表示航跡偏角偏差，計算如下

Δψ=ψ-ψLOS

(31)

ψLOS即當前位置至目標點的理想視線角，計算如下

(32)

至此完成算法設計，流程見圖1。

圖1 算法流程

3 仿真校驗

仿真模型參考文獻[12]，攻角剖面取為

(33)

3.1 標稱狀態仿真

對4種不同航程下的算例進行仿真驗證。它們初始再入位置不同，交班點高度為25km，初始狀態如表1所示。

表1 初始條件

仿真結果如圖2～3所示。可見在標稱狀態下，基于卡爾曼濾波的速度-高度剖面預測校正制導律能夠滿足飛行約束條件，軌跡變化平緩，精度較高。

圖2 不同算例下標稱再入軌跡

相比于文獻[12]所展示的數值預測校正制導算法(NPC)，本文制導指令生成速度更快。NPC制導復現時，制導周期選擇為1s，預測步長選擇為5s，積分方式采用歐拉積分，本文算法制導指令生成速度與之對比如下。

表2 全飛行段生成一個制導指令所需時長

圖3 無量綱高度濾波結果及制導指令

3.2 參數擾動狀態仿真

考慮參數初始狀態偏差及不確定性參數辨識初值偏差，針對算例4，利用蒙特卡洛仿真校驗算法魯棒性，仿真次數設定為300次。初值偏差均取為隨機偏差(表3)，升力系數、阻力系數、大氣密度、攻角偏差取為隨機偏差和固定偏差的組合(表4)。

表3 初值參數偏差

表4 過程參數偏差

仿真結果如圖4～6所示，圖4是偏差條件下飛行軌跡，可見制導律能夠適應偏差工況。圖5是對應的辨識結果和制導指令，算法制導指令變化較為平滑，無發散現象。圖6是再入交班點分布，可見大部分工況下交班點在理論交班點3km以內，制導精度較高。

圖4 蒙特卡洛仿真再入軌跡

圖5 蒙特卡洛仿真辨識結果及制導指令

圖6 蒙特卡洛仿真交班點分布

4 結論

基于卡爾曼濾波的速度-高度剖面預測校正再入制導算法，每次制導指令的生成僅需要2次單變量數值積分，相比于傳統數值預測校正制導，避免了多次積分縱向運動方程，提高了實時性。針對算法末端擬合精度下降的問題，設置了更新終止條件并跟蹤最后一次規劃產生的標準飛行剖面，同時引入航跡傾角反饋，提升了算法在飛行末端的收斂性。

仿真表明，算法制導精度高，計算速度快，具有良好的適應性和魯棒性。