Copula理論在金融管理領域中的應用概述

易文德， 黃愛華

（1. 重慶文理學院 數學與大數據學院， 重慶 永川 402160；2. 重慶文理學院 財務處， 重慶 永川 402160）

一、引言

眾所周知， 具有相同相關系數的時間序列間的相依結構可能不同，或者說，不同相依結構的時間序列的相關系數可能相同。 金融時間序列間相依結構的復雜性和多樣性不僅表現在相依分布的中部，而且還反映在相依分布的尾部。 相依結構會影響資產、資產組合的定價和風險測度，特別是在局部和某些極端情況下，相依結構對風險的預測起著決定性的影響。Boyer認為，在建立風險管理模型時僅僅考慮變量間的相關度（Degree of Dependence）是不夠的，還必須考慮變量的相依結構（Dependence Structrue），并對Copula函數在風險管理中的應用問題進行探討［1-2］。研究時間序列的相依結構不僅可以在相依程度上反映相關關系，還可以在相依的形態構成上反映相關的模式，以至更精細地刻畫時間序列的相依特征。

由于金融市場不斷涌現的典型事例，大量的理論和實證表明有效市場假說并非是實際市場運行機制的完美描述，許多金融資產風險度量分析技術的假設與實際有較大偏差，這就導致了有些分析技術的欠缺和局限性。 如在傳統的風險管理理論中，通常假定資產收益服從正態分布，并采用Pearson的線性相關系數（Linear Correlation）作為資產相關性度量指標，眾多研究結果表明，許多金融資產的收益具有明顯的厚尾性，與正態分布假設相差較大；而當市場發生重大波動時，線性相關系數也無法反映出資產收益曲線的尾部相關特征。

相關性理論是研究資本證券市場復雜性問題的重要理論， 基于Copula理論的金融時間序列相依結構的研究是金融工程的重要研究課題。 它從金融時間序列自身的相依關系和時間序列之間相依關系的角度， 解釋目前作為主流理論的有效市場假說所無法涵蓋解釋的隨機現象，為市場動力分析提供了一種新的統計分析方法。

關于金融市場相依性的研究主要有三種方法：聯合分布函數的方法、條件相關的方法和Copula函數理論的方法。 聯合分布函數的方法通常應用聯合正態分布和相關系數度量金融市場的相關性，線性相關系數對相關結構不能給予有效的分析，且要求邊緣分布為橢圓形分布，而許多金融資產的收入序列并不滿足這樣的條件， 因此聯合分布函數的方法具有很多局限性。 條件相關的方法在研究相關性時考慮了金融資產的條件信息，彌補了非條件線性相關的缺陷。 然而，Forbes 和Rigobon指出：條件相關系數在不同的條件下會產生很大變化，對相關性結果分析會產生誤導而難以對結果進行解釋［3］。 Copula函數方法是一種直接而靈活的相關性測度方法，它不僅可以測度相關的強度而且可捕捉相關的結構，能夠適用于任何分布形式和測度非線性相關的情形，Copula函數方法已經成為相關性研究最有效的新方法。

1959年，Sklar定理的提出奠定了Copula理論的基礎［4］。Joe和Nelson詳細地介紹了Copula函數統計和數學方面的基本內容和性質［5-6］。Copula理論創立后，更多的是在數學性質等理論方面的研究。 由于計算技術的原因，其在應用方面研究的進展比較緩慢，在20世紀末才逐漸在各領域應用，特別是在金融風險管理中的應用得到了人們的重視，并迅速發展且取得了巨大的成果。 Embrechts等［2,7-8］最先把Copula理論引入風險管理中， 應用Copula理論研究金融、宏觀經濟和微觀經濟等數據的相依風險價值VaR，并研究Copula函數的參數估計、模型的評價方法。

基于Copula理論對時間序列建模的研究主要有兩個方面： 一個方面是應用于多維時間序列模型，主要模擬隨機向量Xt=（X1t，X2t，…，Xnt）′聯合分布以研究各邊緣序列間的相依結構，這導致了時變Copula函數的研究；另一方面是應用于模擬單個時間序列的觀測序列（Xt，Xt+1，…，Xt+n）′的聯合分布，以研究單個序列的觀測序列的相依結構，這種應用引導人們考慮Markov過程和非線性的時間序列模型。 本文對Copula理論在金融風險管理領域中的應用進行歸納和概述，以期梳理Copula理論在金融管理中的研究進展和現狀。

二、基于Copula理論的多維時間序列模型的研究

（一）多維時間序列模型

基于Copula理論的多維時間序列模型，主要是模擬隨機變量Xt=（X1t，X2t，…，Xnt）′的聯合分布以研究各邊緣序列間的相依結構。Longin和Solnik［9］應用Gumbel Copula函數研究了資本市場的尾部相依關系，實證表明：拒絕多個資本市場的下尾服從多元正態分布，而不拒絕上尾服從正態分布，相關性與市場變化趨勢相關而與市場自身的波動無關，熊市中相關性大于相對應的牛市中的相關性。 Patton［10-11］定義了條件Copula函數，結合GARCH模型和Copula理論分析外匯市場的相依關系時，研究了條件Copula函數參數的時變特征，刻畫邊緣分布應用了Engle［12］的ARCH模型和Bollerslev［13］的GARCH模型，參數時變形式的設定考慮了參數自身的滯后項和觀測值滯后的關系。 Jondeau和Rockinger［14］考慮收益率的聯合非正態分布和時變特征，其中包括了波動聚集性、非對稱和肥尾特征，應用條件Copula函數研究了幾個股票市場的相依關系及其時變性。 另外，Rodriguez［15］研究了條件Copula函數的結構轉換模型，并應用該模型分析了金融市場的風險傳染性。 Okimoto［16］研究了證券市場的非對稱結構，發現證券收益率的相依函數在高期望、低波動狀態時是顯著非對稱的，而在低期望、高波動狀態時是對稱的。 Lee和Long［17］把Copula理論和多元GARCH模型結合起來，構造靈活的Copula分布函數模擬多元GARCH模型回歸的殘差，GARCH模型能捕捉時間序列的時變相關關系， 而用Copula函數捕捉那些不能被GARCH模型刻畫的無序列相關的殘差之間的相依關系。

多元Copula函數模型構造：設隨機變量X1，…，XN的Copula函數C（·，…，·;·）的密度分布為c（·，…，·；·），其邊緣分布為Fn（·；·），邊緣密度函數為fn（·；·），n=1，…，N，由Copula函數與聯合分布的關系有：

其聯合密度函數為：

其中，θ=（θ1，…，θN；θC），樣本（x1，t，…，xN+t），t=1，…，T。 對數似然函數表示為：

這樣對模型參數的估計可以分步進行， 對于多參數模型來說可以提高參數估計的效能，節約模型的自由度，模型參數估計更具有優越性。

（二）單個時間序列模型

根據單個時間序列（Xt，Xt+1，…，Xt+n）′的觀測序列建立Copula模型，以研究單個序列的時間上的前后相依關系。Darsow等［18］為一階Markov時間序列建立了Copula模型，研究變量Xt和Xt+1之間的相依關系，并研究模型參數估計量的一些性質，給出了基于Copula的時間序列是Markov過程的充分必要條件。 Chen和Fan［19］研究了一階Markov時間序列的半參數Copula模型的參數估計和模型誤設情況下的模型選擇問題，模型的邊緣分布用非參數方法估計，而Copula函數設定為參數正態分布。 Ibragimov［20］把Darsow等的工作拓展到Markov鏈的高階情形，并且新提出了一類Copula函數。 Beare［21］通過Copula函數的性質研究Markov時間序列的弱相依性，證明了時間序列的Copula函數尾部相依性會導致Markov 時間序列不滿足標準混合條件。 Gagliardini 和Gourieroux［22］拓展了Engle和Russell的自回歸條件持續時間模型，提出并研究了時間序列短期相依的Copula模型。 Ibragimov和Lentzas［23］對時間序列的長期相依關系進行了Copula函數模型探討。

單個時間序列模型：設{Xt，t=1，2，…}由（F（·；θ），C（·，·；δ））生成的一階平穩馬爾科夫時間序列，其中F（·；θ）是連續的邊緣分布函數，密度函數f（·；θ）是實數域上的Lebesgue測度；C（·，·；δ）是關于（Xt－1，Xt）的連續的Copula函數，密度函數c（·，·；δ）是（0，1）2上的Lebesgue測度，θ，δ分別是邊緣分布和Copula函數的有限維參數。 由Sklar定理［6］：H（x，y；θ，δ）=C（F（x；θ），F（y；θ）；δ）是一個具有邊緣分布為F（·；θ）的聯合分布函數。 Joe［5］應用Copula函數模擬了馬爾科夫時間序列的相依關系。 聯合分布為H的平穩馬爾科夫時間序列的轉移概率密度函數可表示為:

（4）式可以等價表示為：

由（5）式可知，平穩馬爾科夫時間序列完全由邊緣分布和Copula函數確定。

（三）綜合以上兩類時間序列的相依關系模型

對于時間序列Xt和Yt組成的向量，這里有兩類相依結構需要考慮：一類是單個序列時間上的相依關系，如Xt－1和Xt之間的相依關系；二是兩個序列間的同期相依關系，如Xt和Yt之間的相依關系。 這兩類相依關系都同時影響時間序列向量的相依關系，研究這兩類相依關系的特性及其融合的方式，無疑是具有很大意義的。

設時間序列Xt和Yt分別是一階平穩的馬爾科夫序列，F（·；α）和G（·；β）是連續的邊緣分布Xt和Yt的邊緣分布密度f（·；α）和g（·；β），二是Xt－1和Xt以及Yt－1和Yt的短期條件相依關系cX（·，·；θX）和cY（·，·；θY），三是Xt和Yt的同期相依關系c?（·，·；θ?）。這有利于模型參數的估計，估計模型參數時可以分階段進行，便于模型的求解。

從（7）式可以看出，隨機變量

三、Copula模型的估計與評價

多維時間序列Copula模型的參數估計有許多種方法，主要分為參數方法和非參數方法。

（一）完全參數模型

即條件邊緣分布和條件Copula函數都是有限維的參數分布，可以應用極大似然估計方法，如果邊緣分布、Copula函數可以分開，則參數估計可以分步進行，采用多步驟極大似然估計MSMLE （Multi-Stage Maximum Likelihood Estimation） 方法， 有時也稱IFM（Inference Functions for Margins）方法。通過一元分布函數的極大似然估計方法估計邊緣分布的參數，在此基礎上再估計Copula模型的參數。 多步驟似然估計方法可以簡化計算，降低或消除參數估計的維數問題。 Patton［11，24］應用多步驟極大似然估計MSMLE對多維時間序列模型的參數估計進行研究，考慮各時間序列的樣本觀測值的時間段不相同情況的估計效果，與一步極大似然 （1SMLE） 估計相比，MSMLE的估計效果沒有比1SMLE的效果更差。 Chen與Fan［19，25］和Chen等（2006）［26］證明一階平穩Markov時間序列Copula模型的半參數極大似然估計的一致性和近似正態性，并對模型進行了應用研究；而Abegaz和Naik-Nimbalkar［27］研究了一階平穩Markov時間序列Copula模型的兩階段參數極大似然估計及其估計的一致性和近似正態性。 Prokhorov和Schmidt［28］研究了用面板數據對Copula函數進行準極大似然估計的穩健性、冗余性和有效性的實證分析。Kallenberg［29］研究用模型選擇技術估計Copula函數密度問題，發現應用復雜的模型會產生較小模型誤差，但會產生較大的隨機或估計誤差；而應用簡單的模型則會產生較小的隨機誤差但會有較大的模型誤差。 Fantazzini［30］研究t-Copula的三階段半參數估計以及估計的近似性質， 并分析了這種估計的優缺點。 Yi和Liao［31］考慮時間序列的同期相依關系和短期相依關系，建立了一階平穩Markov時間序列Copula模型， 提出模型參數的三階段準極大似然估計方法3SPMLE （three-stage pseudo maximum likelihood estimation），并研究3SPMLE參數估計的一致性和近似正態性。 Autin等［32］用小波方法研究多維Copula密度函數的估計問題，并提出了估計的算法和用模擬的方法評價了估計方法的性質。

（二）非參數估計方法

Genest和Rivest［33］、Capéraà等［34］對多維隨機變量的Copula模型進行了非參數估計方法的研究，而Ibragimov［35］研究了單個時間序列Copula模型的非參數估計方法。Chen等［36］提出基于置信區間（Confidence Intervals）的經驗似然方法（Empirical Likelihood）估計Copula函數模型，通過與Bootstrap方法的對比進行了實證和模擬研究。

在實際應用中通常要檢驗模型是否充分反映經濟數據的實際特征，因此模型的評價在經濟應用研究中是非常重要的內容。Copula模型的評價主要有兩類：一類是在幾個模型中選擇最好的模型，這種檢驗評價方法是用模型的經濟標準或統計標準加以比較，如似然比檢驗、信息準則AIC或BIC(Akaike or Schwarz’s Bayesian Information Criteria)。 Diebold 等［37］對Copula模型的分布密度的選擇評價問題進行了研究，Chen和 Fan［38-39］研究了Copula模型的分布密度的評價和半參數時間序列Copula模型的似然比檢驗問題，Abegaz和Naik-Nimbalkar［27］研究了一階平穩Markov時間序列參數Copula模型在誤設情況下似然比檢驗問題。 另一類是評價一個單獨的模型是否充分擬合了數據，如構造某種統計量，在一定的置信水平下比較統計量與臨界值的大小以決定模型的擬合優度，如χ2檢驗，“Hit”檢驗等。 Malevergne和Sornette［40］研究了高斯Copula模型的擬合檢驗，Panchenko［41］研究了時間序列模型的擬合檢驗，Scaillet［42］研究了獨立同分布隨機變量Copula模型的擬合評價，Genest等［43］研究了時間序列基于概率積分變換方法Copula模型的擬合檢驗問題。

四、Copula理論在金融和經濟領域中的應用

Copula理論在金融和經濟領域中的應用主要集中在風險管理、期權定價、組合投資、信用風險和金融市場的傳染性等方面。

（一）在風險管理領域

目前主流的風險價值指標為VaR（Value at Risk）, 而大量的研究證明許多金融時間序列具有高峰厚尾性而不服從正態分布。因此，在正態分布假設下計算的VaR值，常常會低估實際的風險，而在低估的風險值下進行風險管理運作，可能會使金融機構遭受巨大的損失。 為了更準確有效地測度資產的風險價值, Hull 和White［44］研究變量的非正態假設情況下的VaR， Embrechts等［8］應用Copula理論研究組合資產的風險價值VaR；Rosenberg 和 Schuermann［45］應用Copula理論研究市場的綜合風險問題，他們認為研究風險時必須同時考慮市場風險、信用風險和操作風險。 McNeil等［46］和Alexander［47］對Copula理論在風險管理中的應用問題做了較詳細的闡述，從多角度分析Copula理論在金融風險管理中的建模應用問題。 Huang［48］實證研究了應用條件Copula-GARCH模型估計計算組合資產的VaR的方法，認為估計組合資產的VaR時Copula模型比傳統的模型更好。 Fantazzini［49］研究邊緣分布和Copula函數都為誤設情況下VaR估計的蒙特卡羅（Monte Carlo）方法，指出Copula誤設對VaR估計的影響主要取決于相依的程度。 Chollete等［50］應用多元Copula轉換模型研究了金融資產的相依關系，認為Copula模型能模擬金融市場的相依結構，邊緣分布的選擇對Copula建模有重要影響。

（二）在期權定價領域

Cherubini等［51］比較詳細地介紹了Copula理論在期權資產定價中的應用研究，Zhang等［52］應用時變Copula模型研究了GARCH過程的期權定價問題， 實證認為期權定價的動態Copula模型優于靜態模型。 Lai等［53］應用Copula-門限GARCH模型研究了五個東亞國家的現貨和期貨市場的最優套期保值模型，研究認為由Gaussian 或混合copula模型所構造的對沖比率（hedge ratios）更為合理。 有關Copula理論應用于衍生資產定價的研究還有Rosenberg［54］和van den Goorbergh等［55］等，他們從不同的角度研究期權價格相依性的模型擬合問題。

（三）在組合投資領域

一般認為組合資產的效用函數是二次的、服從多元橢圓形分布，在決定最優組合資產的權重時，僅考慮資產價格序列的一階矩、二階矩和線性相關系數。 然而，大量的研究證明組合資產的上述假設是不成立的，因此，在做最優組合資產投資決策時，需要設定組合資產的條件聯合分布。 Patton［56］應用Copula理論，結合資產的峰度和偏度，研究兩個資產的投資組合問題，并分析組合投資在熊市和牛市情況下的相依關系問題；而Garcia和Tsafack［57］的研究分析了四類資產，其中包括股票和債券資產，同類資產有較強的相關性，特別是在非對稱的情況下，而資產和債券間的相關性較弱。 Sak等［58］應用t-Copula模型研究資產線性組合的尾部概率有效模擬計算問題，t-Copula模型捕捉資產對數收益率之間的相依結構，而假設邊緣分布服從廣義二次曲線分布。

（四）在信用風險領域

Li［59］最早把Copula理論應用于信用風險管理中，定義了兩個信用風險資產的違約相依關系，探討應用Copula理論研究違約相關問題的方法。 Giesecke［60］應用Copula理論研究不完全信息狀況下的違約相關性問題， 一個公司的違約會導致投資者對相關資產價格進行重新評估，違約具有傳染性。 Chen等［61］從日本證券市場選擇43家公司研究信用違約收益與證券收益率分布的峰度之間的相依結構，認為Gumbel函數最適合描述它們之間的相依結構，認為在低信用等級時信用違約收益對信用轉移風險更敏感。 He和Gong［62］構造基于Copula理論的條件風險價值CVaR (Conditional Value-at-Risk)模型以刻畫市場和信用風險的相依關系，研究結果顯示，如果忽略信用風險，公司股票的相依風險會低估。

（五）金融波動傳染性研究

金融波動傳染性是金融市場普遍存在的現象，一個市場的劇烈波動或危機會導致其他市場出現劇烈波動或危機，1997年的亞洲金融危機和2008年美國次級債貸款危機就是例子。 在危機時期和非危機時期，市場的相依程度以及相依結構是不相同的。為研究這個問題,Baur［63］研究了金融市場的波動溢出和相關性； Granger等［64］研究了二維時間序列條件分布的公共因素，收入與消費之間的影響因素是在邊緣分布上而不是在Copula模型所刻畫的相依關系上；Hu［65］提出用混合Copula函數對金融數據進行分析可以較好地捕捉金融變量的尾部相依性；Hu［66］應用條件時變Copula模型研究中國股票市場與美國股票市場的相依關系，實證認為：時變相依模型不一定總是優于常變量模型，在有些時間段內，上尾的相依程度比下尾的相依程度明顯更高，中國股票市場具有相對的獨立性，中國市場與美國市場的尾部相依關系要強于與其他國家股市的相關性；Jondeau 和Rockinger［14］應用時變Copula模型研究四個主要國際股票市場的相依關系；Rodriguez［15］應用混合Copula模型研究東亞股票市場與拉丁美洲股票市場在金融危機時的風險傳染性，建立了Markov轉換的Copula模型；Ning和Wirjanto［67］研究東亞國家6個新興股票市場的指數與交易量尾部的相依關系，實證發現這些市場的指數與交易量尾部相依關系是顯著、非對稱的，特別發現指數的極端上漲與極端大的交易量相聯系，但是沒有發現指數的極端下跌與極端大或極端小的交易量有聯系。 Ning［68］應用Copula函數研究資本市場與外匯市場的相依結構。

五、國內研究現狀

國內許多學者應用Copula模型實證研究金融市場中多個不同方面的現象和問題， 取得了豐富的研究成果。張堯庭［69］從理論上探討Copula在金融管理方面應用的可行性，分析了各相關性指標的優缺點；韋艷華、張世英［70］等用Copula-ARCH 模型研究上海證券市場中幾個板塊間的相關性，討論Copula-ARCH類模型的構建，并應用于金融市場的風險分析中；史道濟等［71-72］應用Copula理論研究滬深股市的相依性以及相依風險價值VaR；何其祥等［73］研究股指期貨的投資組合風險；劉志東［74］結合GARCH-EVT模型研究資產組合選擇模型以及模型的混合遺傳算法；劉曉星和邱桂華［75］基于Copula-EVT模型研究我國股票市場流動性調整的VaR和ES風險指標；詹原瑞等［76］應用Copula函數族研究信用違約互換組合定價問題；吳恒煜等［77］研究我國國債利率期限結構，發現Gumbel Copula和混合Copula能較好地描述1年期和10年期國債利率的結構；童中文等［78］、李建平等［79］也對信用風險和違約風險的相關性進行了研究；葉五一等［80-81］應用Copula函數研究風險價值和美國次級債金融危機的傳染性；杜子平等［82］研究基于“藤”結構的高維動態Copula模型的構建。 還有一些學者，如傅強、朱世武、陳守東、李秀敏、羅付巖、王玉剛、易文德、張明恒、蔡霞、胡心瀚等，也應用Copula函數對金融市場的相關性作過一些探討［74,83-91］。

同時， 近年來國內若干課題組對Copula理論及其在金融領域的應用方面也進行了卓有成效的研究，如北京航空航天大學李平教授的“基于動態Copula的多元信用衍生產品定價”和“離散時間不完全金融市場中基于Copula的多資產期權定價研究”； 江西財經大學吳恒煜先生的“基于Copula的多重基于資產信用衍生品定價的蒙特卡羅模擬方法研究”； 天津科技大學杜子平先生的“動態Copula模型的構建及其在金融領域的應用研究”和“時序非線性相依Copula分析建模及金融領域應用研究”。 還有許多國內學者也進行了相關研究，在此不一一列舉。

六、存在問題分析

截至目前， 運用Copula理論探索金融時間序列的相依關系而進行的風險管理還存在以下三個方面的問題：

一是模型相依關系的單一性問題。 現有的Copula函數模型都只考慮金融時間序列間的同期相依結構或時間序列的短期相依結構。 金融時間序列的相依關系主要有兩類：一類是金融時間序列之間的相依關系，即時間序列的同期相依關系；另一類是單個時間序列的短期相依關系。而已有的這些Copula相依模型都只是考慮了單方面的相依關系，而沒有把這兩類相依關系同時考慮進去。

二是邊緣時間序列波動性的擬合問題。 單個時間序列的波動一般用ARCH類模型來描述，現有模型一般只考慮邊緣時間序列波動的一階矩和二階矩的影響，而對金融時間序列的高階矩影響沒有考慮，也未進行系統分析。

三是非線性相依結構模型的描述問題。 雖然Copula理論作為研究隨機變量間非線性相依關系的一種更為廣泛和靈活的統計方法而受到關注，但建立一個充分描述非線性相依結構模型仍然是困難的。