萬有引力與宇宙航行相關問題剖析

河北 崔曉然 李富恩

(作者單位：河北省任丘市華北油田第三中學)

萬有引力與宇宙航行問題是高考的熱點問題。縱觀近幾年的高考試題，每年必有一道選擇題考查該知識點。這類問題的命題往往以現代航天的活動為背景，考查天體、人造衛星及宇宙飛船運動參量的比較，人造衛星或宇宙飛船的變軌、相距最近或最遠問題，衛星運動過程中的動力學問題、能量問題等，涉及參量多、計算量較大，使學生感覺問題很困難，本文就近幾年高考熱點，對萬有引力與宇宙航行知識進行總結和分析。

一、天體運動中易混概念

1.兩個半徑——天體半徑和衛星軌道半徑

(1)天體半徑：在高中物理中，通常把天體看成一個球體，天體半徑就是球的半徑，反映了天體的大小。

(2)衛星的軌道半徑：衛星繞天體做圓周運動的軌跡圓的半徑。

(3)關系：一般情況下，衛星的軌道半徑大于其環繞天體的半徑。當衛星在天體表面附近運動時，可近似認為其軌道半徑等于天體半徑。

2.兩種周期——自轉周期和公轉周期

(1)自轉周期：天體繞自身某軸線轉動一周所用的時間，自轉周期的大小反映了天體自轉的快慢。

(3)聯系：一般情況下，天體的自轉周期和公轉周期是不相等的，如地球自轉周期為24小時，公轉周期為365天，二者之間沒有直接聯系，應用時要注意區別。

3.兩種軌道——圓形軌道和橢圓形軌道

4.兩類運行——穩定運行和變軌運行

(1)穩定運行

(2)變軌運行

二、解題思路

牢記一個公式，兩個等式，區分三種運動情境。

兩個等式：F萬=mg，F萬=F向

三種運動情境：勻速圓周運動、離心運動、向心運動

三、高考熱點問題

1.中心天體的質量和密度的計算

(1)利用環繞天體的軌道半徑r和周期T。

【例1】(2021·全國乙卷·18)科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖1所示。科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1 000 AU(太陽到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力，設太陽的質量為M，可以推測出該黑洞質量約為

( )

圖1

A.4×104MB.4×106M

C.4×108MD.4×1010M

【答案】B

(2)利用中心天體自身的半徑R和表面的重力加速度g。

【例2】(多選)若宇航員在月球表面附近高h處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L。已知月球半徑為R，引力常量為G。則下列說法正確的是

( )

【答案】BC

2.天體運行參量分析

天體做勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供，有

由公式可以看出，軌道高度越高，運行的線速度、角速度及向心加速度都越小，而運行周期越長，即“高軌低速長周期”。

【例3】金星、地球和火星繞太陽的公轉均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，沿軌道運行的速率分別為v金、v地、v火。已知軌道半徑R金

( )

A.a金>a地>a火B.a火>a地>a金

C.v地>v火>v金D.v火>v地>v金

【答案】A

3.近地衛星、同步衛星及赤道上物體的運行問題

近地衛星、同步衛星：F萬=F向；赤道上的物體：F向=F萬-F支。

①近地衛星與同步衛星

近地衛星與同步衛星都是地球的衛星，都繞地球做勻速圓周運動，由“高軌低速長周期”可知：

因為r近a同，v近>v同，ω近>ω同，T近

②同步衛星與赤道上物體

同步衛星與赤道上物體轉動的角速度相同，由“同軸轉動模型”可知：

ω同=ω物，T同=T物，因為r同>r物=R，所以由v=ωr、a=ω2r可知v同>v物，a同>a物。

③三類衛星勻速圓周運動的比較

r同>r近>r物，v近>v同>v物，ω近>ω同=ω物，T近a同>a物。

【例4】(多選)有a、b、c、d四顆地球衛星，衛星a還未發射，在赤道表面上隨地球一起轉動，衛星b是近地軌道衛星，衛星c是地球同步衛星，衛星d是高空探測衛星，各衛星排列位置如圖2所示，則

( )

圖2

A.衛星a的向心加速度等于重力加速度g，衛星c的向心加速度大于衛星d的向心加速度

B.在相同時間內衛星b轉過的弧長最長，衛星a、c轉過的弧長對應的角度相等

D.衛星b的周期一定小于衛星d的周期，衛星d的周期一定小于24小時

【答案】BC

4.變軌問題

(1)速度：設衛星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速度分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上經過A點和B點時的速度分別為vA、vB。在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因為v1>v3，所以vA>v1>v3>vB。

(2)加速度：衛星只受萬有引力作用，所以無論在哪一軌道經過同一點時加速度都相等。

(4)在一個確定軌道上，衛星的機械能守恒；在不同軌道上運行時，同一衛星的機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大。

圖3

【例5】2020年12月17日，嫦娥五號成功返回地球，創造了我國到月球取土的偉大歷史。如圖4所示，嫦娥五號取土后，在P處由圓形軌道Ⅰ變軌到橢圓形軌道Ⅱ，以便返回地球。下列說法正確的是

( )

圖4

A.嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運行時均超重

B.嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運行時機械能相等

C.嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運行至P處時速率相等

D.嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運行至P處時加速度大小相等

【解析】嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運行時均處于失重狀態，由上述分析可知，嫦娥五號在軌道Ⅰ運行時的機械能小于在軌道Ⅱ運行時的機械能；在軌道Ⅰ運行至P處時速率小于在軌道Ⅱ運行至P處時速率；在軌道Ⅰ和Ⅱ運行至P處時加速度大小相等，所以選項D正確。

【答案】D

5.雙星問題

(1)雙星：兩個距離比較近的行星，在彼此間的引力作用下繞兩者連線上的某一點做圓周運動，這樣的兩顆行星組成的系統稱為雙星。

圖5

(2)雙星問題的特點

①雙星的運動軌道為同心圓，圓心是二者之間連線上的某一點；

②雙星的向心力大小相等，由二者間的萬有引力提供；

③雙星的運動周期、角速度相等；

④雙星的軌道半徑之和等于二者之間的距離，即r1+r2=L；

【例6】(2018·全國卷Ⅰ·20)(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時，他們相距約400 km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈，將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數據、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星

( )

A.質量之積 B.質量之和

C.速率之和 D.各自的自轉角速度

【答案】BC

四、總結

高考沖刺階段的復習不是簡單的知識羅列，而是幫助學生將知識點歸類，構建知識框架，建立解題模型，讓學生在復習中有招可循，對已有知識能夠做到自糾自查，將高考熱點逐個擊破。