電磁感應中的單棒和雙棒模型的歸類探析

江蘇 呂朝陽

(作者單位：江蘇省前黃高級中學國際分校)

在電磁感應中經常會遇到單根或兩根導體棒在導軌上做切割磁感線運動的問題，這類問題的實質是其他形式的能量與電能之間相互轉化；解決此類問題的思路和策略是從等效電路、力與運動、功能關系及動量沖量出發，在分析、推理和綜合的基礎上列出相應方程進行求解。筆者現對此類問題進行分類探析。

一、電磁感應中的單棒模型

1.模型解讀

電磁感應中的單導體棒模型是單根導體棒在導軌上做切割磁感線的運動，產生感應電動勢和感應電流，然后導體棒在安培力等合力的作用下運動的典型模型。這類模型涉及電磁學、力學等相關知識和圖像規律，主要考查學生對法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、牛頓運動定律和功能關系等物理規律的理解、掌握與應用，有利于培養學生在真實情境下解決問題的能力。

2.解題思路

在處理此類模型時，要關注三條主線：等效電路、力與運動和功能轉化，如圖1所示。

3.單棒模型歸類

(1)單棒與電阻的組合

平行導軌表面光滑、電阻不計、間距為L，一端連接電阻R。單棒質量為m，電阻為r，棒與導軌接觸良好。

表1

【例1】如圖2所示，兩根足夠長的光滑平行直導軌與水平面成θ=37°放置，兩導軌間距L=0.5 m，在導軌間接有阻值為R=0.3 Ω的電阻。一根質量m=0.5 kg的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直，金屬桿電阻r=0.2 Ω，整套裝置處于勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向上。現讓ab棒由靜止釋放，則運動過程中的最大速度vm=6 m/s。導軌和金屬桿接觸良好，其他電阻均不計。(sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2)

圖2

(1)勻強磁場的磁感應強度B的大小；

(2)當ab棒勻速時，ab棒兩端的電壓Uab；

(3)若ab棒從釋放到速度達到最大速度vm的過程中，沿導軌下滑的距離x=4 m，求電阻R上產生的熱量Q，通過電阻R的電荷量q；

(4)若ab棒從靜止開始向下做加速度a=1 m/s2的勻加速直線運動，求當t=6 s時，作用在金屬棒上沿斜面方向的外力F的大小，外力的瞬時功率P；

(5)若導軌粗糙，ab棒能在導軌上離最高處豎直距離h=3 m位置靜止，且磁場按B=1+0.5t(T)的規律變化，求當t=2 s時，ab棒所受的摩擦力大小和方向。

聯立得B=1 T

(2)當ab棒勻速運動時，E=BLv=3 V

(3)若ab棒從靜止釋放到速度達到最大速度vm的過程中，沿導軌下滑的距離x=4 m，根據動能定理得

則Q=W克安=3 J

(4)若ab棒從靜止開始向下做加速度為a=1 m/s2的勻加速直線運動，則

當t=6 s時，v=at=6 m/s2

感應電動勢E=BLv=3 V

根據牛頓第二定律得F+mgsinθ-F安=ma，則F=0.5 N，方向沿斜面向下

外力的瞬時功率P=F·v=3 W

以棒為研究對象，設摩擦力方向沿導軌向下，根據平衡條件得f+mgsinθ=F安，則f=-0.5 N，方向沿導軌向上。

【點評】解題的過程中要緊緊抓住三個方向，一是通過受力情況及力的變化情況，分析出物體的運動特征；二是要準確區分電源和外電路，并畫出等效電路圖；三是通過做功分析，判斷能量的變化情況，并列出動能定理或能量守恒定律的公式進行求解。

(2)單棒與電容的組合

平行導軌表面光滑，電阻不計，間距為L。單棒質量為m，電阻不計。棒與導軌接觸良好。

表2

續表

【例2】如圖3所示，空間存在方向豎直向下、磁感應強度為B的勻強磁場，有兩條間距為d的足夠長平行直導軌MN、PQ處于同一水平面內，左端連接一電容為C的電容器，右端連接阻值為R的電阻。質量為m的導體棒垂直跨放在導軌上，與導軌間的摩擦不計。開關k1閉合，k2斷開，從t=0時刻開始，對導體棒施加一個大小為F、水平向右的恒力，使導體棒從靜止開始沿導軌方向做加速運動，此過程中導體棒始終保持與導軌垂直且接觸良好。除電阻R以外其余部分的電阻均不計，重力加速度為g。

圖3

(1)求導體棒向右運動L1時的速度大小；

(2)導體棒向右運動L1時，斷開k1，閉合k2，若導體棒再向右運動L2時，導體棒已經做勻速運動，求勻速運動的速度和這一過程中電阻R上產生的焦耳熱。

【解析】(1)設在Δt時間內，導體棒速度變化為Δv，則導體棒產生的感應電動勢變化ΔE=BdΔv

對導體棒，由牛頓第二定律有F-BId=ma

可以看出，加速度與時間無關，說明導體棒做勻加速直線運動

(2)斷開k1，閉合k2，若F大于安培力，則導體棒先做加速運動后做勻速運動；若F等于安培力，則導體棒做勻速運動；若F小于安培力，則導體棒先做減速運動后做勻速運動，因為無論哪種情況，導體棒最后勻速運動，所以由平衡條件可得

對導體棒在該過程中使用動能定理，設克服安培力做功為W，可得

故此過程中電阻R上產生的焦耳熱為

【點評】解決單導體棒與電容器組成的電路問題的思路是，導體棒在外力作用下開始加速運動，導體棒切割磁感線產生感應電動勢使電容器充電，從而在回路中產生充電電流，導體棒受到安培力的作用，列出牛頓第二定律和充電電流的表達式，就可以判斷出導體棒運動狀態。

二、電磁感應中的雙棒模型

1.模型解讀

電磁感應中的雙棒模型是兩根導體棒在導軌上切割磁感線，產生了同向或反向的兩個動生電動勢，在這兩個電動勢的共同影響下形成感應電流，然后兩根導體棒在外力的作用下運動的典型模型。這類模型主要考查學生對法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、牛頓運動定律、動量定理、動量守恒定律和功能關系等物理規律的理解、掌握與應用，有利于培養學生的高階思維能力。

2.解題思路

在處理此類模型時，要關注四條主線：等效電路、力與運動、動量沖量和功能關系線，如圖4所示。

圖4

3.雙棒模型歸類

(1)合外力為零的雙棒系統

平行導軌水平放置，表面光滑，電阻不計，間距為L；雙棒質量均為m，電阻均為r；棒與導軌垂直并接觸良好；勻強磁場B與導軌垂直。

表3

【例3】(多選)如圖5所示，P、Q是兩根固定在水平面內的光滑平行金屬導軌，間距為L，導軌足夠長且電阻可忽略不計。圖中EFGH矩形區域內有一方向垂直導軌平面向上、感應強度大小為B的勻強磁場。在t=t1時刻，兩均勻金屬棒a、b分別從磁場邊界EF、GH進入磁場，速度大小均為v0；一段時間后，流經a棒的電流為0，此時t=t2，b棒仍位于磁場區域內。已知金屬棒a、b由相同材料制成，長度均為L，電阻分別為R和2R，a棒的質量為m。在運動過程中兩金屬棒始終與導軌垂直且接觸良好，a、b棒沒有相碰，則

( )

圖5

C.t1～t2時間內，通過a棒橫截面的電荷量是b棒的2倍

【答案】BD

【點評】針對電磁感應中雙導體棒在水平導軌上的運動問題，可根據兩棒的長度或速度的大小關系，判斷兩棒產生的感應電動勢的大小關系，再根據雙棒運動的速度方向，判斷出這兩個電動勢的方向關系，進而分析總的感應電動勢的大小，且感應電流的方向總是與總電動勢的方向相同；然后根據雙棒所受安培力大小與方向的變化情況，依據牛頓運動定律或動量守恒定律分析出雙棒最終的穩定運動狀態；在不考慮摩擦和空氣阻力的情況下，根據能量守恒定律，閉合電路中產生的焦耳熱應等于系統機械能的減少。

(2)合外力不為零的雙棒系統

足夠長的平行導軌，表面光滑，電阻不計。棒與導軌垂直且接觸良好。勻強磁場B垂直導軌。

表4

續表

【例4】如圖6所示，光滑導軌EF、GH等高平行放置，EG間寬度為FH間寬度的3倍，導軌右側水平且處于豎直向上的勻強磁場中，左側呈弧形升高。ab、cd是質量均為m、電阻均為R的金屬棒，現讓ab棒從離水平軌道h高處由靜止下滑，設導軌足夠長，重力加速度為g。試求：

圖6

(1)ab、cd棒的最終速度；

(2)全過程中感應電流產生的焦耳熱。

【解析】ab棒下滑進入磁場后切割磁感線，在abcd電路中產生感應電流，ab、cd棒各受不同的安培力作用而分別作變減速、變加速運動，電路中感應電流逐漸減小，當感應電流為零時，ab、cd棒不再受安培力作用，各自以不同的速度勻速運動。

由于ab、cd棒串聯在同一電路中，任何時刻流過二者的電流總相等，金屬棒有效長度Lab=3Lcd，故它們所受的安培力大小關系為Fab=3Fcd②

在安培力作用下，ab、cd棒各自做變速運動，產生的感應電動勢方向相反，當Eab=Ecd時，電路中感應電流I為零，安培力為零，ab、cd棒運動趨于穩定，此時有

ab、cd棒受安培力作用，動量均發生變化，由動量定理得

FabΔT=m(v-vab) ④

FcdΔT=mvcd⑤

(2)根據系統的總能量守恒可得

【點評】雙棒系統在運動的過程中所受合外力不為零時，內部通過的電流相同，由此可以找到它們所受安培力的大小關系；再根據運動過程中雙棒切割磁感線所產生電動勢的大小及方向關系，分析出電路中總的感應電動勢的變化情況，接著推理出感應電流和安培力大小的變化情況，最后分析最終的穩定狀態。由于系統所受的合外力不為零，分別列出動量定理的方程，即可求解。

三、總結

本文所歸類總結的單棒和雙棒模型是比較常見的模型，并沒有也不可能窮其變式，但不管是經典題型還是新穎的變式，解決單棒和雙棒模型的基本思路是相同的，即基于能量轉化的實質，從等效電路、力和運動、功能關系以及動量沖量這四個方面入手，通過分析、判斷、推理和綜合來解決實際問題。由于此類題型的綜合性較強，對學生的能力和素養水平具有良好的考查和評價作用。