運(yùn)用“拉前腿”法巧解三力動(dòng)態(tài)平衡問題

云南 李鑫磊

(作者單位：瑞麗市畹町經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)中學(xué))

三力動(dòng)態(tài)平衡是指物體在三個(gè)力(受到多個(gè)力時(shí)可等效為三個(gè)力)的作用下緩慢運(yùn)動(dòng)并處于一系列的平衡狀態(tài)。力學(xué)動(dòng)態(tài)平衡是高考熱點(diǎn)問題，同時(shí)又是教學(xué)難點(diǎn)，此類問題涉及的題型較多，且同一個(gè)題型解法也不唯一。針對(duì)這種情況，筆者憑借多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對(duì)此類問題的常見題型加以分析，結(jié)合力的矢量三角形提出“拉前腿”法(箭頭端，筆者稱之為“前腿”)。即根據(jù)物體的受力情況，先畫出恒力(一般為重力)的有向線段，第二個(gè)力以恒力的前端(箭頭端)開始畫有向線段，第三個(gè)力以第二個(gè)力前端(箭頭端)開始畫有向線段，從而構(gòu)成一個(gè)首尾相連的閉合三角形，再根據(jù)閉合矢量三角形有向線段的長(zhǎng)度即可判斷力的大小變化情況?！袄巴取狈墒箤W(xué)生更容易對(duì)物體進(jìn)行正確的受力分析，更加深入地理解矢量三角形法則。根據(jù)動(dòng)態(tài)平衡問題中物體受力特點(diǎn)，結(jié)合“拉前腿”法，筆者將力學(xué)中三力動(dòng)態(tài)平衡問題歸納為兩類：“一恒一定”和“一恒二變”?！袄巴取狈ǖ木唧w思路和應(yīng)用例析如下。

一、“拉前腿”法之“一恒一定”

“一恒”：物體所受三個(gè)力中有一個(gè)力是恒力(即大小和方向都不變的力，一般為重力)；“一定”：其余兩個(gè)力中有一個(gè)力定向(方向不變)、定大(大小不變)或兩個(gè)力定角(兩個(gè)力間夾角不變)。

1.一恒一定向

【例1】(2019·全國(guó)卷Ⅰ·19)(多選)如圖1，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪。一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動(dòng)N，直至懸掛N的細(xì)繩與豎直方向成45°。已知M始終保持靜止，則在此過程中

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圖1

A.水平拉力的大小可能保持不變

B.M所受細(xì)繩的拉力大小一定一直增加

C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D.M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加

【解析】以物塊N為研究對(duì)象，先畫出恒力(重力mg，此時(shí)重力的大小和方向要保持不變)，再?gòu)闹亓^前端開始畫方向不變的力(水平拉力F)，再?gòu)乃嚼的箭頭前端開始畫繩子拉力T，構(gòu)成矢量三角形如圖2所示，物塊在水平向左的拉力F作用下，緩慢向左移動(dòng)直至細(xì)繩與豎直方向的夾角為45°，從力的矢量三角形可知，水平拉力F逐漸增大，繩子的拉力T也逐漸增大。以物塊M為研究對(duì)象，根據(jù)“拉前腿”法，可得矢量三角形如圖3所示，由于重力G和支持力FN均為恒力，則平行于斜面的合力F斜=T±f-mgsinθ(其中f為物塊M與斜面間的摩擦力)也為恒力，若初始時(shí)M受到的摩擦力f方向沿斜面向下，隨著繩子拉力T的增加，則摩擦力f也逐漸增大；若初始時(shí)M受到的摩擦力f方向沿斜面向上，隨著繩子拉力T的增加，則摩擦力f可能先減小后增加，故選項(xiàng)BD正確。

圖2

圖3

【答案】BD

【點(diǎn)評(píng)】“一恒一定向”問題，學(xué)生根據(jù)“拉前腿”法得出力的矢量三角形，再由矢量三角形中“旋轉(zhuǎn)邊”的變化情況，很容易判斷出各個(gè)力的變化情況(如：①“豎小平大”，即旋轉(zhuǎn)邊越豎直，兩個(gè)變力就會(huì)越小，旋轉(zhuǎn)邊越水平，兩個(gè)變力就會(huì)越大；②“垂直極小”，即旋轉(zhuǎn)邊與定向邊豎直時(shí)，旋轉(zhuǎn)邊的力達(dá)到最小值)。當(dāng)物體受到三個(gè)以上的力的作用時(shí)，可以將其中的幾個(gè)力先合成，再構(gòu)成矢量三角形，然后根據(jù)“拉前腿”法判斷各個(gè)力的變化情況。

2.一恒一定大

【例2】如圖4所示，質(zhì)量為m的小球A用輕繩懸掛于O點(diǎn)，用力F(F

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圖4

A.輕繩OA中的拉力T漸增大

B.輕繩OA中的拉力T逐漸減小

C.輕繩OA中的拉力T先增大后減小

D.輕繩OA中的拉力T先較小后增大

【解析】對(duì)小球A受力分析，先畫出重力mg的有向線段，從重力有向線段的箭頭端開始畫出拉力F的有向線段，再畫出繩子OA所受拉力T的有向線段，構(gòu)成起始位置處的矢量三角形。拉力F在旋轉(zhuǎn)過程中大小保持不變，因此以恒力(重力)的箭頭端作為圓心，以拉力F的大小作為半徑，畫出如圖5的輔助圓。從輔助圓上很容易看出，以F為半徑順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的一系列矢量三角形中繩子的拉力T逐漸減小，故選項(xiàng)B正確。從圖4中還可以看出，OA繩子所受的拉力與豎直方向的夾角先增大后減小，當(dāng)拉力F與拉力T垂直時(shí)，繩子OA有最大偏角。

圖5

【答案】B

【點(diǎn)評(píng)】“一恒一定大”問題，用“拉前腿”法構(gòu)成初始狀態(tài)的矢量三角形。以恒力(一般為重力)的箭頭端為圓心，用大小不變的力作為半徑，旋轉(zhuǎn)得出輔助圓上一系列的矢量三角形，從矢量三角形中可以直觀地判斷出另一個(gè)力的變化情況，此類問題另一個(gè)變力大小的變化情況為漸變(逐漸增大或者逐漸減小)，且當(dāng)大小不變的力與變力垂直時(shí)，變力與豎直方向偏向角最大。

3.一恒一定角

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圖6

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

【解析】對(duì)M端進(jìn)行受力分析，先畫出重力mg的有向線段，以重力有向線段的箭頭端為起始畫出MN的拉力TMN，以TMN的箭頭端為起始畫出OM的拉力TOM，構(gòu)成在起始位置的閉合矢量三角形。由于TMN和TOM間的夾角保持不變，且繩子OM的長(zhǎng)度不變，把重物向右上方緩慢拉起過程中，重物M的軌跡為圓弧，且在矢量三角形中重力為恒力，根據(jù)幾何中“弦長(zhǎng)一定時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角一定”很自然得到，以矢量三角形中重力矢量邊為定弦作出的輔助圓，如圖7所示。由圖7中的動(dòng)態(tài)矢量三角形可知，在OM由豎直被拉到水平的過程中，TMN逐漸增大，TOM先增大后減小。

圖7

【答案】AD

【點(diǎn)評(píng)】雖然“一恒一定角”問題可以用拉密定理、正(余)弦定理或特殊值法解決，但是筆者認(rèn)為用“拉前腿”法構(gòu)成初始矢量三角形結(jié)合輔助圓更加直觀、簡(jiǎn)單。關(guān)于“一恒一定角”問題，我們也可以總結(jié)出力的變化情況，即“定角最平”(在兩個(gè)力夾角保持不變的三力動(dòng)態(tài)平衡問題中，其中一個(gè)力的大小達(dá)到最大時(shí)，另一個(gè)力的方向一定處于水平)，若在很熟悉此類問題的情況下，根據(jù)“定角最平”就可以快速解決問題。

二、“拉前腿”法之“一恒二變”

“一恒二變”即物體所受的三個(gè)力中有一個(gè)力是恒力(即大小和方向都不變的力，一般為重力)，另外兩個(gè)力是變力(大小變化、方向變化、大小和方向都變化)。筆者在此又將此類問題歸為兩類：對(duì)稱性變化型和非對(duì)稱性變化型。對(duì)稱性變化型是指兩個(gè)變力在某種條件約束下成對(duì)稱性變化(如活結(jié)類問題)；非對(duì)稱性變化型是指兩個(gè)變力之相互制約但沒有對(duì)稱變化。

1.一恒二變——對(duì)稱性變化型

【例4】(2017·天津卷·8)(多選)如圖8所示，輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點(diǎn)，懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài)。如果只人為改變一個(gè)條件，當(dāng)衣架靜止時(shí)，下列說法正確的是

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圖8

A.繩的右端上移到b′，繩子拉力不變

B.將桿N向右移一些，繩子拉力變大

C.繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小

D.若換掛質(zhì)量更大的衣服，則衣架懸掛點(diǎn)右移

圖9

圖10

圖11

【答案】AB

【點(diǎn)評(píng)】晾衣架模型是“一恒二變”動(dòng)態(tài)平衡類問題中典型的一類問題，在繩長(zhǎng)不變的約束條件下，光滑掛鉤(“活結(jié)”)結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了繩子張力對(duì)稱相等的特點(diǎn)。該類問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)繩子、豎直桿間的夾角θ與繩子長(zhǎng)度L、兩晾衣桿間水平距離d之間的關(guān)系。找準(zhǔn)幾何對(duì)稱關(guān)系就容易得出力學(xué)對(duì)稱關(guān)系，根據(jù)“拉前腿”所得的矢量三角形，就可以直觀、簡(jiǎn)單地看出各個(gè)力的變化情況。

2.一恒二變——非對(duì)稱性變化型

【例5】如圖12所示是一個(gè)簡(jiǎn)易起吊設(shè)施的示意圖，AC是質(zhì)量不計(jì)的撐桿，A端與豎直墻用鉸鏈連接，一滑輪固定在A點(diǎn)正上方，C端吊一重物?，F(xiàn)施加一拉力F緩慢將重物P向上拉，在AC桿達(dá)到豎直前

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圖12

A.BC繩中的拉力FT越來越大

B.BC繩中的拉力FT越來越小

C.AC桿中的支撐力FN越來越大

D.AC桿中的支撐力FN越來越小

【解析】對(duì)C點(diǎn)進(jìn)行受力分析，根據(jù)“拉前腿”法可得初始狀態(tài)的矢量三角形，如圖13所示；對(duì)起吊裝置的幾何三角形進(jìn)行分析可知，邊AB和邊AC的長(zhǎng)度不變，因此可將“拉前腿”法所得的初始矢量三角形平移到幾何裝置，可得到動(dòng)態(tài)平衡軌跡的圓弧，由圖14可直觀地看出FT越來越小，F(xiàn)N大小不變。因此選項(xiàng)B正確。

圖13

圖14

【答案】B

【點(diǎn)評(píng)】“一恒二變”中非對(duì)稱性變化問題最常見的解法是用“相似三角形”法(用力的矢量三角形和幾何三角形相似)，然而若在實(shí)際解決問題中找不到相似三角形，難度就會(huì)增加，因此筆者認(rèn)為根據(jù)“拉前腿”法得出初始狀態(tài)的矢量三角形，并結(jié)合幾何三角形分析，將會(huì)大大降低解題難度。常見模型對(duì)比如下表所示。

“拉前腿”法“相似三角形”法Gh=FNd=FlGh=FNR=FlGR=FNR=Fl

經(jīng)過分析可知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓弧時(shí)，若能找到幾何三角形中兩條不變的邊，則將“拉前腿”法變形為“一恒一定”模型將會(huì)快速解決問題。

三、結(jié)束語

三力動(dòng)態(tài)平衡問題對(duì)學(xué)生而言，難度較大，但有很強(qiáng)的規(guī)律性，本文中筆者用“拉前腿”法將三力動(dòng)態(tài)平衡問題歸納為兩類，增強(qiáng)了動(dòng)態(tài)平衡問題的內(nèi)部聯(lián)系，有效降低了學(xué)生解決此類問題的難度。在平時(shí)的教學(xué)中，教師可將不同的問題進(jìn)行梳理和歸納并結(jié)合生產(chǎn)、生活實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生思維能力和解決實(shí)際問題能力，有效提高教學(xué)及備考效率。