板塊模型中幾個相關物理量的辨析

安徽 劉欽釗

(作者單位：安徽省濉溪中學)

在滑塊-長木板模型中，長木板的最小長度l、物塊在長木板上留下的劃痕s、物塊相對長木板的位移Δx、摩擦產生的熱量Q=fs相中的相對路程s相，這四個概念極具迷惑性，很多學生無法厘清這些概念的區別和聯系。下面筆者通過幾道例題總結得出一般結論，以期幫助學生辨析這四個概念之間的關系。

類型一：物塊相對于長木板單向滑動

情境1：物塊相對地面做單向運動且相對于長木板單向滑動

【例1】如圖1所示，物塊A質量為m=2 kg、木板B的質量為M=4 kg，不計A的大小。開始時A、B均靜止。現使A以某一水平初速度v0=3 m/s從B的最左端沖上長木板。已知A與B之間的動摩擦因數μ=0.1，水平面光滑，且A恰好沒有滑離B板。g取10 m/s2。求：

圖1

(1)木板B的最小長度l；

(2)物塊相對于木板的位移Δx；

(3)物塊的劃痕s；

(4)板塊摩擦產生的熱量Q=fs相中的相對路程s相。

圖2

從沖入到相對木板B靜止的整個過程中，物塊A一直相對長木板B向右運動，且相對位移Δx=xA-xB=3 m。由圖2可知相對位移Δx的大小同時也是長木板需要的最小長度l，同時也是物塊能夠留下的劃痕長度s，以及摩擦產生的熱量中的相對路程s相。

情境2：物塊相對地面做折返運動但相對于長木板單向滑動

【例2】如圖3所示，質量M=4 kg的長木板B靜止在光滑的水平地面上，在其右端放一質量m=1 kg可視為質點的物塊A。初始時刻，A、B分別以v0=2 m/s向左、向右運動，已知A恰好沒有滑離長木板B。已知A、B之間的動摩擦因數μ=0.4，g=10 m/s2。求：

圖3

(1)長木板B的最小長度l；

(2)物塊相對于木板的位移Δx；

(3)物塊的劃痕s；

(4)板塊摩擦產生的熱量Q=fs相中的相對路程s相。

圖4

類型二：物塊相對于木板折返運動

【例3】一長木板B在水平地面上運動，在t=0時刻將一相對于地面靜止的物塊A輕放到木板B的一端，之后木板運動的速度和時間關系圖像如圖5所示。已知物塊與木板的質量相等，物塊與木板間動摩擦因數μ1=0.2，木板與地面間的動摩擦因數μ2=0.3。假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且物塊始終在木板上，且最終均停止運動，取重力加速度g=10 m/s2，求：

圖5

(1)木板B的最小長度l；

(2)物塊相對于木板的位移Δx；

(3)物塊的劃痕s；

(4)板塊摩擦產生的熱量Q=fs相中的相對路程s相。

圖6

由上述分析可知，從Ⅰ態到Ⅱ態，A相對于B向左滑行了x1=xB1-xA1=1.25 m；從Ⅱ態到Ⅲ態，A相對于B向右滑行了xA2-xB2=0.062 5 m；從Ⅲ態到Ⅳ態，A繼續相對于B向右滑行了xA3=0.062 5 m，即從Ⅱ態到Ⅳ態，A相對于B向右共滑行了x2=0.125 m，因此整個過程A相對于B的位移為Δx=x2-x1=1.125 m。由此可知，Ⅱ態為A相對于B向左滑行的最遠點，此時的相對位移x1=1.25 m就是長木板B需要的最小長度，而且還留下了1.25 m長的劃痕；接著A又相對于B向右滑行了x2=0.125 m，又留下了0.125 m的劃痕，但由于第二段劃痕重疊在第一段劃痕上，且比第一段劃痕短，故整個過程的劃痕長度取兩段劃痕的較大值，即s=x1=1.25 m。顯然這兩段相對運動中摩擦都產生熱量，故Q=fs相中的相對路程s相=x2+x1=1.375 m。

上述結論總結如下：

類型一：物塊相對于長木板單向運動，此時不管物塊相對地面是不是做折返運動，相對靜止后，長木板的最小長度l、物塊在長木板上留下的劃痕s、物塊相對長木板的位移大小Δx、摩擦產生的熱量Q=fs相中的相對路程s相，這四個物理量大小相等。在實際計算中可以先求出物塊相對長木板的位移大小Δx，此物理量相對容易理解和計算。

類型二：物塊相對于長木板做折返運動，相對靜止后，需要單獨算出物塊相對長木板向前滑動的位移大小x1和向后滑動的位移大小x2，此時：

1.長木板的最小長度l為x1和x2中較大的一個

2.物塊在長木板上留下的劃痕s為x1和x2中較大的一個

3.物塊相對長木板的位移大小Δx為x1和x2之差的絕對值

4.板塊摩擦產生的熱量Q=fs相中的相對路程s相為x1和x2之和

除了單物塊長木板模型，2017年全國卷Ⅲ第25題還出現了雙物塊長木板模型，我們仍然可以通過剛才得到的結論理解此問題。

【例4】(2017·全國卷Ⅲ·25)(改編)如圖7，質量m=4 kg 的長木板置于水平地面，與地面間的動摩擦因數為μ2=0.1，質量mA=1 kg的滑塊A與質量mB=5 kg的滑塊B，兩者與木板間的動摩擦因數均為μ1=0.5，某時刻A、B分別從長木板的兩端以速度v0=3 m/s沖上木板，且A、B相遇時，A與木板恰好相對靜止。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度大小g=10 m/s2。求：

圖7

(1)木板B的最小長度l；

(2)兩物塊的劃痕之和s；

(3)兩物塊與長木板摩擦產生的熱量Q=fs相中的相對路程s相。

圖8

由上述分析可知，物塊B相對長木板只是單向滑動隨后相對靜止；A雖然對地做往返運動，但是相對長木板也只是單向滑動后相對靜止，并且相對靜止后A、B在板上同一位置。可見雖然有兩個物塊，但本質上就是類型一中兩個問題的組合。B相對于木板向右的位移大小為ΔxB=xB1-x板=0.6 m，A相對于木板向左的位移大小為ΔxA=x板+xB2+xB3+(xA1+xA2-xA3)=1.3 m，此時長木板的最小長度l、兩物塊在長木板上留下的劃痕s、兩物塊在長木板上摩擦產生的熱量Q=fs相中的相對路程s相都相等，且都等于ΔxB+ΔxA=1.9 m。

可見，只要確定了物體和長木板相對運動的類型，利用文中得到的結論，可以很容易地分辨出長木板的最小長度l、物塊在長木板上留下的劃痕s、物塊相對長木板的位移Δx、摩擦產生的熱量Q=fs相中的相對路程s相這四個物理量，使學生在多樣的問題情境中抓住本質，針對性地解決問題。