新舊教材對比 備考有的放矢
——以“立體幾何”新舊教材內容變化的對比研究為例

山東 尹承利

(作者單位：山東省泰安英雄山中學)

由人教社依據《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》編寫的《普通高中教科書·數學》(以下簡稱新教材)，率先使用的省份(如山東省)已進入第3個年份，對于這些省份而言，2022年的全國數學新高考可謂是真正意義上新教材與新高考“同步”的首次高考.相比于《普通高中課程標準實驗教科書·數學》(以下簡稱舊教材)，新教材在編寫理念、順序結構、內容編排等方面都有許多變化，有內容增加與刪減、有順序調整、有知識重構、有強調有淡化，對比研究、厘清新、舊教材的變化特點，對于使用新教材的新高考地區(qū)高三師生的臨考復習備考有著十分重要的意義.本文以人教A版高中數學新舊教材為例，對“立體幾何”教材內容的變化情況進行對比研究，并就臨考復習備考中如何對待這些內容提出建議.

一、新舊教材對比

為了對“立體幾何”新舊教材的變化情況有一個清晰的認識，首先對新舊教材“立體幾何”在內容編排上做以下對比，內容變化由此便可窺見一斑.

內容編排對比

表1 新舊教材內容編排對比與新教材主要變化內容

續(xù)表

由表可以看出，新舊教材對于“立體幾何”的整體框架和主干知識沒有本質的變化，新教材相比于舊教材，在內容的編排上更趨于條理、更合乎規(guī)范.

二、新舊教材“立體幾何”變化內容的分析研究

1.新教材沒有出現“立體圖形的三視圖”的內容，但筆者理解這是一種“偽刪除”.其一，立體圖形的三視圖是初中學過的，這次新教材中將其刪除其實是和初中內容相銜接，避免重復，不算真正意義上的“刪除”；其二，在課后練習題和習題中，仍有“三視圖”的題目出現.因此，教學中要適度把握，既不能置之不理，也不能過于拔高，就像對待其他初中學習過的內容一樣來對待“三視圖”.

2.新舊教材“立體幾何”的部分知識重構的內容受限于表格，在表中沒有呈現，在這里列出，供教師在教學時予以關注.

(1)新教材必修第二冊8.1中補充了直棱柱、正棱柱、正棱錐等概念，這樣使得概念體系更完整了.

(2)新教材必修第二冊8.5將基本事實4(平行公理)和(等角)定理納入進來.

(3)新教材必修第二冊8.5是先研究直線與平面平行的判定和性質，后研究平面與平面平行的判定和性質；舊教材是先研究直線與平面平行、平面與平面平行的判定，后研究直線與平面平行、平面與平面平行的性質.新教材的編排更為合理，這樣可以避免學生在位置關系學習上的混淆.

(4)新教材必修第二冊8.6也是先研究直線與平面垂直的判定和性質，后研究平面與平面垂直的判定和性質；舊教材是先研究直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定，后研究直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質.同樣，新教材的編排更為合理，這樣可以避免在位置關系學習上的混淆.

(5)新教材選擇性必修第一冊1.1-1.3將舊教材選修2-1的3.1分為三節(jié)內容編排，這樣的編排使內容更清晰、條理，也更有梯度性.

3.新教材在一些概念的表述上更規(guī)范、清晰和明確.比如，必修第二冊8.4-8.5將舊教材“公理”改為“基本事實”，并有順序上的微調.選擇性必修第一冊1.4定義了“平面α與平面β的夾角”的概念，對于建立空間直角坐標系的表達，例題中有了清楚的“模板”；對于設平面法向量的表達形式比如：設平面α的法向量為n=(x，y，z)，而經過運算求出具體的法向量的表達形式，比如：(-2，0，1)為平面α的一個法向量，也有例題“范本”可以參照.

4.新教材選擇性必修第一冊1.3增加了“投影向量”的概念；1.4增加了直線與平面所成的角、平面與平面的夾角、點到平面的距離等向量公式，尤其對于增加的點到平面的距離的向量公式，復習備考中需引起特別重視，進行一些必要的訓練是必要的.

三、需重點關注的幾個內容

前面提到的新舊教材“立體幾何”概念表述不同和新教材增加的內容中，有幾個內容需要特別關注，在此對這些內容在新舊教材的說法進行對比分析，并探討命題時說法上的不同.

1.投影向量

這一定義不僅告訴我們投影向量的概念，同時也告訴我們求投影向量的公式.

故|c|=3，即向量c的模為3.

2.二面角

無論是新教材還是舊教材，二面角是跨越必修模塊到選擇性必修(選修)模塊的一個重要概念，而這一概念恰恰又是高考考查的重點，特別是新教材選擇性必修第一冊1.4對求二面角的說法上與舊教材相比有了很大的變化，這也是教師教學中一個需要特別關注的“點”.

表2 新舊教材“二面角”內容變化對比

通過表2可以看出，關于“二面角”新舊教材最大的變化就是新教材選擇性必修第一冊1.4中給出了“平面與平面的夾角”的概念，這樣應用向量法求“二面角”的有關命題時，只要將平面與平面的夾角轉化為它們法向量的夾角，利用公式求解即可.而按舊教材求二面角，首先求出這兩個面法向量的夾角，然后通過分析圖形或推理確定是銳二面角還是鈍二面角后得解.新教材這樣的處理，不僅使得問題有明確的指向性，而且可以避免按舊教材求二面角時需要判斷是銳二面角還是鈍二面角的麻煩，避免歧義的出現.

我們先來看一道按舊教材命制的題目：

(1)求證:BE∥平面PDF；

(2)求二面角P-DF-C的余弦值.

第(2)小題通過建立空間直角坐標系，并分別求出兩個平面的一個法向量及這兩個法向量所成的角后，需要判斷二面角P-DF-C是銳二面角還是鈍二面角，才能確定二面角的余弦值.

若按新教材命制題目：

(1)求證：BE∥平面PDF；

(2)求平面PDF與平面ABCD夾角的余弦值.

這樣無需判斷角的范圍，直接按照平面與平面夾角的向量公式求得結論即可.

3.點到平面的距離

對于“點到平面的距離”問題，也是教學中需要特別關注的“點”.舊教材選修2-1只是在3.2的課后習題中出現了“求點到平面的距離”的問題，如第112頁第5題(2)：求點O到平面ABC的距離.既沒有前期的概念鋪墊，也沒有現成的公式應用，著實令人感到突兀.而新教材的處理就非常完備，新教材在必修第二冊第150頁給出了概念：“過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.”并在選擇性必修第一冊第33-34頁給出了“點到平面的距離”的向量求法公式.可以說求“點到平面的距離”是新高考卷的又一新的命題點，教學中需加以重視.

四、復習備考建議

“新高考”伴隨著新教材，對“立體幾何”臨考的復習備考何去何從？筆者認為，以往指導學生復習備考好的、有效的做法(這里不再贅述)在必須堅持的同時，也應改變教學觀念，在著眼于提升學生的數學核心素養(yǎng)方面多做文章.

1.重視教材內容的變化

上面對新舊教材“立體幾何”內容的變化進行了一些對比，臨考復習中務必吃透這些變化，嚴格按新教材的新概念、新公式、新表達等進行復習備考，重視規(guī)范書寫，防止“穿新鞋走老路”的情況發(fā)生.

2.關注“立體幾何”新題型

新教材是數學核心素養(yǎng)導向下編排的，新高考定會重視“立體幾何”命題的創(chuàng)新，尤其近期官方透露2022年高考命題指向，高考試題要優(yōu)化情境設計，體現創(chuàng)新性.“立體幾何”是創(chuàng)新命題的良好載體，臨考復習備考要特別關注和研究“立體幾何”新題型，在這里列舉幾例，以期拋磚引玉.

示例3：(2022·福州一中第一學期第一學段考·21)如圖所示，在底半徑為R，高為H(H，R為定值，且H≤R)的圓錐內部內接一個底半徑為r、高為h的圓柱，甲、乙兩位同學采用兩種不同的方法來解決.甲采用圓柱底面與圓錐底面重合的“豎放”方式(圖1)，乙采用圓柱母線與圓錐底面直徑重合的“橫放”方式(圖2).

(1)設V1，V2分別“豎放”“橫放”時內接圓柱的體積，用內接圓柱的底半徑r為自變量分別表示V1，V2；

(2)試分別求V1，V2的最大值(V1)max，(V2)max，并比較(V1)max，(V2)max的大小.

簡析：本題給出“豎放”和“橫放”內接圓柱的兩種不同的放置方法，利用軸截面圖中的三角形相似，將內接圓柱的體積分別建立函數模型，求導，利用導數研究函數的單調性求得體積的最大值，最后作差比較兩種方法的體積最大值的大小得到結論.本題從圖形到設問方式都十分新穎.

(V1)max>(V2)max

(1)求橢圓Γ的標準方程；

(2)如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面(平面AF1F2)與y軸負半軸和x軸所確定的半平面(平面BF1F2)互相垂直.

簡析：本題以平面直角坐標系中橢圓的翻折為背景，通過分析翻折前后的關系，綜合考查了橢圓的定義、直線與橢圓的位置關系等知識的應用及空間向量在求空間角中的應用，充分體現了解析幾何和立體幾何知識的創(chuàng)新交匯，是一道知識間創(chuàng)新融合的經典試題.

示例5：(2021·山東新高考質量測評聯盟10月聯考·17)如圖，在四棱錐M-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且AB=BC=1，MD=1，MD⊥平面ABCD，H是MB中點，在下面兩個條件中任選一個，并作答：

若________，求CH與平面MCD所成角的正弦值.

注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.

簡析：本題以三棱錐為載體，考查了空間線、面關系的推理判斷和空間向量坐標法在空間線、面角度量中的應用.由于選擇條件的不同，推理判斷、建系和所得結論不盡相同.本題是結構不良試題從知識層面向立體幾何知識模塊進行擴展的一次實踐，從知識層面上來說，給出了一種重要的命題導向.這就提醒新高考地區(qū)的廣大師生，在復習備考中要有針對性訓練的措施.

五、結束語

通過以上對新舊教材“立體幾何”內容變化的對比，教師在教學的把握上會有一個更清晰的認識，在指導復習備考時也會更到位、更有的放矢.在這里我們對即將到來的2022年新高考做一下大膽預測：2022年新高考數學卷有可能命制3套，一套供新高考與新教材同步地區(qū)的考生使用(比如山東省)，其次一套供2021年使用新高考Ⅰ卷地區(qū)的考生使用，最后一套供2021年使用新高考Ⅱ卷地區(qū)的考生使用，最終結果是怎樣的，讓我們拭目以待！如果這一預測如愿的話，那么新高考與新教材同步地區(qū)的師生在復習備考中要特別重視上述所說的新舊教材“立體幾何”內容的變化，尤其是“三、需重點關注的幾個內容”提到的幾條，可能會成為新高考與新教材同步的新高考命題的著力點，這就要求我們精心準備、積極應對.