重視“思維建模”能力培養 提升學生數學思維品質

甘肅 焦永垚

(作者單位:甘肅省蘭州市第六中學)

新時代高中數學教學以發展學生的數學核心素養為目標，因此，高中數學教學對教師提出了新要求和新挑戰，需要教師運用新的思維去面對，而“重視學生的思維建模能力培養”就是一條值得選擇和探索的途徑.在教學中重視數學思維建模能力培養有利于提升學生的數學思維品質，有利于發展學生的數學核心素養.

一、思維建模的自主構建與變式問題的教學功能相結合，培養學生思維的邏輯性與條理性

學生自主建構思維模型的過程就是在原有知識經驗的基礎上同化新知識的過程，在新課程理念下，高三數學復習課與“題海戰術”漸行漸遠，為了提高復習效率，教師往往要對千變萬化的題目進行精挑細選，要講究以少勝多，而變式教學就是解決這一問題的有效途徑，我們只需將同一典型模式呈現在多種題目場景中設置變式問題，變式問題不僅要體現典型模式的共性，而且還要對比變式突出差異，這樣才能在已有模式的基礎上層層推進，思考差異，突破已有模式，克服思維定勢.

【案例1】在“利用基本不等式求多元函數的最值”復習教學中，學生都熟悉如下基本模式：

我們可以進行如下教學設計：

第一階段：復習回顧，喚醒思維

第二階段：方法應用，構建思維

分析：(1)因為x+2y=1，所以

(3)因為x+2y=1，所以

第二階段的主要目的是在第一階段熟悉模式和方法的基礎上，繼續鼓勵學生一題多解，深刻體會解法之間的區別，以便合理選擇最優解法.教師繼續從學生的最近發展區入手點評，讓學生體會“1的代換”的技巧，即利用“配湊”或“換元”的思想將目標函數化為“倒數結構”(思維模型如圖所示)，從而為運用基本不等式創造條件.

第三階段：歸類鞏固，發散思維

答案：9

答案：1

答案：6

經歷了前兩個階段后，學生已經初步掌握了“1的代換”這一處理此類問題的基本方法和技巧，通過這一組反饋練習再進行綜合訓練，進一步發揮模型的作用，達到縮短解題路徑的目的，從而提高了解題效率.

二、思維建模的路徑優化與典型模式的解題功能相結合，培養學生思維的靈活性與敏捷性

對于學生而言，思維建模的方式因人而異，同一個問題可以從不同角度理解模式的特征，思維建模的方式會呈現出每個人各自的特色，因此教師要以培養學生思維的靈活性與敏捷性為目的，倡導多向思維，鼓勵學生一題多解，引導學生“為問題建模”，然后根據問題的特點，并結合學生的思維水平和思維特征，引導學生合理選擇最優解法，也就是找到一種讓學生能夠“以不變應萬變”的方法，使解題步驟程序化.

思路1：利用圓錐曲線的第一定義和解三角形的相關知識處理

如圖所示，設|FB|=m，則由題意可知|AF|=4m，|AB|=5m，設C的左焦點為F1，則由雙曲線的第一定義可知|AF1|=2a+4m，|BF1|=2a+m.

在△AF1F和△BF1F中，

思路2：利用圓錐曲線和直線的位置關系處理

思路3：利用圓錐曲線的第二定義處理

思路4：利用直線的參數方程處理

思路5：利用圓錐曲線的極坐標方程處理

上述問題為圓錐曲線中與焦點三角形有關的離心率問題，此類問題在歷年高考和競賽中頻繁出現，我們要引導學生對所積累的知識經驗進行加工，形成對此類問題的認知模型，作為引領學生進行解題分析的典型模式.在教學中，教師要鼓勵學生嘗試多種解法，進而在各自的最近發展區內合理選擇最優解法，只有如此，學生才能在遇到新問題時對原有的模型進行強化或修正，最終發展成更為完整的基本模型.為了進一步強化模型，我們還可以設計如下反饋練習進行訓練，充分發揮模型的作用，讓學生快速精準地選擇自己腦海里的“最優解法”.

三、思維建模的方法選擇與順應解題自然的“特法”“巧法”相結合，培養學生思維的發散性與創新性

很多教師在解題教學中一味倡導“通性通法”，而刻意排斥“特法”“巧法”，殊不知“特法”“巧法”能在解題中起到化繁為簡、事半功倍的作用.事實上，只要這些“特法”“巧法”順應“解題自然”，符合學生的認知規律，那么我們不但不應該排斥，而且還要專門設計基于“解題自然”的“特法”“巧法”教學，促使學生將一些“特法”“巧法”主動納入自己的認知模型中，使其變為屬于自己的“通性通法”.

解法1(通法)：當直線EF的斜率為0時，E(-1,0)，F(3,0)，設P(x0,y0，則

從解法2中可以看出，極化恒等式的優勢在于將向量的數量積轉化為線段長度的關系，大大地簡化了運算，提升了解題效率.利用極化恒等式可以解決平面向量中的一些求數量積、求模、求最值等問題.為了讓這些“巧法”適用于更多模型，我們需要在教學中揭示極化恒等式的來龍去脈和幾何意義，引導學生總結歸納極化恒等式所適用的題型，激發學生對“巧法”的認同感，同時在應用中讓學生感受極化恒等式的實用價值，進一步積累解題經驗，從而最終將這些“巧法”內化為自己的“通性通法”.

四、思維建模的回顧反思與問題解決的數學思想相結合，培養學生思維的深刻性與批判性

【案例4】已知正數x,y,z滿足x2+y2+xy=1，y2+z2+yz=2，z2+x2+zx=3，則x+y+z=________.

解析：如圖所示，從O點出發，作長度分別為x,y,z的三條線段OA,OB,OC，且使∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.

一個復雜問題通常都是由一些小問題構成的，因此復雜問題的解題之道和思維建模的路徑是一致的.對于一道復雜問題，我們不能僅僅滿足于得到問題的結果，如果忽視了解題后的回顧反思，無異于“入寶山而空返”，就錯過了再提升的機會.如案例4，在問題解決后，教師可以啟發學生對思維模型的構建作如下回顧反思：

回顧反思1：對于這樣一道解方程組的問題，我們通過挖掘方程的代數結構，將其與余弦定理聯系，再構造幾何圖形解決.構造幾何圖形是解決數學問題的一種常用方法，此法能夠把抽象的代數關系用圖形直觀地表示出來，從而快速抓住問題的本質，使復雜問題變得簡單，充分體現了數形結合的優越性.構造幾何圖形解題不僅能夠獲得賞心悅目的解答過程，而且還可以提升直觀想象核心素養.

回顧反思2：數形結合是一種非常重要的數學思想，“數形結合”具有雙向性，我們既要進行代數抽象的探索，又要進行幾何直觀的分析，兩者是密切聯系、相輔相成的統一整體，而不是簡單的“代數問題幾何化”或“幾何問題代數化”，在解題時要靈活應用.

回顧反思3：本題求解中，將已知方程與余弦定理聯系是解題的關鍵，此類題目在各類考試中經常出現，通過鞏固與練習更有利于提升學生的思維品質.

練習1:計算sin220°+cos250°+sin20°cos50°=_____.

總之，將思維模型嵌入解題教學中，有利于學生更深刻地理解知識、更靈活地選擇方法，從而更高效地解決問題，思維建模可以有效地提升學生思維的邏輯性、靈活性、批判性以及創新性，思維建模還可以有效地整合自身的知識經驗，形成思維模型，并在不斷地解題實踐與反思中修正和完善，最終內化為屬于自己的基本模式，在解題中可以“信手拈來”，達到得心應手的境界，從而發揮模型的最大價值.