基于教學實踐的矩陣秩教學設計研究

張會平

(中國人民大學數學學院，北京 100872)

矩陣的秩是線性代數教學中的一個重點與難點，是線性方程組、矩陣、向量三個重要研究對象的交叉點，地位十分重要。矩陣的秩的行列式定義與矩陣的行秩和列秩的關系是教學中的一個難點[1-6]，本研究總結出了一個較為簡潔的講授方式。

1 給出矩陣的列秩、行秩、秩的概念

定義1：矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩；矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩。

定義2：設A為m×n矩陣，在A中任選k行k列，位于這些選定的行和列的交點上的k2個元素按照原來的次序所組成的k階行列式被稱為矩陣A的k階子式。

定義3：矩陣A中最高階非零子式的階數被稱為矩陣A的秩，當A為零矩陣時，稱A的秩為零。

注：這幾個概念都比較簡單，先給出概念，使學生能夠盡早理清并記住概念，這有助于后面理論內容的學習。

2 證明初等變換不改變矩陣的列秩與行秩

在這一部分詳細證明幾個命題，使學生能夠清晰理解初等變換不改變矩陣的列秩與行秩。同時，命題1的證明過程也是向量組的極大線性無關組和秩的求法的理論保證，這為后續求極大無關組和秩做好了鋪墊。

命題1：初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性關系，從而不改變矩陣的列秩且保持極大無關組的位置不變。

證明(如圖1可得結論)：

圖1 證明過程Fig.1 Process of proof

同理可以證明下面的對稱結果命題2。

命題2：初等列變換不改變矩陣的行向量組的線性關系，從而不改變矩陣的行秩。

下面來證明命題3與它的對稱結果命題4。

命題3：初等行變換保持矩陣的行向量組等價，從而不改變矩陣的行秩。

證明(如圖2所示)：

圖2 證明過程Fig.2 Process of proof

由圖2可知，左右兩個向量組等價，從而它們的秩相等，同理可以證明下面的對稱結果命題4。

命題4：初等列變換保持矩陣的列向量組等價，從而不改變矩陣的列秩。

綜合命題1至命題4的結果，可以得到矩陣的初等行列變換不改變矩陣的行秩與列秩。

注：命題1和命題3的證明采用圖表，避免繁瑣的敘述，使學生能夠抓住問題的核心，領悟證明的主要思想。教學過程中，語言講解配合這兩個圖即可順利完成這一難點的證明。

3 證明矩陣的行秩=矩陣的列秩

3.1 復習矩陣的標準形

命題5：任何矩陣都可以經過初等行變換化為階梯形矩陣，進而通過初等行變換化為簡化階梯形矩陣，再經過初等列變換可化為標準形。

3.2 證明過程

定理1：矩陣的行秩=矩陣的列秩

證明：設矩陣A為m×n矩陣，由命題5可知A經過一系列初等行變換與初等列變換可以化為標準形B。

4 證明矩陣的秩=矩陣的列秩

在這一部分，用以秩為2的4×4矩陣A為例來證明A的秩與A的列秩相等。這樣的處理不僅可以使學生理解該證明方法的核心思想，而且避免了證明這個結果的一般形式時的繁瑣表達。在教學實踐中，很多學生對該結果的一般情況的證明理解不透，而以低階矩陣的證明為例，學生以此為參照就可以自學教材中的一般情況的證明，這樣既達到了教學目標，又同步培養了學生的自學能力。

定理2：矩陣的秩=矩陣的列秩

證明：以秩為2的4×4矩陣為例來證明該結果，一般情形的證明類似。

注：若其他二階子式不為零，證明方法類似。

下面證明矩陣A的列秩為2，從而定理得證。

(1)證明的A的列向量組{α1,α2,α3,α4}含有兩個線性無關的向量。

(2)證明的A的列向量組{α1,α2,α3,α4}中的所有向量都可以由α1,α2線性表出。

綜合(1)和(2)的結果，可知矩陣A的列秩為2，從而可得矩陣A的列秩等于矩陣A的秩。

推論：矩陣的秩=矩陣的行秩

5 給出極大無關組與秩的求法

由命題1可知，求矩陣的列向量組的極大無關組和秩，只需對該矩陣作初等行變換化為階梯陣即可觀察得出。

例：

一般情況下，在B中很容易找到一個不為零的最高階子式，這是因為矩陣B是階梯形矩陣，只需選取矩陣B的全部非零行，再選取每一行的首非零元所在的列，這些行和列的交叉位置上的元素一定構成B的一個非零子式，且B不可能有更高階的非零子式(這是因為已經選取了B的所有非零行)，這樣B的秩就是這些列的列數，當然也是這些行的行數(即階梯陣B的非零行的行數)；B的這些列就一定是B的列向量組的一個極大線性無關組，進而由命題1可知矩陣A的秩和矩陣A的列向量組的一個極大線性無關組。