基于機器學習預測流場特征的網格生成技術研究進展

韓天依星，皮思源，胡姝瑤，許晨豪，萬凱迪，2，高振勛，2，蔣崇文，2，李椿萱

1.北京航空航天大學 國家計算流體力學實驗室，北京 100191

2.北京航空航天大學寧波創新研究院 先進飛行器與空天動力創新研究中心，浙江 寧波 315832

美國國家航空航天局（NASA）總結了多年來AIAA 阻力預測研討會（DPW）的研討成果，認為網格是影響計算流體力學（CFD）計算精度的一大因素[1]。作為物理空間離散的主要手段，網格直接影響幾何外形的逼近精度和流場的解析度，并與控制方程及邊界條件的離散格式共同決定了數值誤差水平及殘差收斂特性[2]。隨著物理流動和幾何外形復雜度的提高，網格因素導致的數值誤差將更加顯著[1-3]。

高質量網格的生成需要充分考慮流動特征的解析性。由于出現邊界層、激波層、分離/再附等流動結構的局部區域中流動參數梯度較大，需要在該類局部區域中采用更高的網格分辨率以保證計算精度[1-5]。因此，在傳統CFD 的網格生成中，需要結合物理推理、理論模型、經驗公式、試驗數據等手段預估流動問題中需要解析的流動結構以確定初步的網格分布[2]。然而，DPW 會議的研討認為，復雜流動結構往往難以進行先驗預測[1]。對于未完全解析的流動結構，需要在計算中依據中間結果對需要加密的區域進行判斷，結合自適應方法加密網格或進行網格重構以滿足計算精度的需求[1-2]。

NASA在對CFD 2030年的展望中指出，未來的CFD應實現全過程的自動化，其中網格生成的自動化是實現CFD流程自動化的瓶頸問題，而流場特征解析的自動化則是高質量網格自動化生成的基礎[2]。自適應方法通過對流場特征進行后驗判斷，可實現計算中的網格自動化加密[1-3]，而機器學習方法則為流場特征的先驗預測提供了可能。

近年來，機器學習方法迅速發展，并在流體力學領域中得到了廣泛應用[6-8]。基于流體力學實踐中積累的大量數據，可以實現湍流模型封閉[9]、數據融合[10]、流場特征提取[11]以及流動預測[12]等目標。基于機器學習流場預測技術，結合流場特征提取方法，可建立流場特征預測模型，提供適用于網格生成的流場特征預估。在已知流場特征的基礎上，通過網格自動生成技術即可獲得高質量的計算網格[13-16]。

本文將以參考文獻[13]和文獻[14]的工作為基礎提出一種基于機器學習預測流場特征的網格生成框架；并針對框架分別對可用于指導網格分布的流場特征指示器，實現流場預測所需的機器學習方法，以及部分網格自動生成及自適應方法等支撐技術進行了簡要的綜述；最后對該框架的實現進行了綜合討論。

1 基于流場特征機器學習的網格生成

通過梳理相關支撐技術，本文提出了如圖1 所示的基于機器學習預測流場特征的網格生成框架。該框架主要包含6個部分：（1）將現有計算結果整理為數據庫。若待研究流動問題對應的計算結果數據量不足，可在所考慮的工況及外形參數范圍內補充一定樣本點，通過傳統CFD方法求解得到參考計算結果并加入數據庫。（2）依據數據庫中存儲的計算結果，通過流場特征指示器提取流動結構特征以及流場中數值誤差分布特征等流場特征數據。（3）將提取的流動及誤差特征作為訓練輸出以訓練機器學習模型，建立工況、幾何外形與流場特征的映射關系。（4）機器模型訓練完成后，輸入新的工況及幾何外形即可預測相應的流動及誤差特征參考。（5）依據幾何外形參考及流場特征參考，通過現有網格生成方法或網格自動生成技術即可得到適用于該流動問題的計算網格。（6）計算結束后新的結果將收錄到數據庫中，逐步完善機器學習模型，提高特征預測精度，用以持續改進網格生成質量。

圖1 基于機器學習預測流場特征的網格生成框架Fig.1 Framework for grid generation based on flow features predicted by machine learning

基于上述思路，本文分別采用壓力梯度判據提取高超聲速鈍頭體頭部激波[13]，采用摩擦力線的漸近線提取橫向噴流的壁面分離再附線[14]，通過特征正交分解進行數據降維，訓練全連接神經網絡并預測流場特征。將此流場特征作為網格分布參考，通過參數化腳本程序實現結構網格自動生成。

2 流場特征指示器

流動特征的解析是網格生成的基礎，是網格整體拓撲設計及網格密度選取的重要依據。例如，在超聲速繞流問題中，計算域通常取為起始并貼近于頭部激波上游的楔形或錐形體[17]；而為捕捉邊界層流動，則往往需要依據雷諾數等參數估計邊界層厚度及壁面y+值以確定壁面第一層網格高度[18]。另外，由于預估的流場特征存在較大誤差或所研究的流動問題為非定常，計算推進過程中的流場特征可能偏離初始設計的網格分布，此時可通過網格自適應方法提高計算精度。

網格自適應方法中依據中間數值結果估計特征結構位置的過程由流場特征指示器完成。流場特征指示器通過對流場特征進行數學表示，結合特征判據將流場特征轉換為特征線、面或區域，作為網格生成或數據處理的參考。此外，流場特征指示器還可與數值方法相結合，通過指示流場收斂狀態構造動態計算域，進而提高CFD 計算效率[19-20]。當前常用的指示器主要包括兩大類，其中流動結構指示器將流動結構特征作為網格分布參考，而流場誤差指示器則直接估計數值計算誤差作為網格加密依據。

2.1 流動結構指示器

流動結構指示器是針對流動結構的物理特性，通過分析結構及近鄰區域內的物理量特征來識別相應結構的方法。現有的檢測方法主要包括特征量、特征場及特征解三大類方法。

特征量方法主要關注流動結構的點特性。通常在激波、邊界層等流動結構處流動參數存在較大的梯度，對可表征其流動結構的特征量設置閾值識別其特征是最直接和廣被采用的方法[21]。例如，WENO類格式中模板的加權系數主要受梯度的影響。參考文獻[23]～文獻[25]建議梯度極值的判據為密度（或其他流動參數）的一階梯度大于零，二階梯度等于零。相對于固定閾值，若依據當地馬赫數修改間斷判據的閾值則可進一步降低數值耗散[22]。然而，梯度閾值的選取卻難以先驗確定。P.G.Buning 與J.L.Steger[26]提出以法向馬赫數判據Man=1判斷激波位置，結合壓力梯度判斷激波方向。考慮到壓力梯度的擾動影響及其可能導致的對旁波波系的誤判[27-28]，該方法同樣需要設定閾值過濾，因此存在與梯度極大值判據相類似的問題。對于復雜外形的邊界層識別問題，傳統的99%無黏壁面剪切速度判據易受局部速度擾動的影響，且邊界層外邊界流動速度（無黏壁面剪切速度）也較難獲取。而在低速流動條件下，流動總壓不受局部擾動的影響，99%來流總壓判據可準確捕捉壁面黏性作用影響區[29]。

特征場方法則是從流動結構的局部矢量場特性入手。R.C.Moura 等[30]通過有限時間Lyapunov 指數方法分析脹量（速度散度）的梯度場得到脹量場的脊線作為激波參考線。事實上，脹量自身也可作為激波間斷判據的特征量[31-36]。M. Kanamori 和K. Suzuki[37-38]注意到特征線匯聚于激波處，因此通過求解特征線的線化方程即可確定激波的位置及方向，如圖2 所示，無須設置閾值，且可推廣至三維[39]及非定常[40]激波識別問題。

圖2 網格單元提取漸近線[40]Fig.2 Extraction of asymptote in each cell[40]

特征解方法通常需要與其他方法相結合，以特征解匹配的方式取代特征量判據。黎曼解方法[41-42]通過考察局部數值解與一維黎曼解的匹配程度識別包括激波、接觸間斷、膨脹波系等流動結構；其黎曼解的特征方向可通過迭代方法得到，也可結合前述特征線方法[37-40]進行判斷。流場特征量的梯度既可由有限差分計算得到，也可采用卷積計算確定。后一種方法對初步計算得到的流場數據或其圖像表示進行卷積濾波，再通過特征解匹配的方式識別流動結構。H.Akhlaghi 等[43]通過Roberts 邊緣檢測方法處理稀薄流動數值紋影結果，給出其擬合Gauss分布曲線，如圖3(a)所示，從而得到激波位置以及波前、波后參考位置。T. R.Fujimoto 等[44-45]則采用Sobel 邊緣檢測方法處理壓力云圖，并匹配Rangkine-Hugoniot關系式判定激波位置。

圖3 激波處分子數密度及紋影函數分布[43]Fig.3 Number density and schlieren function distributions within the shock wave[43]

應該指出，以上方法存在互補之處。將三類方法進行有機結合還可進一步提高流動結構的辨識精度。

2.2 流場誤差指示器

流場誤差指示器著眼于數值計算誤差，通過誤差估計方法給出流場中的數值誤差分布，根據設定的自適應判據確定網格加密區域。相較于流動結構指示器僅給出流動結構的位置，流場誤差指示器更關注局部誤差特征，適用于網格自適應方法。

Richardson外推法[46-47]主要基于數值解在精確解鄰域的冪級數展開，依據在不同密度網格下的計算結果進行誤差估計。該方法適用于有限差分、有限體積、有限元等離散方法，應用范圍廣泛[48]，但通常需要三套（若數值方法精度已知則為兩套）網格的計算結果，計算量大，且在間斷處其誤差無法定義[49]。在Richardson外推法的基礎上，τ估計法則只需已知不同密度網格下的計算殘差，適用于多重網格方法[50-52]。

誤差輸運方程（error transport equation）方法[53-56]將計算結果與精確解分別代入原始方程或其離散方程，并取兩者之差得到誤差方程，通過求解該方程得到全流場誤差。誤差方程法可采用與原始方程相同的數值方法及網格，且能反映誤差傳播特性。相對于Richardson 方法，誤差方程法可針對誤差源區域網格進行加密處理以降低誤差[57]。

伴隨（adjoint）方法從誤差積累的角度出發，針對部分數值計算中所關注的氣動力、熱等受局部誤差影響的積分量得到全場誤差對目標泛函（如升力系數等）影響的量化指標。首先，根據目標泛函給出與流動控制方程對應的伴隨方程，隨后求解該伴隨方程即可得到全場誤差的權重以決定網格加密尺度，進一步可對誤差進行修正以提高目標泛函的精度。如圖4 所示，局部誤差方法僅對激波及尾跡等特征區域進行網格加密，而伴隨方法在前者基礎上對激波及尾跡上游區域進行了額外加密。當前基于伴隨方法的網格自適應生成和誤差分析的相關研究主要集中于有限元法和有限體積法（詳見K. J. Fidkowski 和D. L. Darmofal[58]的綜述）。但J.E.Hicken[59-60]的研究顯示，伴隨方法也可適用于分部求和類（summation-by-parts，SBP）有限差分法。此外，還出現了對非定常[61]、對偶一致性[62-63]等問題的相關研究。

誤差指示器給出的誤差分布需依賴自適應判據將其轉換為網格分布。常見的自適應判據包括誤差閾值、誤差頻數分布分位數、誤差累積分布分位數等。自適應判據的誤差閾值根據計算需求給定，當網格誤差超出閾值時即進行加密，密網格的尺度由粗網格尺度、誤差及誤差階數綜合考慮確定[64]。基于誤差頻數分布分位數的判據直接限定需要加密的網格數量，可較好地控制網格總數[65]。而誤差累積分布分位數則是控制粗網格對誤差的總貢獻值[66]。但該判據在實際應用時可能由于少量網格出現局部較大誤差，導致自適應加密流程過慢。

3 流場預測的機器學習方法

前述流場特征指示器均采用后驗的方式在流場數據的基礎上提取流場特征，而機器學習方法則為流場特征的先驗預測提供了可能。通過預先訓練的機器學習模型，有望在CFD流程開始時便可給出新工況條件下的流場數據；或在訓練階段即與流場特征指示器方法相結合，直接預測擬識別的流場特征，依據該特征設計網格拓撲及密度分布，改善網格生成質量。

3.1 基本機器學習方法

流動問題的數值模擬結果形式上是在離散網格單元上反映其物理空間中流場特征的高維數據表示。通過提取流場特征數據進行數據降維，對數據的低維表示進行分析預測是應用機器學習優化網格生成的基本思想之一。特征正交分解（POD）方法是流體力學領域中廣泛使用的一種線性數據降維方法，與機器學習領域中的線性主成分分析（PCA）相對應，可表示為采用線性激活函數的淺層自編碼器。而在傳統POD 方法基礎上添加濾波器可得到介于POD 及離散傅里葉變換（DFT）間的譜特征正交分解（SPOD）方法[67]。

自編碼器（AE）是機器學習領域中用于數據降維表示的一類神經網絡框架。自編碼器通常由編碼器及解碼器兩部分構成，其中編碼器將原始數據映射到數據的降維表示，而解碼器則將降維數據重構為原始數據的近似表示。相對于POD/PCA方法對應的淺層自編碼器，采用非線性激活函數并增加自編碼器的神經網絡層數，有望獲取數據的復雜非線性特征，從而得到更為緊致的降維表示[6]。自編碼器中的編碼器及解碼器可由全連接神經網絡構成，也可由下述卷積神經網絡或其他網絡構成。

卷積神經網絡（CNN）是一類由卷積運算及其輔助運算構成的神經網絡結構，適用于處理具有一定空間結構的數據，在特征提取相關問題上具有優勢。CNN源于神經科學的試驗發現：視覺系統前端神經元對特定光模式如定向條紋等性質敏感，對視網膜圖像的局部特征具有選擇性[68-70]。受試驗啟發，CNN通過構造卷積單元模擬視神經工作方式以實現數據空間特征的識別。在每個卷積單元中，通過對原始數據進行卷積運算，可得到其梯度等局部特征的信息。隨后對局部特征信息進行綜合處理，能夠實現空間結構信息的高效利用。此外，相對于全連接層每個輸入與每個輸出均產生交互，卷積層的輸出單元僅與局部的輸入單元產生交互。該稀疏交互特性令CNN在網絡的存儲及計算效率上具有優勢。

3.2 基于機器學習的特征提取

W.R.Wolf 等[71]采用SPOD 方法結合全連接神經網絡對大渦模擬（LES）結果進行了降維處理，構造了二維圓柱及翼型的非定常繞流的降階模型。N.Omata 和S.Shirayama[11]結合CNN與自編碼器，構建了二維翼型繞流的降維表示。而T.Murata等[72]則在CNN自編碼器的基礎上，通過多個不同的解碼器實現模態分解，最終將不同的重構模態線性疊加得到重構流場。對于二維圓柱繞流，在模態分解中使用線性激活函數表示時，模態分解CNN 自編碼器（MD-CNN-AE）的表現與POD類似，而使用非線性激活函數時其重構精度高于POD。圖5呈現了三者給出的重構模態對比。相較于傳統的CNN自編碼器，MD-CNN-AE可以直觀地獲得不同模態的流場結構。

圖5 POD、線性MD-CNN及非線性MD-CNN流向速度重構模態及橫向速度重構模態云圖對比[72]Fig.5 The decomposed flow fields with POD,MD-CNNLinear and MD-CNN-tanh[72]

N.Thuerey等[73]基于U-net網絡結構對不同來流雷諾數及迎角條件下的不同翼型繞流流場進行了預測。在傳統的CNN自編碼器的基礎上，U-net在解碼過程中并入了編碼過程中同級卷積層的輸出，解碼過程能夠綜合考慮編碼中的低維信息。

3.3 基于機器學習的流場預測

S.Bhatnagar 等[74]采用類似CNN 自編碼器的網絡結構，其輸出層為翼型繞流場，輸入層為網格點到翼型壁面間距所構成的標量場（壁面距離場），且在隱藏層附加了工況參數迎角和雷諾數的輸入，實現了對不同翼型在不同工況條件下繞流場的預測。不同于通常的CNN方法需要在規則的笛卡兒背景網格上插值，A.Kashefi等[75]采用了PointNet[76]網絡結構直接對計算網格點進行處理，能夠預測不同物體的繞流場。

M. Raissi 等[77-84]提出了物理嵌入的神經網絡框架（physics informed neural network，PINN），通過在損失函數中引入控制方程，僅根據初邊值條件即可預測流場的時空分布，實現對偏微分方程的求解，如圖6 所示。S.Lee 和D.You[85]的計算結果表明，采用物理嵌入的CNN 對非定常圓柱繞流的預測結果優于未采用物理嵌入的CNN預測結果。將控制方程、相似參數、理論模型等流體力學研究成果以物理嵌入方式納入機器學習框架，能夠顯著降低機器學習預測流場的數據要求。

圖6 PINN方法求解一維Burgers方程[77]Fig.6 Solve a 1D Burgers equation with PINN[77]

4 網格自動生成及自適應技術

網格技術仍是當前CFD計算效率的瓶頸問題[2]。在本文所提框架中，依據預估特征生成相應網格的關鍵步驟需要網格自動化生成技術的支持。

4.1 結構網格拓撲生成技術

相對于采用非結構網格的CFD程序，采用結構網格的CFD程序通常在計算精度、收斂性、數據存取、程序編制上均具有一定的優勢。但對于具有復雜幾何外形及流動特征的流動問題，網格的生成需要耗費大量機時，網格質量往往難以保證。近年來，結構網格的自動化生成技術發展迅速，基于網格拓撲的構建模式形成了標架場法、鋪層法、中軸法等幾類方法。綜合使用多種方法能夠有效地對復雜幾何進行二維結構網格生成，但三維條件下拓撲分劃與網格密度分布的綜合控制仍有待進一步研究。

4.1.1 標架場法

標架場方法是近幾年首先在計算機圖形學領域中提出，可用于拓撲結構分析，并逐步推廣應用于復雜幾何結構網格生成的方法。該方法基于結構網格單元與標架結構的對應關系，將標架場轉換為易于求解的數學表示，通過設計控制方程及相應邊界條件進行求解，即可從其數值解實現幾何區域的拓撲分解并生成網格。此外，標架場也可通過鋪層法及中軸法確定。

二維標架場可以通過如圖7 所示的模式轉換為矢量場[86]。對于三維標架場，出現了不同的標識模式：Jin Huang等[87]引入球面調和函數，以旋轉矩陣表示標架場[88-90]；A.Chemin 等[91]提出了四階對稱張量表示法；而D.Palmer 等[92]采用微分與代數幾何方法描述標架結構以更好地捕捉計算域中的奇異結構。N.Kowalski 等[93]將熱擴散方程作為矢量控制方程，在給定邊界矢量條件下求解首先得到如圖8所示的矢量場（見圖8(a)）及相應的標架場（見圖8(b)），再通過分析場中的奇異結構得到拓撲分劃（見圖8(c)），并在給定網格分布后完成結構網格（見圖8(d)）的生成。標架場方法所得拓撲結構中通常具有較少的拓撲奇點數量（見圖9），對復雜外形能夠生成高質量的結構網格（見圖10）。

圖7 n對稱標架轉換為矢量[86]Fig.7 n-symmetry direction transform to a vector[86]

圖8 標架場方法生成二維結構網格[93]Fig.8 Generation of a 2D structured grid using cross field method[93]

圖9 中軸法及標架場方法對凹腔結構處理[94]Fig.9 Comparison between dealing with concavities using medial axis methods and cross field methods[94]

圖10 標架場方法生成三維結構網格[95]Fig.10 Generation of a 3D structured grid using cross field methods[95]

4.1.2 鋪層法

鋪層法[96-98]是通過邊界推進生成結構網格的方法，在考慮二維計算域時也稱為鋪路法[99-100]，如圖11 所示。該算法從邊界向內部推進，當推進面交叉時，通過縫合、拆分與回路連接等手段進行網格平滑過渡，最終生成可覆蓋整個區域的結構網格。鋪層法生成的網格可高質量地匹配較復雜的幾何外形。然而，由于鋪層法主要考慮局部的幾何拓撲結構，往往需要附加約束以避免出現過多的奇點。同時，在三維條件下形成的中心間隙拓撲復雜，六面體填充方法尚不完善。因此，單獨采用本方法生成網格難以完全克服以上缺陷。

圖11 鋪層法示意圖[98]Fig.11 Scheme of paving method[98]

H.J.Fogg等[101]將鋪路法與標架場法相結合能夠實現二維標架場的快速生成。如圖12 所示，該方法從邊界向內逐層推進標架結構并鋪滿整個計算域，在平滑操作后即可得到適用于結構網格生成的標架場。其中，在進行平滑操作時可通過預設度量張量場實現網格密度分布控制（見圖13）。

圖12 鋪層法生成二維標架場[101]Fig.12 Generating cross field by paving method[101]

圖13 度量張量場控制網格密度分布[101]Fig.13 Grid refinement control by metric tensor[101]

4.1.3 中軸法

中軸法[102-103]通過局部區域內相切圓/球心的軌跡線將該區域劃分為可結構網格化的凸子區域并分別生成網格，如圖14 所示。該方法生成的網格具有較好拓撲結構。在各子域中網格拓撲奇點至多只有一個且遠離幾何邊界。但對于具有復雜外形的計算域，該方法魯棒性較差，難以對凹腔結構進行較優的拓撲分劃。而H.J.Fogg等[103]借助標架場改善了中軸法對凹腔結構的處理能力。該方法在中軸線上逐步推進，依據中軸線兩側的幾何邊界夾角配置標架場（見圖15）。在標架場配置完成后檢測并重構奇點構型，對網格進行拓撲分劃，結果如圖16所示。

圖14 中軸法示意圖[103]Fig.14 Scheme of the medial axis method[103]

圖15 幾何邊界間標架場配置[103]Fig.15 Cross field between geometric boundaries[103]

圖16 中軸法生成二維結構網格[103]Fig.16 Generation of a 2D structured grid using medial axis methods[103]

4.2 網格自適應技術

實際計算中由于流動特征預測誤差或流動非定常特性，所需網格加密區域與初始網格加密區域存在偏差。網格自適應技術是一項相對成熟的網格技術[104-108]，能夠以較小的網格量為代價集中加密所需區域，是解決上述問題的一種可行方法。依據自適應的實現方式，現有自適應方法主要可歸納為p 型、r 型、h 型三類。p 型方法令網格保持不變，通過修改數值格式提高流場的分辨率。r型方法則保持拓撲結構不變，通過移動網格節點坐標改變網格分布，在網格自適應周期中可保證較高求解精度，但網格點移動可能導致網格局部失真，引起數值振蕩。而h 型方法采用剖分及聚合網格單元的方式改變網格分布，適用于局部精細特征的捕捉，是目前實際工程中采用最為廣泛的網格自適應方式。對于尾跡、旋渦等需要在大范圍區域加密的流動特征，可如圖17所示采用h型方法加密[109]。而激波結構則往往要求各向異性加密，通過重構網格面方向可顯著降低加密網格量需求。Zou Dongyang 等[110]將激波裝配法嵌入非結構網格自適應過程中（見圖18），通過網格重構方式匹配激波位置，間斷前后變量關系由理論解給出，無須進一步加密，僅采用r 型方法即可實現激波的精確模擬。而A.Corrigan 等[111]和A.D.Kercher 等[112]采用移動DG 方法實現了與上述激波裝配嵌入方法類似的非結構網格自適應重構。L.M.D'Aquila 等[113]則通過改進重構方法提高了激波裝配嵌入方法的穩定性。

圖17 非結構網格動態加密捕捉翼尖渦[109]Fig.17 Dynamic adaption of the unstructured grids near the tip vortexes[109]

圖18 激波裝配嵌入的非結構網格重構[110]Fig.18 Shock-fitting embedded reconstruction of unstructured grids[110]

對于網格自適應的密度控制，現有研究發展了多種基于度量參考的網格自適應方法[108]。A. Loseille 等[114-116]提出了基于Hessian矩陣的多尺度度量，可保證網格自適應過程達到全局二階收斂，適用范圍廣[106]。A.Loseille 等[117]將多尺度度量推廣到目標泛函的誤差控制，提出了基于伴隨的度量，并進一步擴展到高階數值方法[118]。V. olejsi等[119-120]針對hp 型自適應方法基于高階Taylor 多項式插值提出了Lq范數度量，適用于高階數值方法，并推廣到了任意流動誤差指示器[121]。K.J.Fidkowski 等[122-123]研究表明“熵狀態變量”與熵平衡方程的伴隨解相似。相較于傳統伴隨方法需要額外求解伴隨方程，熵狀態變量作為伴隨解僅需通過氣體狀態變量直接計算得到，計算需求小。

5 機器學習預測流場網格生成的實現

本文提出的基于機器學習預測流場特征的網格生成框架核心是利用機器學習的預測能力對一般流場特征進行先驗預測，建立工況及幾何外形與流場特征的聯系。在實踐中，此類聯系若要依賴理論模型或經驗公式提供，則難以達到相對較寬的通用性。本文第2～4節分別介紹了在第1節所提框架下機器學習網格生成所需三項支撐技術的研究近況。而本節將介紹機器學習網格生成實現方法的相關研究。

上述三項支撐技術中部分方法已分別用于機器學習相關的網格生成中。現有研究主要通過機器學習方法替代或輔助現有技術中的復雜算法以提高效率。在流場間斷識別問題中，可將已知間斷狀態的數值分布作為訓練集，通過機器學習方法構建模板點數值分布與間斷狀態的聯系。D.Ray與J.S.Hesthaven[124-125]、Wen等[126]和A.D.Beck等[127]均采用了光滑/非光滑函數庫作為訓練集。而Feng Yiwei等[128]則采用單層神經網絡基于一維黎曼問題數值解訓練間斷指示器，并應用于間斷伽遼金(DG)方法中[129-130]。在非結構網格自動生成問題上，通過機器學習方法可構建關于幾何特征[131-132]、誤差特征[133]到網格分布的映射關系，在保證網格質量的條件下可提高網格的生成效率。

對于三項支撐技術的綜合應用，基于機器學習預測網格分布密度的非結構網格自動生成方法研究采取的思路與本文框架類似。Zhang等[13]依據兩套網格的泊松方程計算結果進行了誤差估計，通過三種不同的神經網絡建立了幾何及邊界條件與誤差分布的映射關系。K.Huang等[14]針對隨機外形的低速繞流問題設計了帶約束隨機外形的生成方法，利用伴隨方法進行誤差估計，在U-net網絡基礎上實現了誤差預測以指導非結構網格的生成。

本文基于本文框架分別對高超聲速鈍頭體繞流問題[15]和平板橫向噴流干擾問題[16]進行了結構網格自動化生成的嘗試。對于流場特征指示器，考慮到高超聲速鈍頭體問題中激波結構較為單一，梯度閾值影響相對較小，激波識別采用了壓力梯度判據。而考慮到噴流干擾的分離再附線與壓力峰值線存在相關性，將摩擦力線漸近線提取方法結合壁面壓力分布進行判斷可提高特征提取的魯棒性。

本文采用的流場預測方法均由POD 降維及全連接神經網絡建立映射關系兩部分構成。傳統POD 方法通常要求每條數據長度相同，以背景網格作為采樣網格。而本團隊采用的采樣網格則根據噴口直徑及分離線尺度自動生成，如圖19所示。將背景網格作為采樣網格具有較高的通用性。而依據幾何外形特征及流場特征生成采樣網格可提高不同條件下流場的相似度，有利于減輕數據降維及后續神經網絡訓練的數據需求量負擔，但流場特征尺度需要通過機器學習方法或其他方式另行給出。最終生成的計算網格結構如圖20 所示，分離線處存在網格約束曲線，再附線處未作特殊處理。

圖19 采樣網格結構及壁面壓力系數分布[16]Fig.19 Scheme of sampling grid and contour of wall pressure coefficient[16]

圖20 計算網格結構及壁面壓力系數分布[16]Fig.20 Scheme of computational grid and contour of wall pressure coefficient[16]

若進一步將不同的流動特征逐步嵌入采樣網格中，則有望實現如圖21所示的數據降維框架。該框架包括5個部分：（1）在得到流動特征后進行特征分層處理，得到從總體到細節不同層次的流動特征。分層特征可存儲在背景網格G0中。對于簡單特征也可采用代數表示。（2）依據幾何特征及總體流動特征建立采樣網格Gi+1，將計算網格上的流動特征插值到采樣網格進行數據采樣。（3）采樣特征同時作為編碼器的訓練輸入以及解碼器的訓練輸出用以訓練自編碼器。訓練完成后編碼器和解碼器可以單獨使用。（4）將工況及幾何外形作為神經網絡預測模型的訓練輸入，將編碼器輸出的降維特征以及步驟（1）中得到的總體流動特征作為訓練輸出，用以訓練神經網絡預測模型。（5）訓練完成后，輸入工況及幾何外形預測模型即可輸出降維特征及分層特征。其中分層特征結合幾何外形可重構采樣網格；降維特征通過解碼器可重構為采樣特征指標集。采樣網格和指標集共同構成采樣特征，與流動特征對比驗證預測精度。當模型預測精度未滿足要求時，返回步驟（1）進行迭代，在更優的采樣網格上進行特征分層，并在后續步驟中采用更多的特征參考生成采樣網格進行數據采樣。

圖21 特征分層采樣的數據降維框架Fig.21 Framework of dimension reduction based on progressive feature extraction

應該指出，上述數據降維框架本質上利用所研究流動問題中已知的共性特征等附加信息，將相似參數及流動拓撲結構嵌入神經網絡中以減少神經網絡需要學習捕獲的特征，從而減少訓練集的樣本容量需求。可以想象，在實踐中以上措施將更依賴于專家知識，在通用性上受到流動問題自身特性的限制。在本團隊嘗試的兩類問題中，幾何外形均較為簡單，可表示為少量外形參數。但對于復雜曲面外形則有必要通過自編碼器等方法進行數據降維[74]。若已知幾何外形的設計方法，則可將復雜外形表示為少量設計參數，簡化幾何外形表示。特別是在乘波體設計[134-135]中，幾何外形與主要激波結構往往由設計型線及少量設計參數同時決定，在設計工況條件下可直接作為計算網格和采樣網格生成的參考。

本文采用的網格生成方法系通過參數化腳本程序實現，需要預先人工生成相應流動問題的模板網格。在特征分層采樣的數據降維框架中，需針對特定流動問題的分層特征設計具備總體到細節不同層次特征的模板網格。該系列模板網格既作為采樣網格使用也參與計算網格生成。考慮到現有結構網格自動生成方法仍有待于進一步完善，而特定工程應用中的幾何外形及流動特征具有較高的一致性，基于模板的結構網格參數化生成方法不失為工程應用的一種選擇。

6 結束語

本文針對基于機器學習預測流場特征的網格生成框架，對流場特征指示器、基于機器學習的流場預測、網格自動生成及自適應三項支撐技術進行了簡要綜述，并對該網格生成方法的實現進行了綜合討論。

現有流動結構指示器研究主要針對數值求解與數據提取，尚未與網格生成廣泛結合。自適應網格方法的主要判據仍為簡單特征量閾值判據。伴隨-自適應方法相對成熟，但在工程實踐上仍需進一步完善。現有機器學習框架能夠較好地完成簡單流場預測，但對于工程實踐中的復雜流動仍有待針對性研究。結構網格的自動生成方法仍在積極發展中，但在針對流體力學問題的網格控制有待進一步完善。

本文提出的基于機器學習預測流場特征的網格生成框架，在上述相關技術的進一步完善下，有望通過充分應用已有的流場數據積累，開發出兼顧幾何外形及流動特征的高質量網格生成軟件模塊，以降低網格生成的耗時，減輕計算中網格自適應需求，從而提高CFD工程效率。