面向航空工程的CFD不確定度量化方法研究

李立

航空工業西安航空計算技術研究所，陜西 西安 710065

復雜航空工程取得成功的一個關鍵要素是在設計過程中引入數值計算（計算流體力學（CFD））的相關方法和工具。隨著技術進步，CFD 已成為實現航空飛行器數字設計的關鍵性、基礎性支撐工具。中國商飛在C919 飛機、C929飛機氣動設計過程中均大量采用了CFD技術，通過將先進CFD、優化設計和試驗驗證等技術無縫結合，有力保障“設計具有較強競爭力的先進民用飛機”目標的實現[1]。

CFD的基本策略是綜合利用計算機和數值算法來高效求解各種簡化的或非簡化的流體力學控制方程，獲得關鍵性的空氣動力學特性參數（如升力、阻力、載荷等）。從實際問題中抽象出來的流體力學控制方程是高度復雜的、高維非線性偏微分方程，目前對其數值解的數學理論研究并不充分。同時，由于實際物理問題本身的復雜性，CFD在具體應用時常常進行各種形式的數學簡化。CFD技術的這些特殊性決定了針對具體問題，對數值模擬及結果的可信度進行綜合分析和研判非常重要。目前，國際上公認的策略是對CFD 軟件及其模擬結果進行驗證（verification）、確認（validation）和不確定度量化（UQ）。

CFD 軟件及模擬結果的驗證、確認和不確定量化可以統一歸屬到CFD 可信度研究范疇。早在1998 年5 月，AIAA 雜志出版的可信的CFD 模擬（Credible CFD Simulations）中就明確提出，CFD可信度研究的幾個關鍵問題包括驗證、確認、認證和不確定度量化[2]。在美國國家航空航天局（NASA）和波音聯合發布的、被視為當前CFD 技術發展風向標的CFD 2030愿景中，也明確把實現整機級問題的不確定度量化列為未來數十年CFD 重點研究的技術領域之一[3]。

本文在概述CFD 不確定量化方法當前發展現狀的基礎上，聚焦如何構建面向航空工程的CFD不確定度量化的高效算法及相應的支持平臺和工具。具體涉及兩個方面。一是方法層面的研究，包括標準術語、流程規范，以及瞄準旨在針對“維數災難”，建立適于大維度不確定性輸入參數不確定度量化的高效算法。二是支持平臺和工具層面的研究，從開展第三方的驗證、確認和不確定度量化思路出發，構建較為通用的不確定度量化基礎平臺框架。期望本文研究有助于助推國內相關工作開展。

1 CFD不確定度量化方法研究概述

在CFD 可信度分析范疇，不確定度量化是同驗證、確認平行的基本概念，承擔不同的職責和任務。1998年6月，基于不同行業專家聯合研究成果，美國航空航天學會（AIAA）發布了CFD 驗證和確認指南（AIAA G—077—1998）[4]，被公認為是CFD可信度研究工作的權威指南。

該指南指出，建立CFD模擬可信度的兩個基本原則是驗證和確認。驗證是指確定計算模型是否精確表示概念模型的過程，但對于計算模型或概念模型與真實世界的關系并無定論。確認是指確定計算模型和概念模型是否表示真實世界的過程。隨后這一思路和概念持續得到發展。

2006 年和2009 年，美國機械工程師學會（ASME）先后發布計算固體力學驗證和確認指南（ASME V＆V10—2006）[5]、CFD 和熱傳輸驗證和確認標準（ASME V＆V20—2009）[6]。這兩個指南或標準的研究工作是近年在數值模擬軟件及其模擬可信度研究相關術語、規范和標準研究中比較突出的工作。ASME V＆V10—2006 指南和ASME V＆V20—2009標準基本沿用了AIAA G-077—1998指南中其他相關術語和規范的定義，并繼承了其軟件可信度建立的思路和過程。

圖1 給出ASME V＆V20—2009 中提出的建立數值模擬軟件可信度的基本過程。可以認為，目前國際上關于CFD 驗證、確認和不確定度量化等基本術語及過程的認識趨于成熟。與AIAA G-077—1998 指南比較，明確提出除了驗證和確認外，需將不確定度評估作為可信度分析過程的一項重要活動。

圖1 建立數值模擬可信度的基本過程[6]Fig.1 Procedures to establish credibility for numerical simulation

2016 年，NASA 和波音在其聯合發布的CFD 2030 愿景[4]中明確指出，需持續加強對CFD驗證、確認和不確定度量化（VV＆UQ）相關技術的研究，特別是在算法方面，到2018 年左右，在CFD 軟件中應形成可靠的誤差評估能力；到2025年左右，在CFD軟件中應形成不確定度傳播和對不確定度進行準確估計的能力；到2030 年，建立對所有可能來源的誤差和不確定度（包括源于物理建模、數值誤差、自然變異性和認知局限等方面的誤差和不確定度）進行有效管理的能力，如圖2所示。規劃同時提出，在實際工作過程中，應關注不確定度量化技術與多學科分析和優化（MDAO）技術結合的問題。

圖2 CFD 2030愿景中關于誤差和不確定度量化的實施路徑[4]Fig.2 Roadmap for error estimation and uncertainty quantification in CFD 2030 vision[4]

換言之，可以認為，實現CFD 全生命周期誤差和不確定度的有效管理是對CFD 模擬進行驗證和確認的終極目標。在開展CFD 模擬可信度分析過程中，引入“不確定度量化”這一工具，正是為了適應這種新趨勢。

事實上，在復雜航空工程領域，CFD在實際使用過程中存在天然的不確定性。參考空中客車公司的思路和方法，從面向實際航空工程的角度出發，在CFD 模擬過程中，實際上主要存在三類典型的不確定性[7]：操作或運行不確定性、幾何不確定性、物理建模不確定性。在復雜工程外形的計算評估或者優化設計問題中，如果建模時不考慮真實條件下上述輸入條件的不確定性，往往無法準確評估復雜物理條件下真實外形的氣動性能，尤其是考慮極限臨界條件下的情況更是如此。在NASA 最新發布的報告中，不確定度量化被認為是支撐未來實現仿真認證的一項關鍵性技術[8]，出發點即基于此。

針對不確定度量化相關課題，國外近10年開展了大量工作[9]。2007 年歐盟委員會在框架計劃中設立了NODESIM-CFD 項目（基于CFD 非定值模擬的設計方法研究），隨后繼續在UMRIDA項目中進行推進；2007年12月，北大西洋公約下的RTO 實用飛行器技術小組專門組織內部專題技術會議，討論軍機設計中的不確定度量化問題；2009年，德國在其國家項目中設立了計算空氣動力學中的誤差和不確定度管理及優化（MUNA）項目，專門研究結合其主力計算軟件Tau開展削減計算誤差和不確定度的策略和方法等。

美國也設立有類似計劃，通過各渠道項目支持不確定評估及管理相關工作開展。2013年Springer出版社編輯出版了名為“計算流體力學中的不確定度量化”的專門論著，報道了美國在CFD不確定度量化和管理方面的重要成果。主要包括三個方面內容：（1）CFD（包括氣彈等非定常問題）中主要的不確定度評估問題；（2）高效、高精度的不確定度評估方法；（3）不確定度評估方法實現及驗證。

2016年11月，在STI項目框架下，NASA組織有關團隊對NASA近10年在驗證、確認及不確定度管理方面開展的工作進行全面總結，編輯出版了《模擬的可信度：驗證、確認和不確定度評估的研究進展》，基本體現了美國在相關研究的最高水平。主要內容包括：代碼驗證的策略和過程；計算驗證的策略和過程；基于誤差輸運方程的解驗證方法；自動化驗證策略和方法；不確定度評估和敏感性分析的術語及規范；基于概率論的不確定度評估和敏感性分析方法；帶隨機參數的CFD計算及不確定度量化方法；試驗設計方法及其應用；模型確認的方法；不確定度評估和驗證、確認方法在試驗及計算中的應用；高超聲速吸氣式推進系統計算確認的具體應用實踐等。

在國內，筆者所在團隊從2009年開始持續跟蹤相關技術的研究，先后在國家科技部973計劃課題（鄧小剛院士任項目首席科學家）、裝備預研重點基金、航空科學基金等渠道項目支持下開展工作，在基礎理論和工具研發方面有一定經驗和技術積累[10]；北京應用物理研究中心在國家自然科學基金等項目支持下，針對核爆中的不確定度量化評估有關問題開展了研究，建立了針對核爆問題的一整套不確定評估辦法[11]；中國空氣動力學研究與發展中心近年來在國家數值風洞工程支持下也啟動了大量的工作，并以基礎項目招標方式支持國內相關工作開展[12]。此外，北京航空航天大學、西北工業大學、國防科技大學等高校也結合相關任務，開展了CFD不確定度量化相關研究工作，限于篇幅，在此不再贅述。

應當說，目前，CFD不確定度量化問題逐漸引起國內相關團隊的重視，但從研究的深度和廣度，以及對不確定度量化問題本質的認識深入方面，筆者認為，與國外差距仍然相當明顯，仍處于較初步的階段。

2 CFD不確定度量化基本方法的研究

不難分析，在開展CFD 可信度分析過程中，不確定度量化作為驗證、確認下一階段的工作，其主要工作目標是定量評估真實（數值）模擬條件下，不確定性因素對計算結果的影響。參考文獻[13]對不確定度量化的基本內容及方法給出了很好的總結。

從工程實用化角度考慮，本文認為，CFD不確定度量化實際需要解決三個方面問題：（1）不確定性要素及誤差來源的有效識別和定量刻畫問題，即確定實際計算中有哪些不確定度要素來源會對實際模擬（或計算）產生大的影響；（2）不確定性如何傳播、如何分析問題，即確定采用何種方法，實現各類不確定性在CFD 系統中的傳播，并定量評估和確定不確定輸入對計算結果有多大影響，以及在多大置信度區間范圍內結果可信；（3）帶不確定度的計算數據如何使用的問題，即有了含誤差及不確定度區間的計算結果，如何基于不確定度量化結果進行設計決策。其中，最后一方面工作在實際研究中常常被忽略，但在工程上，這反而是最關心的。結合本文目的，下文重點論述前兩個問題。

2.1 不確定性要素來源的有效識別和刻畫

不確定性要素來源的有效識別和刻畫是開展不確定度量化的第一個關鍵步驟，也是實現不確定度量化的前置條件。

在這一階段，關心的主要問題包括：實際物理問題中，有哪些可能的不確定性影響因素？哪些因素對計算結果影響比較大，哪些因素在實際工作中可以忽略？也即確定哪些因素是關鍵因素、哪些因素是次要因素，從而實現在不確定性參數選取上，盡可能縮小參數的檢索范圍，減小發生“維數災難”的可能性。然而，針對實際問題，上述不確定性要素來源的識別和刻畫的工作本身并不總是特別容易完成。因而，從建立面向復雜航空工程的實用方法思路出發，圍繞工程應用問題本身進行合理分析、建立恰當的不確定性要素分解圖譜顯得非常關鍵。

有大量文獻針對CFD 不確定性影響因素進行如何分類開展研究[14]。在這些早期研究中，常把不確定度和誤差混為一談，將不確定性要素來源分為物理建模不確定性、應用不確定性、離散化和求解誤差、計算機冗余錯誤、編程和用戶錯誤等。但這種方法往往不利于分門別類建立恰當的不確定性傳播與分析方法。主要原因是不確定性和誤差在發生階段、表征方式上均有相當大不同?？梢哉J為，誤差偏重于數值的部分，而不確定性偏重于物理的部分。

按照上述思路，在本文的具體實踐中，擬從面向實際航空工程的角度出發，重點借鑒和參考空中客車公司曾采用的相關思路和方法，即面向復雜航空工程問題實際，重點關注下述三類不確定性要素，包括操作或運行不確定性、幾何不確定性、物理建模不確定性[7]。

第一類是操作或運行不確定性，定義為因計算狀態與實際運行狀態有出入引起的不確定性。例如，與風洞試驗對應，由于吹風條件或模型安裝引起的流場均勻性、迎角等差異，往往會對模擬結果產生非常大的影響。按照傳統分類方法，這是一類典型的應用不確定性要素。對于這類不確定度，一般認為，對于外流問題，馬赫數、來流迎角和雷諾數被認為是最關鍵的影響因素，而對于內流問題，馬赫數、來流迎角、環境壓力和溫度被認為是最關鍵的影響因素。

第二類是幾何不確定性。定義為因幾何模型制作工藝、模型表面粗糙度等導致的對真實幾何外形描述有出入引起的不確定性。這也是一類典型的應用不確定度。對于這類不確定度，對于外流問題，模型的制作公差、模型的靜態變形、模型的動態變形、溫度影響（如結冰），以及持續的外在破壞因素（如雨滴影響）被認為是最關鍵的參數，而對于內流問題，模型的制作公差、模型的動態變形和持續的外在破壞因素被認為是最關鍵的參數。在具體計算中，這些參數的影響可以通過考察更具體的參數來加以評估。如對民機機翼模擬，值得考察的具體幾何不確定度參數可能包括機翼前緣半徑、機翼前緣和后緣后掠角、機翼尾緣厚度、機翼最大厚度及機翼最大厚度位置等。此外，氣動彈性變形等也是值得關注的重要參數之一。

第三類是物理建模不確定性。定義為因采用的物理模型（包括所選用的幾何模型和流動模型）與需要模擬的真實物理問題有出入引起的不確定性。按照這個定義，物理建模不確定度主要包含兩個方面的問題。一類是幾何建模的問題，這屬于典型的應用不確定性問題。對于這類不確定性，幾何模型是否簡化被認為是最關鍵的參數。如在民機高升力機翼模擬中，為了便于網格生成和計算，往往會不具體模擬鉸鏈和鉚釘等部件，而采用干凈的機翼模型。另外一類是流動建模的問題，這屬于典型的模型不確定性問題。對于這類不確定性，明確各類流動模型的適用范圍被認為是最關鍵的。對于湍流模擬，值得關注的具體關鍵參數是湍流模型中的模型常數和轉捩參數。這些常參數往往通過試驗結果標定，對不同具體流動，通常會帶有很大的不確定性。

除上述三類不確定性要素外，數值參數引起的不確定性也是本文關注的。數值參數的不確定性可定義為因計算問題求解定義（包括初始條件、邊界條件、空間離散格式、時間離散格式、計算網格生成以及相關的模擬參數）導致與實際有出入引起的不確定性。這部分問題既包含部分應用不確定性問題，如初始條件、邊界條件的選擇和設置，以及計算條件的物理屬性參數設置等，又包含部分數值離散誤差或求解誤差引起的問題，如計算網格生成、空間離散格式和時間離散格式選擇，以及相關求解參數設置等。

按照上述方法，實際上基本建立了一套適于航空工程的不確定性要素分解的圖譜。

在不確定性的具體表征上，一般方法是按不確定性的具體表現形式分為隨機不確定性和認知不確定性，進而分類表示[13-14]。隨機不確定性是一類客觀存在的不確定性，常采用概率密度函數（PDF）、均值、方差、偏度等概率統計理論來表達。認知不確定性是一類主觀的不確定性，主要是由于對問題的認識不足造成的，因而通常很難像隨機不確定性表征為概率密度函數，常常用非概率的方法來表征，如可選值、區間等。

2.2 不確定性傳播與分析

不確定性傳播與分析可以看作利用CFD 系統進行多參數學習、收集分析證據的過程。因此，不確定性傳播與分析方法在不確定度量化中起到關鍵性作用。

依據不確定性表現形式不同，主要包括適用于隨機不確定性的概率類方法（如蒙特卡羅（MC）方法、多項式混沌（PCE）方法、矩方法），以及適于認知不確定性的非概率類方法（如區間分析方法、模糊邏輯方法）[13]。此外，以伴隨方程靈敏度導數方法為代表的敏感性導數方法也常用于認知不確定性傳播與分析的典型方法[15]。

這里重點介紹兩類方法。一類是以蒙特卡羅（MC）方法及其改進為代表的隨機采樣的方法；另一類是以非介入式多項式混沌（NI-PCE）為代表的結構性采樣方法。這兩類方法是筆者所在課題組建立大維度可變輸入復雜問題模擬的高效不確定評估方法的基礎。具體目標是，針對經典方法從低維拓展到高維帶來的采樣點數量呈幾何級數增加引起的所謂“維數災難”問題，開展方法的優化及改進。

2.2.1 經典蒙特卡羅及其改進方法

按照數學的觀點，隨機不確定性的傳播和分析本質上可以看作一個隨機微分方程的求解問題，因而，利用經典蒙特卡羅方法（MC）是一種非常直接、自然的思路。并且，在理論上，利用蒙特卡羅方法總能無限逼近隨機微分方程的真解。從這個意義上來說，經典蒙特卡羅（MC）方法可以看作一種能對隨機不確定性量化評估結果正確性進行驗證的可靠方法。

MC方法的基本思路是：針對擬求解的隨機問題，建立隨機過程，通過對該隨機過程進行采樣和數值試驗，得到擬求解問題的近似解。MC方法的主要優點是無須顯式推導或給出影響變量與所研究變量之間的關系，而是基于對實際仿真數據的統計分析，得到結果的統計特征，具有簡潔、明了的特點。然而，在實際應用中，MC方法最主要的缺點是收斂非常慢，其估計誤差的精度可表示為

式中：N為采樣樣本數，δ為利用隨機樣本輸出計算的方差，λα是與置信度α一一對應的常數，可以通過查表法得到。

由式（1）不難分析，傳統MC 方法的收斂速度與N成反比：當N= 100時，模擬誤差精度為10-1量級，要達到10-2量級，樣本數至少增加到10000，效率非常低。因此，針對復雜工程問題，如何改進MC方法、提高其效率一直是重要研究之一。

在具體實踐中，利用MC方法基于隨機抽樣的特點，一種有效的策略是根據變量特點減小隨機抽樣樣本點數量。拉丁超立方蒙特卡羅方法（LHS-MC）就是典型的方法之一。但是該類型方法盡管在一定程度上可以提高計算效率，但并沒有改變抽樣類方法的本質。為了提高評估精度，仍需要大量計算。

在本文課題組的實踐中，提出一種基于飛行仿真中數據融合的思路對MC方法進行改進的算法[16]。其主要思路是在仿真階段，通過小樣本計算，引入Kriging 代理模型來重構產生大樣本，實現對MC 方法的改進，由此得到基于Kriging 代理模型的改進MC 方法，簡稱Kriging-MC 方法。步驟如下：（1）利用試驗設計方法或偽隨機方法產生給定分布的大樣本初始輸入；（2）利用均勻隨機采樣、拉丁超立方采樣等抽樣方法從該初始樣本隨機抽取給定樣本容量的小樣本作為真實計算輸入；（3）進行重復性數值試驗，得到小樣本的計算結果；（4）基于上述小樣本計算結果，利用Kriging響應面方法進行插值，得到與初始大樣本隨機輸入對應的計算結果；（5）基于上述計算結果進行統計分析，給出具體的不確定度量化結果。

在上述過程中，采用Kriging響應面方法進行大容量樣本數據的恢復方法，相較多項式響應面方法具有明顯優勢。Kriging 方法作為一類統計學意義最優的方法,已被廣泛應用到數據融合、優化設計等領域。具體理論公式及分析可參見參考文獻[16]。

2.2.2 非介入式多項式混沌方法

多項式混沌（PC）方法是近年來發展非常迅速的方法。PC 方法本質是一種譜分解方法，基于結構性采樣。PC 方法將整個數值模擬過程認定為一個隨機過程，根據輸入參數的概率密度分布函數，選擇合適的正交基函數，然后將該隨機過程的輸出在基函數構成的譜空間中展開，進而將問題核心轉換為譜空間中正交多項式的系數確定問題。

PC方法從原理上就與MC方法有本質不同，由于利用譜空間的正交分解，計算量與期望的多項式的展開階數正相關，因而計算效率非常高。

PC方法基本原理概述如下。

假定隨機的輸入變量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)滿足某種特定概率密度分布f(ξ)。對于任意關心的輸出量y=y(ξ)（根據具體情況，可以是升力、阻力等總體積分量，也可以是流場中某處的壓力系數、摩擦力系數或者馬赫數等流場局部變量，或者分離區長度、再附點位置等流場特征量），利用譜分解理論，可以將其進行正交展開

式中：αj為待確定的系數；Ψj是以f(ξ)為權系數、具有隨機性質的正交多項式，如對多維正態分布輸入，對應混沌正交多項式為Hermite多項式；NPC是進行譜分解截斷的總項數，可以依據混沌多項式的階數p及隨機變量個數NPC來確定

這樣，問題轉換為如何確定待定系數αj。一旦系數確定，則可以利用其計算任意輸入量，并推導出輸出量的統計特征

上述過程依據其與求解器耦合實現的方式，進一步可以分為介入式多項式混沌（IPC）方法及非介入式多項式混沌（NIPC）方法。

在IPC中，控制方程中的不確定變量和參數都用其PC展開替代，經過投影之后，得到與原控制方程相似的隨機控制方程，自變量為PC展開中的自由度。IPC屬于一種白盒方法，需要對現有代碼做大的改動，基本上可視為開發了一種新的求解器，不僅理論推導難度大，而且程序改造工作量較大，加上很多情況下，軟件代碼都是封閉的，這限制了IPC在工程問題中的應用。

因此，從面向航空工程實際應用角度出發，本文主要發展和采用NIPC 方法。NIPC 方法是一種典型的黑盒方法，將CFD 求解器作為“黑箱”，通過確定性樣本，對展開系數進行估計。確定展開系數的過程，也常稱為匹配過程。主要有兩種思路。一種稱為Galerkin匹配法，依據式（2）可得

式（2）可以采用高斯積分方法進行計算。另一種稱為配置法，采用任意多個樣本的確定性計算結果進行待定系數確定。通常情況下，計算樣本數N應大于PC展開的總項數NPC。這樣，利用N個觀測值yi(i= 1,2,…,N)可以形成一個關于待確定系數的超定方程：

求解上述方程即得到待確定的系數αj。

從發展現狀來說，盡管與MC 方法相比，PC 方法的計算效率通常表現為上百倍效率的提升，但針對實際工程問題，隨著維數增加，PC 方法同樣存在展開的項數隨著輸入變量的維數和展開階數的增加成幾何級數增長、引起“維數災難”的問題。其主要原因是在PC 方法中，通常采用張量積方式實現多維求積。

為此，人們在PC方法基礎上，近年來開展了諸多嘗試，期望進一步改進和提升方法的效率，以應用到三維復雜工程問題。稀疏網格重構多項式混沌（Sparse-PC）是其中值得關注的方法[17]。在包含多輸入變量的隨機問題中，經常會遇到目標響應的展開式稀疏的情況，展開中占主導的通常是獨立的輸入變量和變量之間的低階交叉項。這樣，某些非常小的自由度的量值完全可以舍去，這使得稀疏多項式混沌方法得以廣泛應用。研究表明，通過引入稀疏網格技術，可以極大程度減小高維問題計算所需節點數，因而可在一定程度上緩解“維數災難”問題。

3 不確定度量化工具的研究

為了面向航空工程應用，形成實戰化能力，自主開發和研制具有較強通用性及平臺適應能力的不確定度量化工具非常必要。目前，國際上已發布多種開源、可支持不確定度量化分析通用工具或平臺。但總體針對性不強。為此，本文提出建立一種針對性及第三方軟件適應性較強的不確定度量化評估基礎平臺框架UQ-CFD V1.0.

UQ-CFD V1.0采用C++/Fortran語言混合開發。其中，C++用來實現功能接口的封裝、調用，以及與求解器通信，實現具體UQ 功能；Fortran 用來實現求解器前后處理的標準化，實現CFD 計算數據（力系數數據、表面場數據、空間場數據）的提取，方便與C++混合編譯，為前端UQ分析程序自動提供監控數據。當前版本已實現并支持的主要UQ功能包括：隨機樣本自動生成（正態分布、均勻分布等）、基于Kriging 代理模型的改進MC 不確定度評估功能、基于稀疏網格積分的PC不確定度評估功能等。

圖3 給出了UQ-CFD 的系統組成。包括UQ-PRE、UQ-UPDATE、UQ-POST 三個核心模塊，分別承擔不同任務。UQ-PRE 負責前處理，UQ-UPDATE 負責計算評估和結果更新，UQ-POST負責后處理。UQ-CFD致力于建立一個通用性的交互式不確定度量化評估應用環境及平臺框架，提供單參數和多參數隨機計算，并實現對LHS-MC、Kriging-MC、PC、Sparse-PC等高效率不確定度傳播方法的支持，為開展復雜航空工程問題的CFD不確度量化奠定了基礎。

圖3 UQ-CFD框架的實現技術思路Fig.3 Technical roadmap for UQ-CFD implementation

為提高該工具的使用性，UQ-CFD提供了一種基于標準化參數集成思路的求解器耦合方法，通過引入一種較通用的參數標準，便捷地為實現不同求解器耦合帶來的參數傳遞問題。通過與多個內部求解器的耦合驗證，證實該策略非常有效。UQ-CFD提供兩種運行模式：命令行交互模式及批處理腳本模式。圖4展示了平臺運行界面和主要系統功能。提供的主要系統功能包括：提供交互方式UQ應用環境；支持基于MC、PC 的典型UQ 方法；支持單變量和多變量隨機樣本生成；支持點數據、表面流場數據、空間全流場數據自動收集；支持自動運行腳本（C語言實現）等。

圖4 UQ-CFD框架運行界面及主要系統功能Fig.4 System function and usage method of UQ-CFD

4 不確定度量化工具驗證及初步應用

4.1 基礎算法驗證

為了對支持的基礎算法進行驗證，采用經典Rosen brock函數作為測試案例。該函數定義為

確定性問題為：求函數f(ξ1,ξ2)在(0,0)處的值。對應的不確定度量化問題是：當ξ1,ξ2均為符合正態分布N(0,1)的隨機輸入時，求f(0,0)在95%置信度下的不確定度。

對該二維問題，采用5種方法進行計算：（1）標準MC方法；（2）LHS-MC 方法；（3）Kriging-MC 方法；（4）Galerkin-PC 方法；（5）Sparse-PC 方法。計算中，樣本數統一設定為1000，對MC 類方法，為直接樣本數；對PC 類方法，為重構樣本采樣數。為了便于對結果正確性進行檢驗，同時采用LHS-MC 進行了10000 次樣本的大容量計算，將其視作基準結果。詳見表1。

表1 不同方法得到的Rosenbrock函數在（0，0）處的統計特征Table 1 Comparison between statistics for Rosenbrock test function with different UQ approaches at（0，0）

此外，Kriging-MC 依據重構樣本數不同，選擇三種具體方法，以評估重構樣本數對不確定度評估結果的影響；Galerkin-PC 依據階數不同，選擇兩種方法，以評估階數影響；Sparse-PC 依據層數選擇兩種方法，以評估稀疏網格層數影響。

對本算例，以均值、方差、偏度為主要判斷標準，不難分析：（1）標準MC及LHS-MC方法給出的計算結果相當，結果合理；對本算例，LHS-MC 方法給出的偏度偏小。（2）基于Kriging代理模型的改進蒙特卡羅方法，重構樣本數的增加帶來預測準確性的提升，但同時帶來計算量的顯著增加（與重構樣本數正相關，重構樣本數20，需要計算20次）；對本算例，重構樣本數20，與重構樣本數100、500 的方法，給出的結果已大致相當，表明方法的高效性。（3）對Galerkin-PC，階數提升帶來預測準確性的提升，尤其是高階的偏度估計，但計算量相應增大（對本算例，5 階方法需要25 次計算、10階方法需要100次計算）；以均值、方差為基準，5階方法與LHS-MC 方法計算結果相當。（4）對Sparse-PC，層數增加同樣會帶來準確性提升，對本算例，2層Sparse-PCE已經能夠給出相當準確的結果，3 層Sparse-PC 則與10 階Galerkin-PC 給出的計算結果相當，但計算量只有10 階Galerkin-PCE的一半（直接計算45次；10階Galerkin-PC計算100次），因而計算效率有顯著提升。

上述測試結果，證實了本文所采用基礎不確定度量化方法的可靠性。

4.2 幾何不確定度分析案例

來流馬赫數3.0 的平面斜激波問題是參考文獻[15]中用于幾何不確定性評估的經典案例。初始平面傾角為5o，在超聲速來流作用下將產生斜激波，激波位置對平面頃角非常敏感。

對該問題，采用PC 方法進行不確定度量化分析，并采用隨機樣本1000 的標準MC 方法作為基準結果進行對比。圖5給出來流馬赫數3.0條件下，平面斜激波幾何影響不確定度評估的典型結果，清晰地體現出幾何（傾角5o±1%）對該流場的影響。由計算結果不難分析，該結果與理論分析表現出的特征完全一致。

圖5 平面斜激波問題幾何不確定度量化典型結果Fig.5 Typical UQ results for geometry uncertainty qualification of oblique shock problem

通過圖6 可以看出，隨著混沌多項式階數升高，PC 與MC 方法兩者的相對差量越來越小。對該問題，當混沌多項式的階數達到6 時，兩者評估結果已達到基本一致,表明PC方法相對MC方法的高效性。

圖6 平面斜激波問題中,多項式階數對PC評估結果的影響Fig.6 Effect of polynomial order on PC for oblique shock problem

4.3 來流參數不確定度分析案例

本節重點在于考察多參數情況下的綜合不確定度評估。確定性算例為經典的高超聲速圓柱算例，計算條件為：馬赫數8.03，自由來流溫度124.94K，壁溫294.44K，雷諾數為1.835e+5。

對應的不確定度量化問題定義為：來流馬赫數、自由來流溫度，以及壁溫三個環境參數對模擬結果的影響。各不確定性參數統一采用1%不確定性，均為正態分布。

本算例選擇Galerkin-PC 作為主要的不確定度量化方法?；煦缍囗検诫A數取4，直接重復計算的次數為64次，與蒙特卡羅方法動輒需要數千次計算相比，計算量顯著下降。圖7對比了考慮不確定性計算得到的壓力平均場與直接計算基準場，表明采用Galerkin-PC 給出的平均場結果合理，可作為進一步分析的基礎。

圖7 不同計算得到的壓力場對比Fig.7 Comparsion between pressure contour result with different approaches

圖8進一步給出對壓力場標準差、偏度、斜度等統計分析情況。其中，標準差可以認為是流場影響量的最佳度量，其大小可以度量預測結果的可信度水平?？梢钥吹?，以標準差預測作為評判標準，對本算例，操作不確定性主要集中體現為對弓形激波位置的模擬可信度影響較大。

圖8 考慮來流不確定性的高超聲速圓柱問題壓力場標準差、偏度、斜度結果Fig.8 Results for stand deviation,skewness,and kurtosis for hypersonic cylinder considering operational uncertainty

圖9 進一步給出表面熱流的計算情況?？梢钥吹剑凑?5%置信度分析，考慮不確定性影響的計算方法很好地給出了熱流計算結果。最大熱流與試驗吻合較好。

圖9 考慮來流不確定性的高超聲速圓柱熱流結果Fig.9 Heat flux result for hypersonic cylinder considering operational uncertainty

利用上述結果，可以進一步采用Sobol靈敏度指數分析方法，對各參數影響量進一步定量分析。對本算例，靈敏度分析結果表明（見表2），以壁面阻力系數作為考察對象，計算結果受壁溫影響最大（貢獻度為49.9%）、來流靜溫次之（貢獻度為31.6%），馬赫數貢獻最小（貢獻度為18.5%）。

表2 高超聲速圓柱問題靈敏度分析結果Table 2 Sensitivity analysis results for hypersonic cylinder problem

5 結論

瞄準建立實用的方法和工具，本文對面向航空工程的CFD不確定度量化方法進行論述。本文研究得到以下幾個結論：

（1）CFD 不確定度量化是可信度分析范疇中與驗證、確認并駕齊驅的重要技術領域，隨著人們對CFD技術需求的提升，不確定度量化在支撐魯棒性數字設計及設計認證方面大有作為。

（2）瞄準工程實用性，建立適于大變量可變輸入的不確定性量化方法非常關鍵，基于譜展開理論的多項式混沌（PC）及其優化及改進方法是最值得重點關注的方法。

（3）從構建實戰能力出發，自主開發和研制具有較強通用性及平臺適應能力的不確定度量化工具也非常必要，本文展示的UQ-CFD 提供了一種通用性不確定度量化工具平臺框架的示范。

（4）基于標準Rosenbrock函數算例及兩個典型應用案例的計算，表明本文的方法和策略是有效的，可以有效應用與幾何不確定性、操作不確定性、物理模型不確定性等隨機不確定性影響評估相關的問題。

目前，本文工作仍處于較初步階段，下一階段將進一步對研制的UQ-CFD框架功能進行完善，重點聚焦建立針對同時考慮隨機不確性及認知不確定性的混合不確定度量化評估的能力，以及適應復雜問題的能力。