基于小波分解的AVOA-DELM月徑流時間序列預測模型及應用

張亞杰

(云南省玉溪市易門縣水利局，云南 玉溪 651100)

徑流時間序列預測是指依據已有的歷史監測數據，通過科學的方法推測將來的徑流變化趨勢。提高徑流時間序列預測精度對區域水資源開發利用、防洪抗旱規劃、水庫優化調度等具有重要意義。傳統中長期徑流預測模型有回歸類模型[1]、集對分析模型[2]和灰色模型[3-4]等，這類模型原理簡單、速度快，但由于徑流受氣候變化、人類活動、土地利用變化和植被覆蓋等多種因素的影響，徑流序列呈現出非平穩性和多尺度等特征，為提高預測精度帶來了難度[5]。當前，互補集合經驗模態分解(CEEMD)、奇異譜分解(SSA)、變分模態分解(VMD)、極點對稱模態分解(ESMD)等分解算法是徑流時間預測前處理的常用和有效方法，通過分解算法可將復雜的原始徑流序列分解為多個平穩子序列進行預測，可大幅提升模型精度，如桑宇婷等[6]利用互補集合經驗模態分解(CEEMD)方法和BP神經網絡建立組合預測模型，將其應用于汾河上游月徑流預測；王麗麗等[7]融合奇異譜分析(SSA)方法、灰狼優化算法、回歸支持向量機模型，提出SSA-GWO-SVR月徑流組合預測模型；呂晗芳等[8]建立變分模態分解(VMD)-最小二乘支持向量回歸機(LSSVM)耦合模型，將其應用于上靜游站等多個水文站月徑流預測；李繼清等[9]融合極點對稱模態分解(ESMD)與BP神經網絡，構建ESMD-BP模型對黃河上游唐乃亥站進行徑流預報。

分解算法是月徑流時間預測前處理的常用方法之一，將復雜的原始月徑流序列分解為多個平穩子序列進行預測，可大幅提升模型精度。目前，CEEMD、SSA、VMD等時間序列分解方法已在月徑流時序數據分解中得到應用，并取得較好的分解效果；BP、SVM、LSTM等模型是月徑流時間序列預測的最常用的模型之一，但BP、SVM、LSTM模型存在缺點與不足，如BP神經網絡存在設置參數多、易陷入局部最優等缺點；SVM模型存在對參數敏感、大容量樣本預報中表現不佳等不足；LSTM模型預測性能較好，但存在內存資源消耗大、運行時間長等缺陷。小波分解(wavelet decomposition，WD)是以傅里葉變換為數學基礎的信號預處理方法，能很好地平衡時間分辨率和頻率分辨率之間的矛盾，由于其較好的時序數據分解效果，已在處理各類非平穩信號中得到廣泛應用。非洲禿鷲優化算法(african vultures optimization algorithm，AVOA)是Abdollahzadeh B等[12]于2021年受非洲禿鷲覓食和導航行為啟發而提出的一種新型元啟發式優化算法，具有尋優能力強、收斂速度快等優點。深度極限學習機(deep extreme learning machine，DELM)也叫多層極限學習機，其采用多個基于極限學習機(extreme learning machine，ELM)的自編碼器(ELM-AE)進行無監督預訓練，然后利用各ELM-AE的輸出權重初始化整個DELM，從結構上看DELM相當于把多個ELM連接到一起，但它相對于ELM能更全面地捕捉到數據之間的映射關系并提高處理高維度輸入變量的精確度。與傳統ELM相比，具有隨機參數少，網絡復雜度低，激活函數類型多樣化等優點[13-15]。但在實際應用中，DELM隱含層神經元數對DELM網絡預測性能影響較大，目前主要采用人工試算等方法確定，不但費時繁瑣，且精度不高。

為提高月徑流時間序列預測精度，進一步拓展徑流預測組合模型應用范疇，基于WD方法、AVOA算法和DELM網絡，提出WD-AVOA-DELM月徑流時間序列組合預測模型，并構建基于支持向量機(SVM)、BP神經網絡2種預測器的WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP、AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP作分析對比模型，將該6種模型應用于云南省丫勒水文站月徑流時間序列預測，旨在驗證WD-AVOA-DELM模型用于月徑流時間序列預測的可行性。

1 研究方法

1.1 小波分解(WD)

小波分解(WD)基本思想是利用尺度空間Vj和小波空間Wj來表示平方可積函數空間L2(R)。定義{Vj}j∈Z是L2(R)上的一列閉子空間，小波空間Wj是Vj+1與Vj之差，即Vj+1=Vj⊕Wj，則可以推得[10-11]：

(1)

在此基礎上，利用Mallat提出的快速小波變換分解方法將非平穩時間序列分解為若干不同尺度下的平穩時間序列：

cj+1=Hcj，dj+1=Gcj，j=0，1，…，J

(2)

式中H——分解低通濾波器；G——分解高通濾波器；J——尺度數；{cj}、{dj}——原始時間序列c0的低頻、高頻成分。

1.2 非洲禿鷲優化算法(AVOA)

AVOA是受非洲禿鷲覓食和導航行為啟發提出的一種元啟發式優化算法。AVOA數學描述如下[12]。

a)確定最佳禿鷲。AVOA通過計算種群所有禿鷲適應度，選擇最優和次優適應度對應的禿鷲作為最優禿鷲和次優禿鷲位置，其他禿鷲利用式(3)向最優和次優禿鷲移動。

(3)

式中Ri(t)——除最優、次優禿鷲外的其他禿鷲位置；BestV1、BestV2——最優禿鷲和次優禿鷲位置；L1、L2——介于0和1之間待測量參數，其和為1；pi——選擇最佳禿鷲的概率；fi——其他禿鷲適應度；t——當前迭代次數；其他參數意義同上。

b)禿鷲飽食率。禿鷲經常覓食，若它們處于飽食狀態，則擁有較高能量，這使得它們可以在更廣闊的區域覓食；若處于饑餓狀態，則沒有足夠的能量飛行和在更強壯的禿鷹附近覓食。飽食率數學描述為：

(4)

式中F——禿鷲飽食率；T——最大迭代次數；z——-1和1之間的隨機數；h——-2和2之間的隨機數；rand1——0和1之間的隨機數；w——控制勘探過程參數，隨著w值增大，算法進入勘探階段的概率增大，反知概率減小。

c)探索階段。禿鷲具有很高的視覺能力和較好的覓食能力。在AVOA中，禿鷲通過式(5)隨機搜尋不同區域。

(5)

式中Pi(t+1)——第t+1次迭代禿鷲位置；Pi(t)——第t次迭代禿鷲位置；X——禿鷲隨機移動的地方，以保護食物免受其他禿鷲奪取，X=2×rand，rand表示0和1之間的隨機數；P1——探索階段選擇參數；rand2、rand3、randP1——0和1之間的隨機數；ub、lb——搜索空間上、下限值；其他參數意義同上。

d)開發階段。AVOA中，開發階段分為開發一階段和開發二階段2種策略，并通過開發階段選擇參數P2、P3決定采用何種策略進行位置更新。開發第一階段禿鷲位置更新描述如下：

Pi(t+1)=

(6)

式中 rand4、rand5、rand6、randP2——0和1之間的隨機數；P2——開發第一階段更新策略選擇參數；其他參數意義同上。

開發第二階段禿鷲位置更新描述如下：

(7)

式中 BestV1(t)、BestV2(t)——第t次迭代最優、次優禿鷲位置；randP3——0和1之間的隨機數；P3——開發第二階段更新策略選擇參數；Levy(d)——隨即游走，其每一步方向完全隨機而各向同性，步長為重尾分布；其他參數意義同上。

1.3 深度極限學習機(DELM)

深度極限學習機(DELM)從結構上看相當于把多個極限學習機(ELM)連接到一起，能更全面地捕捉到數據之間的映射關系，有效提高處理高維度、非線性數據的能力。

設DELM有Q組訓練數據{(xi,yi)|i=1,2,…,Q|}和M個隱含層，將輸入訓練數據樣本根據自編碼器極限學習機(ELM-AE)理論得到第一個權值矩陣β1，接著得到隱含層特征向量H1，…，以此類推，能夠得到M層的輸入層權重矩陣βM和隱含層特征向量HM。DELM數學模型表述式為[16-18]：

(8)

1.4 WD-AVOA-DELM建模流程

步驟一采用deny小波作為WD的基函數，將丫勒水文站1990年1月至2009年12月共240個月月徑流時序數據分解為4個子序列分量S1—S4，見圖1。從圖1可以看出，S1幅值最大，聚集了原始月徑流時序數據的大部分能量，描述了徑流序列的趨勢。S4為所有分解分量中的最高頻成分，也是幅值最低的分量，描述了原始月徑流時序數據的波動情況。

圖1 丫勒站月徑流時序WD分解結果

步驟二在延遲時間為1的條件下，采用虛假最鄰近法(FNN)確定各子序列分量及原序列的嵌入維度m，即利用序列前m個月徑流預測當月月徑流量。本文大致按2∶1劃分訓練、預測樣本，即利用實例1～156個月月徑流數據作為訓練樣本，157～240月徑流數據作為預測樣本。

步驟三選用3隱層DELM網絡。針對各子序列分量，通過AVOA優化各隱含層神經元數，構建WD-AVOA-DELM模型目標函數：

(9)

步驟四設置AVOA種群規模N，最大迭代次數T，各階段更新策略選擇參數P1、P2、P3；隨機初始化禿鷲種群位置Pi(i=1,2,…,N)，令當前迭代次數t=0。

步驟五計算所有禿鷲適應度值，確定最優、次優禿鷲位置BestV1、BestV2。

步驟六對于種群所有禿鷲，利用式(3)其他禿鷲位置；利用式(4)計算禿鷲飽食率，若|F|≥1，利用式(5)更新禿鷲位置；若0.5≤|F|< 1，利用式(6)更新禿鷲位置；若0≤|F|< 0.5，利用式(7)更新禿鷲位置。

步驟七計算更新后所有禿鷲種適應度，比較并確定最優、次優禿鷲位置BestV1、BestV2。

步驟八令t=t+1。判斷是否滿足終止條件，若是，輸出BestV1，算法結束；否則轉至步驟六。

步驟九輸出BestV1，即DELM最佳隱含層神經元數。利用AVOA-DELM模型對各子序列分量S1—S4進行預測，預測結果疊加重構后即得到丫勒站最終月徑流預測結果。

2 實例應用

丫勒水文站位于云南玉溪市峨山縣，建于1958年12月，1975年撤銷，1990年恢復，屬綠汁江干流控制站，控制徑流面積7 098 km2，為國家重要水文站及省級報汛站。綠汁江發源于楚雄州武定縣貓街鎮干沙溝西麓，為元江右岸一級支流，屬紅河水系。綠汁江由北向南流經祿豐、雙柏、易門、峨山、新平等縣后匯入元江，徑流面積8 613 km2，河流長294 km，自然落差1 651 m，平均比降4.9‰，流域水力資源理論蘊藏量為330.7 MW。本文數據來源于云南省丫勒水文站1990年1月至2009年12月共240個實測月徑流序列。從圖2可以看出，丫勒水文站月徑流時序數據呈現出典型的多尺度、非線性特征。

圖2 1990—2009年丫勒水文站月徑流變化曲線

2.1 參數設置

WD-AVOA-DELM、WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP、AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP模型參數設置見表1。

表1 各模型參數設置

2.2 預測結果及分析

利用所構建的6種模型對實例月徑流進行預測，結果見表2，預測結果見圖3、4。利用平均相對誤差(MAPE)、平均絕對誤差(MAE)、確定性系數(DC)、合格率(QR)對各模型進行評估，見式(10)。

(10)

表2 丫勒月徑流時間序列訓練、預測結果對比

圖3 丫勒站月徑流時間序列預測相對誤差

圖4 丫勒站月徑流時間序列預測效果

依據表2及圖3、4可以得出以下結論。

a)WD-AVOA-DELM模型對丫勒站預測的MAPE、MAE分別為3.02%、0.411 m3/s，預測誤差較WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP模型降低55.1%以上，預測精度較AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP模型提高1個數量級以上，QR為100%，DC達0.999 7，模型精度評價等級為甲級(合格率大于等于85%、確定性系數大于等于0.90)。可見，WD-AVOA-DELM模型具有更好的預測精度，將其用于月徑流時間序列預測是可行的。

b)從表2來看，經WD方法分解處理的WD-AVOA-DELM、WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP模型預測精度遠遠優于未經分解處理的AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP模型，可見，采用WD對月徑流時間序列進行分解，可達到弱化復雜環境對徑流時間序列影響的目的，從而提高模型預測精度。

c)依據GB/T 22482—2008《水文情報預報規范》，WD-AVOA-DELM、WD-AVOA-BP模型達到預測精度等級甲級；WD-AVOA-SVM模型達到預測精度等級乙級；AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP模型預測合格率低于30%，已不能滿足徑流預測精度需求。WD-AVOA-SVM模型僅達到預測精度等級乙級，預測精度低于WD-AVOA-BP模型，表明SVM模型雖然在小樣本預測中具有優勢，但在相對大容量樣本的月徑流中長期預測中不具優勢。

d)從圖4來看，WD-AVOA-DELM模型預測的絕大多數月徑流相對誤差在-5%～5%范圍內波動，具有較小的預測誤差；從圖5來看，WD-AVOA-DELM模型預測結果能夠很好地逼近實測徑流，具有較好的預測效果。通過AVOA優化DELM隱含層神經元數，有效提高了DELM網絡的預測精度和智能優水平。

3 結論

為提高月徑流時間序列預報精度，提出WD-AVOA-DELM月徑流時間序列預測模型，并構建WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP、AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP作對比分析模型，通過云南省丫勒站月徑流時間序列預測實例對各模型進行檢驗，得到如下結論。

a)WD-AVOA-DELM模型對丫勒站月徑流預測精度遠優于WD-AVOA-SVM、WD-AVOA-BP模型，較AVOA-DELM、AVOA-SVM、AVOA-BP模型提高1個數量級以上，預測精度評價等級為甲級，具有較好的預報精度和實際應用價值。

b)采用WD對月徑流時間序列進行分解，可將原月徑流時間序列分解為更簡潔、更具規律的子序列分量，大大降低預測器的預測難度，從而提高預測精度；通過AVOA優化DELM隱含層神經元數，有效提高了DELM網絡的預測精度和智能優水平。

c)WD-AVOA-DELM模型能充分發揮WD方法、AVOA算法和DELM網絡優勢，表現出較好的預測精度和穩定性能。本文提出的預測模型及預測方法可為相關徑流時間序列預測研究提供新途徑。