基于Timoshenko 梁理論的鋼-混組合梁動力剛度矩陣法

孫琪凱，張 楠，劉 瀟

(北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044)

鋼-混組合梁因其自重較輕、承載力高、剛度大等優點而得到了越來越廣泛的應用。常見的鋼-混組合梁結構形式是由柔性剪力鍵連接鋼梁和混凝土子梁而成，這種結構既能發揮鋼材受拉又能發揮混凝土受壓的材料特點[1-3]。

鋼-混組合梁的動力學研究已比較常見[4-7]。早期，基于Euler-Bernoulli 梁理論，Girhammar 等[8]推導了考慮界面剪切滑移效應的鋼-混組合梁的運動平衡微分方程，指出了界面剪切滑移效應對組合梁自振頻率的折減效應是不容忽視的。Huang 和Su[9]提出了影響組合梁頻率折減量的兩個無量綱參數，組合連接系數和上下層截面抗彎剛度比。Wu 等[10]推導了梁端軸力作用下組合梁自振頻率計算公式，以簡支梁為參考，給出了懸臂、簡支-固支和固支-固支等三種典型邊界條件下自振頻率的近似表達式。侯忠明等[11-12]提出了“動力折減系數”的概念，包括“剛度折減系數”和“頻率折減系數”兩部分。從理論和實驗的角度討論了“動力折減系數”隨剪力鍵剛度的變化規律。孫琪凱等[13]從能量法的角度給出了有限元計算公式，可用于分析軸向變抗彎剛度的鋼-混組合梁的動力特性。對于細長梁的低階頻率的分析，Euler-Bernoulli梁理論計算精度一般可以滿足工程要求。但是，對于短粗梁或者進行高階頻率分析時，如果繼續忽略鋼-混組合梁剪切變形和轉動慣量的影響，則計算誤差會增大，不再滿足工程要求。因此，部分學者[14-17]將Timoshenko 梁理論用于組合梁動力分析。Xu 等[14]推導了Timoshenko組合梁運動微分方程，說明了組合梁動力分析時，剪切變形和轉動慣量是不可忽略的。Lin等[15-16]給出了剛度矩陣和質量矩陣，從有限元法的角度求解了組合梁的動力性能。以上研究中雖然考慮了剪切變形和轉動慣量的影響，但是均假設混凝土子梁與鋼梁的轉角相等，這與組合梁的實際運動狀態是不符的。因為混凝土子梁與鋼梁的剪切角與各自的剪切模量有關，而兩者的剪切模量具有很大的差異。Nguyen 等[17]給出了考慮混凝土子梁和鋼梁剪切角不同時的組合梁運動微分方程，得到了頻率解析解。說明了當假設子梁轉角相同時，組合梁的剪切剛度被高估，造成計算所得頻率仍然高于實際頻率。但是該計算模型中忽略了考慮轉動慣量的影響，且無法分析沿梁軸向變抗彎剛度的鋼-混組合梁的動力性能[13]。

動力剛度矩陣法在無滑移的組合梁結構分析中得到了廣泛的應用[18-20]。該方法推導過程中沒有引入力或位移形函數，因此是精確解而非近似解。由于可以采用與靜力剛度法類似的方式組裝動力剛度矩陣，因此，可被用于分析沿梁軸向變抗彎剛度的組合梁的動力特性。目前在考慮剪切滑移的組合梁動力分析方面，Li 等[21]、Bao 等[22]和Sun 等[23]學者給出了基于Euler-Bernoulli 梁理論的鋼-混組合梁的動力剛度矩陣。如前所述，其無法滿足高階振型和短粗梁的頻率分析要求。Wang 等[24]基于Timoshenko 梁理論及子梁等轉角假設給出了6 個自由度的鋼-混組合梁的動力剛度矩陣。子梁等轉角假設過高的估計了結構的剪切剛度，造成頻率計算結果仍然偏大。

本文基于Timoshenko 梁理論提出了用于分析鋼-混組合梁動力特性的動力剛度矩陣法。該方法中，假設混凝土子梁和鋼梁具有獨立的剪切角，其大小與各自的剪切模量相關。該假設更加符合鋼-混組合梁的實際運動狀態，從而具有更高的計算精度。而且由于矩陣推導過程中沒有使用力場或位移場近似形函數，因此計算結果是準確的。最后，采用本文提出的方法分析了不同跨高比、剪力鍵剛度時，剪切變形和轉動慣量對鋼-混組合梁自振頻率的影響。

1 運動微分方程

1.1 基本假設

圖1 鋼-混組合梁構造圖Fig. 1 Structural drawing of steel-concrete composite beam

本文中基于Timoshenko 梁理論分析鋼-混組合梁的動力特性時，基本假設如下：

1) 本文只研究鋼-混組合梁平面內的彎曲振動，且基于小變形假設。

2) 混凝土子梁和鋼梁的剪切角是獨立的。

3) 混凝土子梁和鋼梁之間可以沿水平向相對滑動，而不能豎向掀起脫離。

4) 鋼混結合面上的剪力全部由剪力鍵承擔，且剪切滑移量與剪力鍵承受的剪力成正比關系，剪力鍵可以等效為連續分布的彈簧，剪力鍵的等效剪切剛度為K。

1.2 建立運動方程

根據以上假設，混凝土子梁與鋼梁之間的剪切滑移量ucs(圖2)可以表示為：

圖2 剪切滑移量示意圖Fig. 2 Schematic diagram of shear slip

式中：uc、us分別為混凝土子梁和鋼梁中性軸處的軸向位移；θc、θs分別為混凝土子梁和鋼梁的截面轉角。

由Hamilton 原理，鋼-混組合梁的運動學問題可以表示為如下：

式中，T、U和Ucs分別為結構的動能、應變能和界面剪切滑移勢能。

考慮轉動慣量的影響，因此，動能T為：

式中，w為結構的豎向位移。應變能U為：

界面剪切滑移勢能Ucs為：

把式(3)～式(5)代入式(2)，并進行變分，可得鋼-混組合梁的運動方程式：

式中，W、Ucs、Θs和Θc為相應的振型函數；ω為結構的自振頻率；φ為初始相位角。

把式(8)代入式(6)，可得：

聯立式(9)中的四個式子，可以得到組合梁運動微分方程的最終形式：

式中：

2 動力剛度矩陣法

式(10)為8 階常微分方程，其特征方程為：

式(11)是一個一元四次方程，由費拉里法可以獲得方程的四個根，如下所示：

式中，Ai、Bi、Ci和Di為振型待定系數。把式(14)代入式(9)可得待定系數之間的關系如下：

式中：

式中：

由式(14)可得，位移向量ue與待定系數向量a之間的關系，如下：

把式(14)～式(16)代入式(7)，可得力向量pe與待定系數向量a的關系式，如下：

式中：

由式(17)和式(18)可得：

在中國古代兩件事最為重要，一是祭祀，一是戰爭。祭祀排在戰爭的前面，因為只有祭祀才能獲得神靈的佑助，而能不能獲得神靈的佑助是部落能不能得到發達的根本。從文獻資料，中國遠在堯舜禹三帝之時，就已經有以樂舞祭神的形式了。而實物的佐證就是良渚出土了玉鉞。良渚時代當是大早于禹的堯舜時代，有學者甚至認為，良渚部落就是大舜的部落。從良渚反山發掘的十幾座古墓來看，每墓出土玉鉞只有一件，可見它極為珍貴。

式中，Ke=Me即為鋼-混組合梁的8 自由度動力剛度矩陣。

按照與靜力剛度法相同的過程，組裝動力剛度矩陣，構建整體剛度矩陣Kg，則有：

式中，pg和ug為整體力向量和整體位移向量。

工程中常見的邊界條件有：自由(F)、簡支(S)和固支(C)三種，對應的邊界條件為：

圖3 給出了計算組合梁自振特性時的流程圖。

圖3 動力剛度矩陣法計算流程圖Fig. 3 Calculation flow chart of dynamic stiffness matrix method

3 算例分析

3.1 理論驗證

采用文獻[13]中的鋼-混組合實驗梁2 對本文中的理論進行驗證，結構尺寸見圖4 所示。實驗梁2 的橫截面是由1700 mm×300 mm 的矩形混凝土子梁和550 mm×450 mm×28 mm 的工字鋼梁組成，兩者之間采用直徑為22 mm 的剪力釘連接。梁長為8.5 m，跨徑為8 m。沿梁長方向按照剪力鍵的疏密程度，劃分為5 個區段[13]：(2.0+3×1.5+2.0) m；相應的剪力鍵剛度K為：(2204+1291+461+1291+2204) MPa，梁材料見表1 所示。

表1 梁材料參數Table 1 Material parameters of composite beam

圖4 實驗梁構造圖 /mmFig. 4 Structural drawing of experimental beam

具體試驗過程和ANSYS 有限元軟件建模過程均已在文獻[13]中詳述，此處不在贅述。

圖5 給出了ANSYS 計算結果的前5 階振型云圖如下所述。

圖5 前5 階振型Fig. 5 First five modes

由表2 可得：

表2 實驗梁2 自振頻率分析結果對比表Table 2 Comparison of eigenfrequencies obtained by different methods for experimental beam 2

1) 試驗測試、ANSYS 計算和本文理論計算的前3 階頻率基本一致。說明文中理論可用于分析鋼-混組合梁的自振特性。

2) Euler-Bernoulli 組合梁模型和子梁同剪切角假設的Timoshenko 組合梁模型的頻率計算結果明顯大于試驗測試、ANSYS 計算和本文理論，而且階數越高，誤差越明顯。第5 階頻率Euler-Bernoulli組合梁模型誤差達48.2%，子梁同剪切角假設的Timoshenko 組合梁模型達22.6%。說明鋼-混組合梁自振特性分析時，不可忽略剪切變形的影響；且不可簡單的假設混凝土子梁與鋼梁剪切角相等。

3.2 影響因素分析

本節在討論不同剪力鍵剛度、跨高比時，剪切變形和轉動慣量對鋼-混組合梁自振頻率的影響。以圖3 中的鋼-混組合梁為參考，改變部分結構或材料參數，討論相關影響因素，最終得到跨高比為何時，可以忽略剪切變形和轉動慣量的影響。工程應用中，前3 階豎向頻率比較重要，因此本節主要針對前3 階豎向頻率進行討論。

3.2.1 剪力鍵剛度分析

圖6 可以明顯得出：

圖6 前3 階自振頻率隨剪力鍵剛度的變化情況Fig. 6 Effect of shear connector stiffness on first three eigenfrequencies

1) 相對于本文模型計算結果，頻率階數越高，α 越小(剪力鍵剛度越大)，Euler-Bernoulli 組合梁模型結果誤差越大。

2) 當α＜10-3(剪力鍵剛度很大，剪切滑移量很小)或者α＞1(剪力鍵剛度很小，上下層間幾乎無剪切約束)時，兩種計算模型的計算結果誤差基本不變。

綜上所述，在以下討論跨高比的影響時，選取組合連接系數α=10-3，并選取第3 階為控制頻率進行分析。

3.2.2 跨高比的影響

圖7 給出了鋼-混組合梁前3 階頻率隨跨高比的變化規律。圖7 中，ωE-B為采用Euler-Bernoulli組合梁模型(文獻[23])計算所得頻率；ωT為采用本文計算模型(Timoshenko 組合梁模型)所得頻率。

圖7 表明：

圖7 前3 階自振頻率隨跨高比的變化情況Fig. 7 Effect of depth-to-span on first three eigenfrequencies

1) 隨著跨高比的增大，Euler-Bernoulli 梁理論的計算誤差逐漸減小。且跨高比越小，這種變化越明顯。

2) 跨高比對高階頻率的影響明顯大于低階頻率。對于1 階頻率，跨高比大于10 后，兩種理論計算結果誤差即小于5%；對于2 階頻率，跨高比應大于18；對于3 階頻率，應大于25。

4 結論

本文基于Timoshenko 梁理論，提出了一種分析鋼-混組合梁動力性能的新方法—動力剛度矩陣法。通過實驗梁模型對方法的適用性進行了驗證，并討論了高跨比、剪力鍵剛度對頻率計算結果的影響，主要結論如下：

(1) 本文提出的動力剛度矩陣法適用于分析鋼-混組合梁的動力特性。相比于Euler-Bernoulli 組合梁計算模型和子梁同剪切角假設的Timoshenko 組合梁計算模型，本文的方法具有更高的計算精度。

(2) 鋼-混組合梁動力特性分析時，尤其是進行高階頻率分析時，不可忽略剪切變形和轉動慣量的影響；而且不能簡單的假設混凝土子梁與鋼梁具有相同的剪切角。

(3) 相對于Timoshenko 組合梁理論，分析的頻率越高或剪力鍵剛度越大，Euler-Bernoulli 組合梁模型計算結果誤差越大。

(4) 跨高比越大，Euler-Bernoulli 梁理論計算結果誤差越小。若控制誤差在5%以內，則對于第1 階頻率，跨高比需大于10；第2 階，需大于18；第3 階，需大于25。