初中數學解題中分類討論思想的應用

陳曄華

(江蘇省無錫市塘南中學 214062)

應用分類討論思想解答初中數學習題的難點在于如何找到分類討論的分界點.不同的題型尋找討論分界點的方法存在較大差別，因此教學中應做好相關習題題型的歸納以及分類討論思想在解題中的具體應用，給學生帶來良好的解題啟發.

1 用于求解絕對值中的參數

例1有理數x，y滿足|x|+|y|=13，|x+y|=1，求x的值.

解析∵|x|+|y|=13，|x+y|=1，|x+y|≠|x|+|y|，可知x、y必定異號.接下來需要進行分類討論：

(1)當x>0，y<0時，則x-y=13，y=x-13，∴|2x-13|=1，則2x-13=±1，解得x=6或x=7；

(2)當x<0，y>0時，則-x+y=13，y=x+13，∴|2x+13|=1，則2x+13=±1，解得x=-6或x=-7；

反思解答絕對值問題時為更好的找到分類討論的分界點，應認真審題，結合所學，充分挖掘隱含條件.如題目中判斷出x、y異號是分類討論的關鍵.

2 用于求解函數中的參數

2.1 遇有坐標軸名稱不明確時需討論

例2已知正比例函數y=k1x與一次函數y=k2x+b圖象經點P(-2，1)，其中一次函數y=k2x+b圖象與y軸交點坐標為A(0，3)，求直線y=k1x與直線y=k2x+b與坐標軸圍成三角形的面積.

圖1

∵直線y=k2x+b經點P(-2,1)與A(0,3)，∴一次函數解析式為y=x+3.

反思從已知條件可直接求出一次函數與正比例函數解析式，然而在求兩條直線與坐標軸圍成三角形面積時并未直接指出是x軸或y軸圍成的三角形，所以可采取分類討論思想.

2.2 遇有點位置不明確時需討論

例3在平面直角坐標系中，已知點A(-3，0)，B(2,6)，x軸上有一點C滿足S△ABC=12，求點C坐標.

解析∵S△ABC=12，∴AC=4.

(1)當點C在點A右側，點C坐標為(1,0)；

(2)當點C在點A左側，點C坐標為(-7,0).由此可知，點C坐標為(1,0)或(-7,0).

反思由于無法確定x軸上點C位置，故而需要采取分類討論.

2.3 遇有k、b符號不確定時需討論

例4一次函數y=kx+b圖象與x軸、y軸分別交于A與B兩點，S△AOB=4，且OA:OB=1:2，求該一次函數解析式.

∴OA·OB=8.

∵OA∶OB=1∶2

∴設OA=x，OB=2x(x>0)，則x·2x=8，即x=2(-2舍去).

∴OA=2,OB=4.

(1)當k>0，b>0時，一次函數y=kx+b圖象經第一/二/三象限，此時A(-2,0)，B(0,4)，一次函數解析式為y=2x+4.同理可得：

(2)當k>0，b<0時，一次函數解析式為y=2x-4.

(3)當k<0，b>0時，一次函數解析式為y=-2x+4

(4)當k<0，b<0，一次函數解析式為y=-2x-4.

由此可知，一次函數解析式為y=2x±4或y=-2x±4

反思因無法確定k與b符號且二者的值存在較多可能，故而需要分類討論.

2.4 遇有增減性不明確時需討論

例5已知一次函數y=kx+b自變量x取值范圍為-2≤x≤6，對應函數值y的取值范圍為-11≤y≤9，求一次函數解析式.

解析(1)若函數y=kx+b為增函數，那么一次函數y=kx+b圖象兩端點坐標為(-2，-11)與(6,9)，一次函數解析式為y=2.5x-6.

(2)若函數y=kx+b為減函數，函數y=kx+b圖象兩個端點坐標為(-2，9)與(6,-11)，一次函數解析式為y=-2.5x+4.

由此可知，一次函數解析式為y=2.5x-6或y=2.5x+4.

反思由于未明確一次函數y=kx+b中k值的符號，所以無法確定函數增減性與其對應兩個端點坐標，需采取分類討論.

3 用于求解圖形中的線段長度

例6一張直角三角形紙張ABC，∠C=90°，AB=10，AC=6，點D為BC邊上任意一點，沿著過點D的直線折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E上，若當△BDE為直角三角形時，CD的長為____.

圖2 圖3

反思遇到幾何中的折疊問題時應冷靜分析，保證考慮問題的全面性.必要時要畫出相關草圖輔助分析，求解出滿足題干情境的線段長度.

4 用于求解函數圖象中點的坐標

例7如圖4，已知拋物線y=x2-2x-3的頂點為E，且和x軸正半軸交于點C，在y軸上存在一點D，滿足DC=DE，若在直線DE上存在一點P，使得以C、D、P為頂點的三角形和△DOC相似，求出所有可能的點P的坐標.

圖4 圖5

反思求解函數圖象中點的坐標問題難度一般較大，解題時應注重聯系所學的一次函數圖象、二次函數圖象、圖形的全等與相似等知識點，尤其當對應邊不明確時應注重分類討論.根據圖形的全等、相似性質構建相關的等式關系，為求解點的坐標做鋪墊.

為使學生掌握應用分類討論思想解題的技巧，既要注重為學生講解相關的理論與例題，又要要求學生做好學習的總結，把握不同題型分類討論的注意事項以及相關細節.同時，要求學生結合自身學習的薄弱點，及時進行針對性的訓練，不斷提高運用分類討論思想解題的熟練程度.