用圖式語言助力幾何直觀

林 梅

(福建省福州第二十九中學(xué) 350028)

用圖形助力幾何直觀是培養(yǎng)幾何直觀的很好的策略.初中生幾何直觀能力存在萌芽期，發(fā)展期，成熟期，不管哪個時期都應(yīng)以圖形為抓手，逐步培養(yǎng)學(xué)生的識圖、作圖、析圖的能力，要關(guān)注圖形背后的數(shù)學(xué)理性理解，不能僅僅局限于圖，而是應(yīng)以圖形為載體，力爭使核心知識走向核心素養(yǎng).

1 幾何直觀能力的萌芽期

1.1 看一看：培養(yǎng)識圖習(xí)慣

小學(xué)升初中階段即幾何直觀能力的萌芽期，小學(xué)階段學(xué)生圖形方面的訓(xùn)練較少，大部分初一學(xué)生用圖意識不強(qiáng).所以首先要持之以恒地培養(yǎng)學(xué)生的讀圖意識，加強(qiáng)圖感與圖形語言的強(qiáng)化訓(xùn)練，其次要培養(yǎng)學(xué)生有序地進(jìn)行識圖的習(xí)慣，要歸納出一類圖形的觀察方法與步驟，要培養(yǎng)學(xué)生有目的，有方向地識圖，準(zhǔn)確描述圖形，養(yǎng)成正確的識圖習(xí)慣.以人教版教材數(shù)軸教學(xué)為例：數(shù)軸的教學(xué)這是初中第一次數(shù)形結(jié)合的教學(xué)，也是幾何直觀能力的第一次呈現(xiàn)，在數(shù)軸識圖階段，學(xué)生首先要明確數(shù)軸三要素，其次要懂得從左到右的順序觀察數(shù)據(jù)變化趨勢，體會數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化.在教學(xué)中要多鼓勵學(xué)生用圖，盡可能多的用圖形解決問題，形成知識的“心理圖像”.

1.2 畫一畫：由簡入手

除了識圖，畫圖也是小學(xué)到初中銜接階段的重要內(nèi)容.作圖的過程，就是對圖形的實踐操作過程，在畫圖過程中，感悟圖形的生成過程，從而實現(xiàn)小學(xué)生感性思維到初中生理性思維的飛躍.但是畫圖能力并非與生俱來，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生由簡單到復(fù)雜，從特殊到一般，逐級而上，從學(xué)生熟悉的圖形入手，從簡單的實物入手，通過作圖實踐，觀察操作，從實物中抽象出幾何圖形，使學(xué)生感知實物與圖形間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.剛開始培養(yǎng)階段先學(xué)會用刻度尺和量角器量，學(xué)會畫出整厘米數(shù)的線段和整度數(shù)的角，再過渡到畫線段、角的和、差、倍、幾分之一等分線段和幾分之一等分角，然后再慢慢過渡到稍復(fù)雜的圖形.在學(xué)習(xí)簡單幾何推理時 , 教會學(xué)生利用量角器和直尺直觀理解和近似檢驗(不是證明)幾何命題.教會學(xué)生根據(jù)已知條件畫出圖形，量出未知的線段和角度 , 從而求得某些計算問題的近似解答，為學(xué)生的解題教學(xué)打好上升的階梯.同時要關(guān)注有畫圖能力發(fā)展點的教材新授課，基于畫圖視角重新設(shè)計，改進(jìn)教法，借助圖形發(fā)展學(xué)生的可視化思維.

1.3 寫一寫：三種語言的轉(zhuǎn)換

文字、符合、圖形這三種語言的轉(zhuǎn)化是幾何學(xué)習(xí)的基本功，幾何中的定義、定理一般是用文字語言表述，但數(shù)學(xué)的語言更多的是符合語言與圖式語言，所以如何有效互譯，是幾何教學(xué)的重點.教師在培養(yǎng)學(xué)生語言互譯時要循序漸進(jìn)，先訓(xùn)練學(xué)生“看圖說話”，再逐步訓(xùn)練學(xué)生“看圖寫話”，教學(xué)中也可用自然語言過渡到幾何語言.一開始學(xué)生的書寫可能很難一步到位準(zhǔn)確描述，教師可通過例題先進(jìn)行規(guī)范書寫地示范，學(xué)生可通過填空的方式，先是填一兩個字，再逐步到會填半行，最后到符號語言的完整表述；反過來也可以只給圖形與符號語言，要求學(xué)生進(jìn)行文字語言的準(zhǔn)確描述，或者給符號與文字語言，能畫出對應(yīng)的圖形，實現(xiàn)文圖的轉(zhuǎn)換.

2 幾何直觀能力的發(fā)展期

幾何直觀能力的發(fā)展期，學(xué)生更多的是從感性思維上升到理性思維.教學(xué)中不再僅限于量一量，測一測，更多地要求學(xué)生會進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貛缀瓮评恚瑴?zhǔn)確地畫圖，規(guī)范地描述圖形.因此教學(xué)中要關(guān)注這幾個方面.

2.1 思一思：理解作圖原理

尺規(guī)作圖是初中數(shù)學(xué)難得的操作內(nèi)容，其表現(xiàn)是操作，但實質(zhì)卻是圖形性質(zhì)的邏輯推理，是聯(lián)系、重構(gòu)、內(nèi)化幾何知識的教學(xué)素材，是培育學(xué)生幾何直觀能力很好的載體.人教版教材的五種基本作圖，只有“做一條線段等于已知線段”在人教七年級上冊第四章，其余四個都在人教八年級上冊，教材的編寫意圖很明確：八上必須完成操作性訓(xùn)練，也就是要求學(xué)生要會用尺規(guī)作圖做出五種基本圖形，但僅僅是按部就班掌握幾種基本操作就可以了嗎？教材從八上全等單元就已經(jīng)要求靈活應(yīng)用五種基本作圖構(gòu)造全等圖形，從2018年開始福建省對作圖問題的考查，從基本作圖轉(zhuǎn)向了復(fù)合作圖，這就需要學(xué)生要經(jīng)歷分析作圖的步驟，明確先作什么后作什么，思考作圖的合理性，知道作圖背后的原理，要發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用，幫助學(xué)生融會貫通地操作作圖步驟，理解作圖背后的原理.課后作業(yè)也可以作為載體，通過布置相關(guān)的畫圖作業(yè)，充分利用教材中的基本圖形，要求學(xué)生1:1高仿真的照搬書本中的圖形，學(xué)生通過精確作圖，更容易發(fā)現(xiàn)基本圖形中的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系等基本圖形的特征，實現(xiàn)鞏固畫圖技能，展現(xiàn)思考過程，提升畫圖能力，發(fā)展幾何直觀思維能力的目的.

2.2 畫一畫：強(qiáng)化作圖規(guī)范

作圖技能類，重在數(shù)學(xué)作圖的基本技能.關(guān)于基本技能，人教版教材除了五種基本尺規(guī)作圖，同時在平移，旋轉(zhuǎn)，軸對稱等內(nèi)容中都設(shè)有相應(yīng)課時和習(xí)題強(qiáng)化作圖.在新授課階段教師應(yīng)準(zhǔn)確規(guī)范地一步步進(jìn)行操作性示范，準(zhǔn)確規(guī)范地進(jìn)行幾何語言相關(guān)描述，同時要按部就班地寫出畫圖的步驟，學(xué)生方面則要求在畫圖過程中要邊畫邊標(biāo)注，每操作一步都必須用符號進(jìn)行標(biāo)注，同時會用幾何語言描述作圖過程.教師在課堂上要讓學(xué)生百花齊放，展示不同畫法的優(yōu)劣，理解學(xué)生的獨立思維能力及解題能力，同時要做進(jìn)一步的歸納提升，發(fā)展學(xué)生的思維，才能使畫圖教學(xué)成為幾何直觀能力培養(yǎng)的重要助力.

2.3 譯一譯：加強(qiáng)三種語言轉(zhuǎn)化

在前面已有基本的三種語言互譯能力的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加強(qiáng)文圖轉(zhuǎn)換能力的訓(xùn)練，如“讀句畫圖”練習(xí)，教學(xué)中只給出文字，要求學(xué)生利用文字畫出圖形；加強(qiáng)學(xué)生具備精確感知語言的能力的訓(xùn)練，如進(jìn)行“文字命題證明”的逆向訓(xùn)練；多進(jìn)行代數(shù)結(jié)構(gòu)與幾何結(jié)構(gòu)的聯(lián)想訓(xùn)練，只有代數(shù)結(jié)構(gòu)與幾何圖形的聯(lián)想越豐富，“數(shù)”、“形”之間的轉(zhuǎn)換才能越自如，思考問題的角度多變，解決問題的方法才會多變.數(shù)與式教學(xué)也是很好的切入點，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)語言互譯教學(xué)貫穿于教學(xué)的始終，利用到概念、定理、解題的各個環(huán)節(jié)，滲透培養(yǎng)靈活互譯數(shù)學(xué)語言的能力.

3 幾何直觀能力的成熟期

幾何直觀能力發(fā)展的成熟期，是在發(fā)展期的基礎(chǔ)上識圖、作圖、析圖能力的大綜合.如果說識圖更多地是聚焦于學(xué)生的認(rèn)知層面，畫圖更多地聚焦于學(xué)生的動作思維層面，數(shù)學(xué)析圖則更多是關(guān)注學(xué)生思維的思辨性.體現(xiàn)在幾何綜合教學(xué)中，學(xué)生需學(xué)會析圖解意，借助“草圖”——幾何直觀，逆向思考，通過明確圖形中點、線、面的生長過程，了解圖形的生長思路，通過畫圖尋求解題思路，通過識別基本圖形尋找解題方向，通過用圖提升解題教學(xué)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

3.1 辨一辨：析圖再構(gòu)圖

幾何圖形千變?nèi)f化，要想從繁雜的圖形中解脫出來，要從本質(zhì)上把握它，認(rèn)清圖形間的相互關(guān)系，揭示其中豐富的幾何內(nèi)涵.因此必須要學(xué)會析圖，對圖形進(jìn)行各個角度與位置的多方面分析，精細(xì)化的認(rèn)識圖形.教師不僅要幫助學(xué)生對圖形特征有準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)知，還要引導(dǎo)學(xué)生基于已有圖形信息，根據(jù)圖形特征進(jìn)行聯(lián)想和推測，從復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形，發(fā)現(xiàn)圖形中的基本元素及其關(guān)系，并由基本圖形的性質(zhì)推導(dǎo)出復(fù)雜圖形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)隱蔽的數(shù)量關(guān)系，獲得解決問題的線索.當(dāng)學(xué)生能自如的進(jìn)行圖形的組合與分解時，才更能把握圖形的內(nèi)涵.

例1已知點P是直角△ABC斜邊AB上一點(不與A,B重合)，分別過A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點.

圖1 圖2 圖3

(1)如圖1，當(dāng)點P與點Q重合時，試探究AE與BF的關(guān)系；

(2)如圖2，當(dāng)點P在線段AB上不與點Q重合時，AC=BC,CE∶AE=1∶3,△EFQ的面積等于4，求△AQE的面積；

(3)如圖3，當(dāng)點P在線段BA的延長線上時，請畫出符合條件的圖形.若AC=BC,AE∶CE=1∶3,四邊形AEFQ的面積等于4，請直接寫出△BQF的面積.

圖1中是中點的基本圖形，這個圖形始終貫穿著整道題，圖2除了中點圖形還增加了異側(cè)的一線三等角及等腰直角三角形的基本圖形，三角形面積的基本圖形即高一樣的情況下，三角形面積比就是底的比.圖3仍然有中點的圖形，異側(cè)變?yōu)橥瑐?cè)的一線三等角，三角形面積的基本圖形，還增加了共頂點雙等腰的旋轉(zhuǎn)，第(3)問除了用三角形面積的基本圖形，還可以用直角三角形的勾股定理及角平分線的基本圖形進(jìn)行分析.在對問題進(jìn)行詳細(xì)解析后，我們發(fā)現(xiàn)復(fù)雜圖形都是由基本圖形通過重疊、拼補等方法所組成.要教會學(xué)生在復(fù)雜的圖形中拆解出基本圖形，以基本圖形為抓手，尋求解題的方向與策略，洞察本質(zhì)，從而實現(xiàn)問題的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)換.

既然基本圖形在我們幾何教學(xué)中如此重要，我們要關(guān)注基本圖形的哪些方向呢，當(dāng)然是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，更進(jìn)一步應(yīng)該是基本圖形的應(yīng)用條件及應(yīng)用方法的問題.在一個幾何問題中，為什么會想到此基本圖形呢，除了題目中出現(xiàn)的蛛絲馬跡的線索，更重要的是這個基本圖形本身的特征，依據(jù)圖形的基本特征來決定圖形的應(yīng)用.

3.2 動一動：換位揭示圖形本質(zhì)

對于運動中的圖形，我們在用幾何畫板演示的過程，應(yīng)該讓學(xué)生理解圖形生成的基本狀態(tài)，在運動的圖形中，動中必存在靜，理解圖形中哪些是變化的量，哪些是不變的量，“直觀出圖形的不變性質(zhì)”，這才是我們要追求的圖形直觀的境界，所以在平時的教學(xué)中，要多讓圖形變一變，同一圖形改變它的不同位置或不同形態(tài)，從運動變化的角度觀察分析圖形，對圖形的位置關(guān)系與變換進(jìn)行空間想象，融會貫通，把握圖形的本質(zhì).還可以只給出部分圖形，要求學(xué)生補齊全部圖形，實現(xiàn)局部與整體的相互轉(zhuǎn)化.甚至可以以某個知識點為生長點，不斷拓展圖形，進(jìn)行圖形的重疊與累加.

從幾何直觀的視角引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師要不斷激活學(xué)生的圖感，不斷挖掘?qū)W生讀圖，畫圖，析圖、創(chuàng)圖的能力，采取合理的措施，將培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的理念始終貫穿于初中教學(xué)中.