高等代數教學改革的若干策略

黃政閣 崔靜靜

廣西民族大學數學與物理學院 廣西南寧 530006

1 概述

高等代數[1]是數學系本科專業最重要的專業基礎課程之一，也是報考數學專業研究生的必考專業課之一。這門數學基礎課程具有很強的理論性和實用性。因此，學好這門課程對數學專業的學生是至關重要的，它可以鍛煉數學抽象思維，同時這門課程也是數學專業后續許多課程的基礎，如數值分析、常微分方程等課程均用到線性方程組的求解理論和矩陣的代數性質，如泛函分析中學習的各類空間是在高等代數中的線性空間和歐式空間的基礎上提出的。

鑒于高等代數這門課程的重要性，有必要探討研究如何讓學生學習好這門課程，系統地掌握好它的各知識點，且將其靈活地進行運用等問題。而與之密切關聯的因素是高等代數的教學策略是否有效得當。老師是人類文化知識的傳遞者，是人類文明知識的延續與發展的橋梁。教師的引導和教學的效果與學生學習的主動性、興趣、學習效率有著極大的關系。

由于高等代數課程知識點多，課本中涉及的模型較少，內容抽象，而且還需要通過做習題來掌握和鞏固知識，因此這門課程的教學需要大量的課時。但對大多數高校來說，上課時間比較有限，因此，大多數老師對這門課的教授采用的是“灌輸法”，教學手段單一，即主要采用板書的方法將高等代數的知識講授給學生；甚至有些老師在課時不夠的情況下把上課變成趕課，這種方式會降低學生學習的興趣；對于一成不變的教學方式，人的專注力會逐漸下降，影響學習效率，不利于學生對知識的掌握。另外，此教學方式容易讓學生對抽象的知識產生疑問：在生活上沒有直觀地見過這些知識，學習它對以后的工作發展有沒有幫助？若上課只講知識而沒有很好地對知識進行引入，未體現應用背景，或未做好師生互動也會降低學生的學習興趣，而且大多數學生在學習高等代數這門課程時掌握的知識是片段不連續的，對高度抽象的知識未形成知識網絡將會導致學生對所學知識記憶不深且對其難以運用。解決這些問題需要教師們有針對性地采用合理高效的教學模式，傳統單一的教學模式適應不了當前社會的發展，也無法使學生高效地掌握高等代數的知識，故需要通過使用或結合例如多媒體、微課[2]、大班授課小班研討[3]等這些教學方式，提高學生對所學知識的掌握和應用。以上所述問題等都會對學生有效學習高等代數的知識產生較大的影響，因此有必要探究當前高等代數的教學模式，提出其若干教學改革策略，改變傳統灌輸式的單一教學模式，提高學生學習這門課程的積極性和對所學知識的應用能力。針對在高等代數教學中存在的問題，已有許多教育工作者提出了一些教學改革措施來提高教學效果。例如，文獻[2]提出了將傳統教學和微課進行結合，可促進學生課后思考，提高學生解決問題的能力及學習的積極性；文獻[4]提倡引導學生數學思維從低到高進行過渡，可使得學生更好地適應抽象的高等代數知識；文獻[5-6]提出了培養學生問題意識，激起他們求知欲望和興趣；更多改革方案可參閱文獻[7-12]。本文基于已有的教學改革措施，進一步從師生關系、引導學生學習動機意識、教學技術、教學模式、作業特點、復習方面及考核方式幾個方面提出若干高等代數的教學改革策略，對已有教改措施是有益的補充，可有效地提高課堂教學效果及提高學生學習的積極性和應用知識的能力。

2 高等代數教學改革的若干策略

2.1 從在課堂上師生之間的關系方面進行改革

2.1.1 在課堂上學生和老師是一個整體，且以學生為中心

作為一個老師，若上課時不顧學生的掌握情況，自己講自己的，就無法使學生融入課堂，這勢必對學生學習知識產生不利的影響。老師應樹立老師和學生是一個整體、兩者不能分離的思想，且在課堂上以學生為中心，以使學生良好掌握高等代數知識和數學思維為主要目標來實施教學過程。部分老師以不正確的方式——自己單位時間教授知識的多少來衡量教學效率，應變為以學生為中心，即以單位時間內學生掌握、理解所學知識的多少來衡量，這也體現了以學生為本的思想。

2.1.2 正確建立老師和學生之間的關系，建立正確的教學意識

作為教育教學過程中的兩個主要角色，老師和學生之間建立良好的師生關系是非常重要的。老師上課時的語言行動對學生的學習有著潛移默化的影響。因為從小學到中學，再到大學，老師一直是以學生管理者的身份出現在課堂上以及學生的生活中，所以學生一開始對老師或多或少有種畏懼的心理。因此，建立好老師與學生之間的關系，多與學生交流溝通，降低或消除學生對老師的畏懼心理是激發學生思考問題、提高學習主動性的好方法。

(1)對待學生老師心理要平衡，要以相同態度對待學習好和學習差的學生。建立民主、平等的教學氣氛，不僅要能夠使學生意識到自己是學習的主人，還要意識到自己能力不比別人差。否則會對學生的心理產生影響，覺得自己沒人關心，能力不行，使得學生的自信心下降。

(2)在教育學生時避免傷害學生的自尊心。對待課堂上影響教學活動的行為，例如睡覺、上課說話等行為盡量采用負懲罰方式，稍微減少對不遵守課堂紀律的學生的鼓勵，讓其在心理上有一個對自己行為進行反思的過程。

(3)鼓勵學生思考并回答老師提出的問題。學習新課程之前，可告訴學生：“老師不是課堂唯一的主持人，每個同學都是主持人，同學們可以大膽思考并回答老師提出的問題。”例如，在講子空間的交與和時，可先告訴學生交與并是常見的集合運算，子空間的交還是子空間，那么它們的并還是不是子空間呢？讓學生們大膽思考，無論回答是否正確，只要有自己的想法，哪怕回答錯誤，也不應該批評，而是應該鼓勵并給予他們正確的解答。老師在聽取學生想法時應以鼓勵為主，可說：“你的想法不錯。”但也不能一味去夸獎，要讓他們明白自己的想法哪里有缺陷，為什么會導致錯誤，并引領學生探索正確的答案。

2.2 從引導學生學習動機和問題意識方面進行改革

2.2.1 要注重培養學生正確學習高等代數的意識

俗話說得好：“興趣是最好的老師。”正確引導學生學習高等代數，使其產生學習興趣，是提高他們學習這門課程主動性最好的方法。因此，老師的正確引導是非常重要的。課程開始階段，學生面對多項式理論、行列式、方程組、矩陣、二次型、線性空間等這些抽象的概念，往往覺得學起來比較困難，因此如果一開始沒有形成良好的求知欲和興趣，往后的學習很難再有較高的學習積極性，這是學習困難產生的心理作用。新生普遍具有這樣的心理特點：對新接觸到的知識具有較強好奇心；心理不夠成熟，具有依賴性[13]。老師要抓住大學新生對知識渴望、好奇但又依賴老師授課的心理特點，正確引導他們邁入高等代數知識的學習中。例如，通過開講座講授相關知識、歷史背景、在生活中的應用、課程的重要性來提高學生的學習興趣，以及多鼓勵學生，多與學生面談釋放他們的心理壓力；課后多輔導學生，降低他們對高等代數學習困難的恐懼等。此外，相比中學時期，大學生具有對新事物的觀察比較敏感、深刻、明確[14]，而不僅僅滿足于對課本上內容的學習的認知特點。老師要抓住大學新生這些的認知特點，培養學生形成良好的學習意識。例如，可基于大學生對新事物觀察比較深刻明確的特點，利用生活上常見的物體來形象體現高等代數里的一些概念，比如一個表格中的數據，可將它們以整體的思想展示給學生看，其實這就是一個矩陣；又好比在家里擺放家具時通常要調整角度，其實就是一個線性變換，其可使學生更易理解知識，引發學生的學習興趣，促使學生在平時學習高等代數知識時將所學知識與生活對象和現象進行類比。

2.2.2 老師要根據教授內容的難易程度來恰當控制學生學習的動機水平

高等教育心理學表明，學生對高等代數的學習動機和學習效果是緊密聯系、相互制約的。學生學習動機水平的提高往往可促進學習積極性，但并不總是成立的。著名的耶克斯—多德森定律表明，最佳動機水平與任務難度是密切相關的，任務較簡單，那么最佳動機激起水平較高，反之較低[14]。由此可知，當老師在上課時可針對教授內容的難易程度，對學生的學習動機進行相應地調整。例如，在講線性變換的值域與核這一節的時候，關于線性變換的值域與核的定義對學生來說是較容易理解的內容，因此可稍微加快語速和提高分貝，使學生在吸收這些知識時盡量保持注意力集中一些，這樣對較簡單的知識理解和掌握更快；而關于較難的知識點，如線性變換值域與核的維數與基之間的關系，應放慢語速，語調平和，給學生創造一個輕松自由的學習環境。且在講這個內容時可以穿插一些簡單的知識點，面帶輕松的笑容，微笑講授，靈活運用耶克斯—多德森定律來充分提高學生的學習積極性。

2.3 從教學方法和教學技術方面進行改革

2.3.1 在學習新內容之前要利用合適的方法引入

高等代數是高度抽象的數學學科，學生學習起來比較枯燥，因此老師準確有效地引入知識可引發學生的興趣和思考。可考慮運用圖形引入和問題引入兩種方式，圖形引入如：在第九章歐幾里得空間中講到歐式空間的三角不等式|α+β|≤|α|+|β|時，首先利用中學的平面向量圖形(見圖1)來幫助理解：

圖1

學生在平面向量中對三角不等式容易理解，之后給學生說明歐式空間是一般幾何空間的推廣，這個結論有可能也是成立的，再給出相應的證明，可使學生的思維有過渡，由初等代數思維推廣到高等代數思維，則學生在學習新知識時較易接受。

問題引入通常可激發學生對新知識的求知欲和探索欲。例如,在講授二次型之前，先回顧解析幾何里的二次曲線和二次曲面方程的形式，讓學生了解它們的形式都具有什么特點？它們都是二次齊次多項式且來源廣泛，初步了解二次型的定義及學習相關知識的意義。再提到判斷二次方程的類型有利于研究它們的性質，這里涉及二次曲線的化簡問題，讓學生回憶解析幾何中化簡的方法，進而引入線性替換的概念。此外，為什么要學習歐幾里得空間？先比較一下線性空間中元素的性質和幾何空間中元素的性質有什么差別？線性空間中元素不涉及向量的長度和方向(夾角)，但為了更好地研究線性空間中元素的性質，有必要將度量性質引入線性空間，進而引出歐幾里得空間的必要性。當然，引入新知識的設計方法很多，關鍵是老師在教學過程中要有意識地對所講知識進行合適的引入，從而使學生從具體的數學思維上升到抽象的數學思維，對新知識產生興趣，促進學生思考。

2.3.2 在課堂上要經常設問引發學生的思考

在課堂上經常設問讓學生思考是學生與老師之間的一種交流和互動，可拉近兩者之間的距離。1987年《高等教育教學新動向》的報告認為課堂內外學生與教師經常的接觸是影響學生動機和參與的最重要因素[15]。在講授知識的過程涉及很多數學證明，證明過程的每一步常利用到前幾節甚至前幾章的知識點，這時每推導一步就可向學生設問該步怎么來的，用到什么知識？如在證明兩個子空間的交是子空間時，可問學生怎么證明？這時候引發學生回顧子空間的定義：(1)線性空間的非空子集；(2)關于所定義的加法封閉；(3)關于所定義的數量乘法封閉。這使得學生在腦海里復現了此概念，達到鞏固知識的目的。另外，合理設問可激發學生的思考和探究，自然引申出下一個知識點。例如提問：兩個子空間的并的元素關于加法不一定封閉，因此它不一定形成子空間。那么能不能在子空間的并的基礎上構造一個新的子空間？這就促使學生思考要包含子空間的并，必須要包含兩個子空間中所有元素的和，進而自然引申出子空間的和這一定義。

2.3.3 采用延伸、類比、數形結合等方法培養學生舉一反三、創新和逆向的思維

高等代數中蘊含許多重要的數學思想，教授這門課時培養學生掌握舉一反三、創新和逆向的思維可讓他們在學習中形成主動思考探索的意識。

(1)采用延伸法培養學生的創新思維：向學生展現從范圍較小的對象到范圍更廣的對象，從簡單的對象到復雜的對象，從特殊的對象到一般的對象的性質變化，可提高學生數學思維。例如，在講線性空間定義時，先回顧n維向量空間、數域P上全體n級矩陣和閉區間上連續函數全體的性質和運算，讓學生思考它們關于運算方面共同的特點——關于所定義的加法和數量乘法封閉，且滿足八條運算規則。從幾個特殊的空間，提取出關于加法和數量乘法的共同特征，延伸出線性空間的定義，讓學生更好地理解和掌握這個知識。另外，在講授歐式空間基本定義及性質時，首先在線性空間的基礎上引入度量的概念——內積。引入內積之后，自然延伸到向量長度和夾角的定義，那么這里需要滿足什么條件？對內積有什么性質要求？是不是自然成立的？這可促進學生的思考，提高其學習主動性并積極尋找答案，培養其創新思維。

(2)采用類比法培養學生舉一反三的思維：利用形式或定義類似的對象進行比較，促進學生思考它們的共同點和區別。例如在學習逆變換σ-1時先讓學生回顧：a(a≠0)的倒數是1/a，它們滿足1/a×a=a×1/a=1，接著思考關于可逆變換σ的逆變換應滿足什么條件？由1/a×a=a×1/a=1這個式子可類比出滿足條件σ-1γ=γσ-1=1(這里1表示單位變換)的變換γ是可逆變換σ的逆變換。通過類比，可讓學生對具有類似性質的數學對象進行分類總結，從而加深記憶和理解。此外還可培養學生舉一反三的思維，例如關于可逆矩陣A的逆矩陣滿足什么條件？學生根據類比法就不難想到滿足條件AB=BA=I的矩陣B是矩陣A的逆矩陣。

(3)采用數形結合法培養學生逆向思維：利用數形結合法可清晰地向學生體現高等代數的知識主線，也可用來培養學生的逆向思維。例如，在教授線性子空間的內容時，由子空間關于所定義的加法數乘的封閉性可知，若子空間包含有限多個元素a1，a2，…，ak，那么它們的和與倍數同時也包含在此子空間中。反之，如果一個集合包含元素a1，a2，…，ak，那么它應該滿足什么條件才能形成線性子空間？這個問題可以通過圖2展示出來：

圖2

這里就促使學生不僅想到子空間的基本性質——關于所定義的加法和數乘是封閉的，而且反過來思考，若要求包含若干給定元素的集合是子空間，那么應滿足什么條件？即需要包含這些給定元素的所有線性組合，從而引出生成子空間的定義。這里就通過數形結合方法來激發學生反向思考，培養學生的逆向思維，加深對知識的理解。

2.4 從教學模式方面進行改革，根據學生的具體學習情況靈活運用多種教學方式

使用單一的教學方式在當今電子科技高速發展的時代往往不能滿足教學的需要，僅僅使用PPT教學對于高等代數這門高度抽象化、對數學思維要求高的課程，需要老師在黑板上一步步推導證明過程來體現數學思維，使用PPT授課某些數學思維和知識點不能完全體現，會導致學生跟不上老師的節奏。但僅僅使用傳統的教學方式——板書往往會使得學生覺得課堂枯燥，注意力逐漸下降，不利于對課程的學習，這就說明了采用多種合適的教學手段是非常必要的。對于比較簡單的知識點，可以通過PPT直接體現給學生，提高教學效率；而對于較難的知識點，需要老師結合PPT和板書來教學，PPT可以體現概念，節省老師在黑板上抄寫一些簡單數學概念的時間，也可方便老師在推導時，學生對應參看PPT上的概念和定理敘述。此外，一些抽象的概念如子空間的和，用板書效果不是很好，但用PPT動態旋轉體現，會使學生更清晰地了解該定義。如將3維幾何空間的Z軸看作子空間V1，X0Y平面看作子空間V2。用PPT動態圖(見圖3)表示V1和V2的和，可讓學生更直觀了解該定義。

圖3

2.5 從復習方式進行改革，采用知識框架將知識串聯起來

高等代數這門課程具有知識點多、概念抽象等特點，學生學習這門課程往往比較困難，在學生腦海中高等代數的知識往往是片段性的，而不是連續性的。具體來說就是章與章之間、節與節之間的知識沒有形成聯系，這對于有效掌握運用所學知識是比較困難的。這時可通過知識框架將知識串聯起來，讓學生在腦海里形成知識網絡。例如，在復習第6章線性空間時，可采用如下圖4中的知識網絡框架將整章的知識串聯起來：

圖4

這樣學生可根據該知識框架中小節知識之間的聯系來回顧復習整章內容，再如第八節同構映射，與第一節映射的定義密切相關，可以將線性和向量空間的聯系體現出來。此外在復習子空間的直和時，根據知識框架中的箭頭可以回顧出子空間直和可通過子空間的交、子空間的維數關系、子空間基的性質來判斷。充分利用這個知識框架圖，使用知識框架給學生復習可將知識整體化，在大腦中形成知識網，不僅提高復習效率，還可提高學習知識的整體性。

2.6 從考核方式進行改革，采用多種考核方式提高學生對所學知識的運用

當前高等代數的考核方式基本上都是以期末考試為主，導致學生在學習高等代數中重結果輕過程，也會導致學生以考好考試為最終目標，重理論輕應用。要改變這種情況，需采用多種考核方式。如將考核方式改為考試與考察相結合，設定最終成績為平時成績和考試成績按比例分配的總和。平時成績應根據平時作業、隨堂測驗、隨堂提問以及課后小論文等完成情況來評定。其中隨堂測驗和隨堂提問可使學生保持注意力，促進思考，進而提升課堂教學效果；另外課后小論文，例如用第三章線性方程組的相關知識去解決一些實際生活中的科學或工程問題，比如確定衛星的位置[5]，這些可促使學生在課后去圖書館或上網查閱相關資料來尋找合適的方案。不僅對所學知識的進行了應用，而且進一步鞏固了所學的知識。此外，老師的教學意識對學生的學習方式影響也是深遠的，老師作為課堂傳授知識的導向人，應以自身為榜樣，不能重理論輕應用、重知識輕思想，在課堂上過度強調考試成績的重要性，會給學生形成考試很重要，學習過程和知識應用無關緊要的意識。

結語

當今社會的科學在飛速發展，對科學高水平人才需求越來越高。而科技的發展與數學的應用是密不可分的。因此學生學好高等代數這一門重要的數學專業必修課是非常重要的，而當前主要采用的板書的教學手段將高等代數的知識講授給學生的“輸灌法”及傳統的考核方式不利于學生的思考和學習積極性。因此改變已有的舊教學考核模式來提高課堂效率，促進學生學習動機，形成良好數學思維并最終運用所學知識是我們努力實現的目標。

本文從師生關系方面、培養學生學習意識方面、教學技術模式方面、復習方面、考核方面給出高等代數教學改革的若干方案。目前已有相關教育工作者提出了這門課程的若干教學改革策略[2-12]。本文提出的幾點教學改革措施可作為已有改革方案的補充，對它們進行結合采用，可期望提高學生對高等代數的學習的主動性，對培養思維更有效。