一類廣義KdV方程的留數對稱和CRE可解性

呂梓帆,張順利

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

非線性系統的研究在自然科學領域有著非常重要的作用,描述非線性系統的方法有很多種,如遞推算子法,Darboux變換法,M¨obious變換法等[1-2],其中對稱群理論和Painlev′e分析法在構造精確解的過程中起著重要的作用.近年來,樓森岳教授等人發現了Painlev′e分析也可用于獲取非局域對稱,對應于Painlev′e截斷展開的奇異流形的留數,因此也被稱為留數對稱.此外,文獻[3-5]還進一步推廣了Painlev′e截斷展開方法,引入了“一致Riccati展開可解性”的定義,這對于構建相互作用解和新的可積系統有重要意義.目前,很多方程的精確解都可以利用上述方法構造出來,如Korteweg-de Vries方程,Burgers方程,色散長波方程,非線性Boussinesq方程,Boussinesq-Burgers方程,Kadomtsev-Petviashvili方程,Benjamin-Bona-Mahony方程等[6-14].

文獻[15]提出的著名的淺水波運動方程在其他物理研究中[15],也可以作為一種長波模型,用于解釋孤立波的相互作用和無耗散的波狀激發等現象.當物理參數被適當吸收到非獨立變量u和獨立變量x,t的定義中,它們分別與物理系統中的距離和時間成正比時,得到一類廣義的KdV方程如下:

對于上述方程,已有許多學者進行了可積性與可解性相關的研究.文獻[16]研究了該方程的可積性,文獻[17-18]研究了廣義KdV方程的精確解及級數解等問題.通過適當的變換,方程(1)可轉化為一般的KdV方程,文中所得結論也可推導應用于一般的KdV方程中.本文主要研究了廣義KdV方程(1)的留數對稱和CRE可解性,并基于此構造出方程新的相互作用解,并作出相應解的波形圖.

2 非局域留數對稱及其局域化

方程(1)的Painlev′e截斷展開可表示為如下形式:

其中f表示奇異流形,u0,u1,u2,f都是關于x,t的函數.將(2)式代入方程(1)中,令f的各次冪都為零,可解出

則有

同時f滿足下面的Schwarzian形式

其中

Schwarzian形式在M¨obious變換

下保持不變,即方程(5)容許如下的三個對稱:

其中c1,c2,c3為任意常數.將表達式(3)代到方程(1)中,可以得到如下B¨acklund變換定理.

定理2.1(B¨acklund變換定理)如果f是方程(5)的解,則

是方程(1)關于f和解u之間的一個B¨acklund變換.當f和u滿足B¨acklund變換(7)時,方程(1)有如下的留數對稱:

由于非局域對稱不能直接約化,因此需要將其進行局域化.為找到上述非局域留數對稱的有限對稱形式,首先需要解決如下初值問題:

其中ε是群參數.由于在初值問題的求解中涉及函數以及它的導數,需要對其進行相應的延拓將其轉換為局域的Lie點對稱.為此,引入輔助變量g和h,利用表達式

則方程(1)的非局域留數對稱可以被局域化為延拓系統(1),變換(7),表達式(10)的Lie點對稱,即

相應的Lie點對稱的向量場表達式為

由Lie的第一基本定理,得到如下初值問題:

解上面的初值問題便可得到下面的對稱群變換定理.

定理2.2(對稱群變換定理)如果f,g,h,u是系統(1),變換(7),表達式(10)的解,則也是,其中

3 CRE可解性及新的精確解

根據CRE方法,方程(1)有如下形式的截斷展開式:

其中w=w(x,t),R(w)是Riccati方程

的解,l0,l1,l2是任意常數,且l20.將表達式(15)和方程(16)代入方程(1)中,令R(w)的各次冪前面的系數為零,可解出

同時,w滿足方程

其中

由此可知,方程(1)也是CRE可解的.因此,得到如下定理.

定理3.1(CRE可解性定理)如果w是方程(18)的一個解,則

也是方程(1)的解,其中R(w)是Riccati方程的解,且u0,u1,u2滿足(17)式.

注3.1當l0=1,l1=0,l2=-1時Riccati方程(16)有一個特解為

此時,稱該系統為CTE可解系統,截斷展開式(15)變為

根據文獻[3],方程(18)的解描述了方程(1)的孤立子和其它非線性激發的相互作用解,設其一般形式為

將(22)式代入方程(18),得到下面的橢圓方程:

其中

因此,方程(1)的解具有如下形式:

其中R(w)是Riccati方程的解,且有

接下來討論方程(1)的孤立波與橢圓周期波之間的兩種特殊形式的相互作用解.

例3.1取橢圓方程(23)的解W為如下特殊形式:

其中sn(k2x+h2t,m)為橢圓函數,Eπ為第三類不完全橢圓積分.取

此時Riccati方程的解為

將(26)式-(27)式代入(25)式中,可以得到方程(1)的相互作用解

其中

利用主項分析計算,能夠得到c,k2,h2需滿足如下關系式:

圖1為例3.1中方程(1)的相互作用解u的波形圖,圖2為t=0時例3.1中解u的平面周期波結構圖,參數選擇如下:

圖1 u的波形圖

圖2 t=0時u的平面波結構圖

顯示出孤立波在橢圓周期波作用下的傳播.

例3.2取橢圓方程(23)的解W為如下形式:

其中sn(m(k2x+h2t),n)為橢圓函數.取l0=l1=0,l2=1,此時Riccati方程的解為

將(30)式-(31)式代入(25)式中,可以得到方程(1)的相互作用解為

其中

通過計算,k2,h2需滿足如下關系式:

圖3為例3.2中方程(1)的相互作用解u的波形圖,圖4為t=0時例2中解u的平面波結構圖,參數選擇如下:{a=2,b=3,m=1,n=1,C2=3,h1=2,k1=1},顯示出鐘狀孤立波的傳播.

圖3 u的波形圖

圖4 t=0時u的平面波結構圖

4 結束語

由Painlev′e截斷展開法得到廣義KdV方程的留數對稱和B¨acklund變換定理,并通過引入合適的新變元將其局域化為Lie點對稱,在此基礎上,利用Lie的第一基本定理研究了延拓系統的有限變換.最后,用CRE方法獲得了該方程的新的相互作用解.為了更好地研究解的性質,通過選取適當的參數,利用Maple軟件給出了解的相應圖形,進而可以更好地分析其解的性質以及波峰波谷的形狀.