單軸各向異性材料的折射性質與全透射研究*

張曉燕，吳金隨

(1. 華北科技學院 理學院，北京 101601； 2. 華北科技學院 安全工程學院，北京 101601)

0 引 言

自然界中物質的宏觀性質由物質的介電常數ε和磁導率μ決定[1-2]。對普通的光學材料，ε和μ為正數，稱為右手材料[3]。1964年，物理學家Veselago提出電磁波在介電常數與磁導率同時為負的介質中傳播是不違反物理學定律的[4-5]，并且其具有負折射、旋光性、逆多普勒效應等傳統材料所不具備的奇異物理特性。2001年，Smith首次制備出微波段負介電常數和負磁導率材料，并在實驗中觀察到了負折射現象[6]，隨后各向異性的人工超材料也被加工出來[7]。由于各向異性材料的介電常數和磁導率在各方向上是不同的，所以能實現更多的電磁特性，具有更廣泛的應用，如光子晶體[8]、電磁隱身[9]、波導[10]、偏振轉換[11]等。

透射率是光學系統中非常重要的物理量，在傾斜全透射[12]、全反射[13]和超透鏡[14]等研究中都有對透射率的分析。本文主要計算了單色平面波在各向異性材料中的色散方程以及波矢量和坡印廷矢量的折射角，在此基礎上總結了波矢量和坡印廷矢量的折射性質，通過計算透射率與入射角的關系，得出了全透射條件，進而分析了不同各向異性材料存在透射率和實現全透射需要滿足的條件。

1 色散方程

對于各向異性材料，介電常數和磁導率需要用張量形式來表示，選擇合適的坐標系可以將張量ε、μ對角化，表示為：

(1)

其滿足的麥克斯韋方程為：

(2)

將式(1)代入式(2)得：

(3)

(4)

將(4)代入式(3)得：

(5)

(6)

圖1為各向異性材料的色散曲面。從圖1可看出，當εzμ⊥>0且ε⊥μ⊥>0時，色散曲面為橢球面；當εzμ⊥>0且ε⊥μ⊥<0時，色散曲面為單雙曲面；當εzμ⊥<0且ε⊥μ⊥>0時，色散曲面為雙雙曲面。TE波與之類似，只要將ε和μ互換即可。

圖1 各向異性材料的色散曲面Fig 1 Dispersion surface in anisotropic material

2 各向異性材料中的折射

仍以TM波為例，假設入射方為各向同性右手材料(相關參量下標為1)，透射方為各向異性材料(相關參量下標為2)，分界面為z=0平面。根據邊界條件要求，入射波和折射波在界面方向上的波矢量分量相等(設為k⊥)，根據式(6)的結論可以寫出入射方和透射方的色散方程為：

(7)

設入射角為θ1、折射角為θ2，則

(8)

將式(8)帶入式(7)可以得到折射角與入射角的關系為：

(9)

將式(7)帶回式(5)，可以得到：

(10)

(11)

由此可以寫出入射方各向同性介質的坡印廷矢量為：

(12)

為保證能量守恒，入射波和折射波的坡印廷矢量在與界面垂直方向上(即z方向)的分量應有相同的符號。對比S1z和S2z，若ε2⊥為正，則k2z和k1z同號，波矢量為正折射，即入射光線和折射光線分居法線兩側；若ε2⊥為負，則k2z和k1z異號，波矢量為負折射，即入射光線和折射光線在法線同側，這與通常材料的入射光線和折射光線始終在法線兩側的結論不同。

由式(11)和(12)可以得到入射方和折射方的坡印廷矢量與z軸的夾角β為：

(13)

對比可以看出，當波矢量為正折射(即ε2⊥為正，k2z和k1z同號)時，若ε2z為正，則β2和β1符號相同，坡印廷矢量為正折射；若ε2z為負，則β2和β1符號相反，坡印廷矢量為負折射。同理，當波矢量為負折射(即ε2⊥為負，k2z和k1z異號)時，若ε2z為正，則坡印廷矢量為正折射；若ε2z為負，則坡印廷矢量為負折射。這樣，ε2⊥的符號體現了波矢量的折射性質，ε2z的符號體現了坡印廷矢量的折射性質。

表1列出了3種各向異性材料在二維情形下(k⊥=kx)的色散曲線以及入射角為45°時波矢量和坡印廷矢量的折射情況，Kz方向表示垂直于界面的法線方向，Kx方向表示平行界面的方向。入射方參數取ε1=μ1=1，透射方參數及對應波矢量和坡印廷矢量的折射角(θ2，β2)列于表中，折射角的符號體現正負折射的性質。由表1可以看出，對橢球曲面材料，波矢量和坡印廷矢量折射性質相同，同時為正折射或負折射；對單雙曲面和雙雙曲面材料，波矢量和坡印廷矢量折射性質相反。

3 各向異性介質中的全透射

仍然以TM波為例進行分析，根據邊界條件[15]：

(14)

將式(10)帶入可以得到：

(15)

(16)

表1 各向異性材料色散曲線及波矢量和坡印廷矢量的折射(ε1=μ1=1，θ1=45°)

將式(8)和(9)帶入式(16)，可以得到用入射角表示的反射系數和透射系數：

(17)

這也是各向異性介質的菲涅耳定律。反射率和透射率表示為：

(18)

若達到全透射需要T=1，求解得到全透射下的入射角為：

(19)

(20)

對單雙曲面材料，由式(20)可以求得只要滿足μ⊥εz/μ1ε1<1就存在全透射角，對應圖2(b)中第四象限的陰影區域。在此區域中，當入射角小于θb時不存在折射波，即當入射角大于θb時有透射率，并且存在全透射角。此象限的非陰影區中，透射率為虛數，不會出現折射波。

圖2 各向異性材料色散曲面類型與電磁參數關系及透射率和全透角存在范圍Fig 2 The relationship between the type of dispersion surface and electromagnetic parameters, and the range of transmittance and total transmittance of anisotropic material

對處于第四象限的材料，式(17)始終為虛數，沒有傳播場，總會發生全反射，不存在透射率。

4 數值模擬

近年興起的對電磁波調控的方法主要為多重散射機制下的光子晶體和等效介質理論下的超構材料[16-17]，下面以由金屬-介質微結構實現的超構材料為例數值模擬出現全透射角的范圍。金屬-介質超構材料由一定厚度的金屬、介質薄膜堆疊而成，金屬、介質層的厚度都遠小于入射光波長[18]。根據有效介質理論，金屬介質多層膜可以從宏觀上用有效介電常數表征[19]：

(21)

圖3 金屬-介質超構材料對3種各向異性材料的實現及存在全透角范圍Fig 3 Realization for three kinds of anisotropic materials by metal-dielectric multilayer structure and existence of total transmittance angle range

圖4 3種各向異性材料的透射率和全透角隨頻率變化關系Fig 4 The relationship between transmissivity, total transmittance angle and frequency of three kinds of anisotropic materials

圖4描繪了在30°和80°入射情況下透射率與頻率的關系，為方便比對，依舊保留了全透角曲線。從圖4可以看到，I區域在任何入射角下都不存在透射率，Ⅲ和Ⅴ區域在任何入射角下都有透射率。II區域頻率范圍為550～584 MHz，計算得臨界角θb從68°降到12°，570 MHz對應臨界角為30°，80°入射時因為入射角始終大于臨界角，所以整個區間都存在透射率；而30°入射時，在550～570 MHz范圍內因入射角小于臨界角，不存在透射率，在570～584 MHz才出現透射率。IV區域屬于橢球面材料，需要入射角小于θb時才存在透射率，計算得到整個區間臨界角在17～70°之間，670 MHz對應臨界角為30°，所以80°入射下沒有透射率，而30°入射下在頻率大于670 MHz之后出現透射率。透射率出現的范圍與前面給出的結論是一致的。由此可知，當材料的厚度比變化時，各類型材料存在的頻率范圍會有變化，全透角的范圍也會相應變化，但并不違背各類型材料出現透射率和全透角的參數條件。

5 結 論