創設數學實驗問題 培養學生探究能力

200030 上海市第四中學 徐衛文

實驗是科學得以產生與發展的根本，而探究是當今社會科學發展與教育的有效方式

.

數學實驗教學是再現數學發現過程的有效途徑，數學中很多知識都有一定的規律和推廣潛力，這些知識在精心設計下大部分可以通過實驗探究的方式來學習獲得

.

在數學的學習過程中，無論是概念、定理、法則、公式的學習，還是技能的學習、問題的解決，都需要實驗

.

選擇數學實驗這種有效途徑進行數學探究教學，恰好可以為學生提供動手操作、自主探究的機會

.

數學實驗探究以數學實驗問題為載體，為研究與獲得某種數學理論、驗證某種數學猜想、解決某種數學問題，運用一定的物質手段，引導學生開展知識探究，通過觀察分析數學現象，調動知識儲備與生活經驗，發現與探索數學知識的發生過程，構建新的知識結構，引發學生積極的數學實驗探究行為

.

數學實驗探究問題是基于教學內容提出的，是教學內容的拓展和延伸

.

問題設計要以培養學生自主探究能力為出發點，幫助學生了解知識的內在聯系及基本規律，培養學生邏輯推理能力，提高學生分析問題和解決問題的能力，使學生形成良好的數學學習品質

.

例如，函數單調性、周期性及最值問題，函數間增長關系比較，求不同函數圖像的交點個數問題，不定方程的求解，解析幾何中的圖形變換及軌跡探求問題，立體幾何中的圖形變換及展開，概率統計中的隨機問題及回歸分析等內容，都可以從激發學生探究興趣、體驗數學知識形成過程、強化數學知識應用、提高學生辯證思維能力等角度進行設計

.

一、 創設數學實驗探究問題，激發學生的探究興趣

根據教材特點，找準知識的切入點，充分挖掘和精心設計能夠激發學生探究興趣的數學實驗探究問題，為學生創造自主探索、自主交流的機會，激發學生學習數學的興趣，拓寬學生思維，促進學生實踐能力和創新意識的發展，培養學生的探究能力

.

案例1：動圓與兩個定圓相切時，探求動圓圓心的軌跡問題

(一)實驗問題設計意圖

由于與兩定圓相切的動圓圓心軌跡涉及問題較為復雜，因此，創設實驗平臺，利用多媒體技術手段可以幫助學生透過現象把握問題的本質，讓學生真實感知軌跡的性質，并從觀察、猜想、驗證中感受數學研究的全過程，通過分情況進行探究，并得出結論

.

(二)實驗工具

幾何畫板(或TI圖形計算器等)

.

(三)實驗探究活動設計

動圓

P

與兩定圓

F

和

F

均相切，難點在于動圓的運動變化和兩定圓之間位置關系的相對變化，可分為四種情況進行實驗探究

.

1

.

動圓

P

與定圓

F

和

F

均內切

.

2

.

動圓

P

與定圓

F

和

F

均外切

.

3

.

動圓

P

與定圓

F

外切，與定圓

F

內切

.

4

.

動圓

P

與定圓

F

內切，與定圓

F

外切

.

上述四種情況還要根據定圓

F

和

F

的位置關系再細分兩到三種情況進行探究(如表1所示)

.

表1

學生探究1:動圓P與兩定圓F1和F2之間的位置關系(1)探究兩定圓之間的位置關系(不妨設定圓F1半徑為r1,定圓F2半徑為r2,且r1>r2).(2)探究動圓與兩定圓之間的位置關系.序號兩定圓F1和F2位置關系動圓P與兩定圓F1和F2的位置關系第一組兩定圓F1和F2內含與圓F1內切,與圓F2外切與定圓均內切第二組兩定圓F1和F2內切與圓F1內切,與圓F2外切與兩定圓均內切與兩定圓均外切第三組兩定圓F1和F2相交與兩定圓均外切與兩定圓均內切與圓F1內切,與圓F2外切與圓F1外切,與圓F2內切第四組兩定圓F1和F2外切與兩定圓均外切與兩定圓均內切與圓F1內切,與圓F2外切與圓F1外切,與圓F2內切第五組兩定圓F1和F2相離與兩定圓均外切與兩定圓均內切與圓F1內切,與圓F2外切與圓F1外切,與圓F2內切學生探究2:借助幾何畫板探究動圓圓心軌跡

本案例借助幾何畫板，通過改變兩圓的位置關系，學生探索動圓圓心的軌跡可能是橢圓、雙曲線、射線等

.

設計的目的在于突出學生的主體地位，培養學生動手操作、觀察、研究、思考的探究能力，有效拓展學生學習的空間以及解決問題的態度、深度、廣度和靈活度，激發學生的探究興趣

.

二、 創設數學實驗探究問題，體驗數學知識的形成過程

創設數學實驗探究問題，讓學生體驗一些數學概念、公式、定理、公理、結論以及知識的形成過程，引導學生由直觀現象歸納、探索數學知識，或通過數學實驗教學的可視化驗證數學結論，由此充分調動學生的主動性和創造性，激起學生的好奇心和求知欲

.

(續表)

學生探究3:動圓圓心P的軌跡以及軌跡方程探究(1)根據兩定圓位置關系,探究構建兩定圓方程.(2)根據動圓與兩定圓的位置關系,探究動圓圓心P的軌跡以及軌跡方程.兩定圓F1和F2位置關系動圓P與兩定圓F1和F2位置關系(設動圓半徑為R,定圓F1半徑為r1,定圓F2半徑為r2,且r1>r2)定圓位置關系定圓方程設計動圓與兩定圓位置關系數量關系推導探究動圓圓心P的軌跡以及方程兩定圓F1和F2內含圓F1:(x-3)2+y2=100圓F2:(x+3)2+y2=4與圓F1內切與圓F2外切|PF1|=10-R,|PF2|=R+2?|PF1|+|PF2|=12x236+y227=1與兩定圓均內切|PF1|=10-R,|PF2|=R-2?|PF1|+|PF2|=8x216+y27=1兩定圓F1和F2內切圓F1:(x-1)2+y2=9圓F2:(x+1)2+y2=1與圓F1內切與圓F2外切|PF1|=3-R,|PF2|=R+1?|PF1|+|PF2|=4x24+y23=1(x≠-2)與兩定圓均外切A(-2,0),|PA|=Ry=0(x<-2)與兩定圓均內切A(-2,0),|PA|=Ry=0(x>-2,x≠±1)兩定圓F1和F2相交圓F1:(x+4)2+y2=64圓F2:(x-4)2+y2=4與兩定圓均外切|PF1|=R+8,|PF2|=R+2?|PF1|-|PF2|=6x29-y27=1(x>334)與兩定圓均內切|PF1|=8-R,|PF2|=2-R?|PF1|-|PF2|=6x29-y27=1(3≤x<334)|PF1|=R-8,|PF2|=R-2?|PF2|-|PF1|=6x29-y27=1(x≤1)與圓F1內切與圓F2外切|PF1|=8-R,|PF2|=R+2?|PF2|+|PF1|=10x225+y29=1(-5≤x<334)與圓F1外切與圓F2內切|PF1|=8+R,|PF2|=2-R?|PF2|+|PF1|=10x225+y29=1(334<x≤5)兩定圓F1和F2外切圓F1:(x+2)2+y2=9圓F2:(x-2)2+y2=1與兩定圓均外切|PF1|=3+R,|PF2|=R+1?|PF1|-|PF2|=2x2-y23=1(x>1)與兩定圓均內切|PF1|=R-3,|PF2|=R-1?|PF2|-|PF1|=2x2-y23=1(x≤-1)與圓F1外切與圓F2內切|PF1|=R+3,|PF2|=R-1或1-R?|PF2|-|PF1|=4=|F1F2|或|PF2|+|PF1|=4=|F1F2|y=0(x>1且x≠2)與圓F1內切與圓F2外切|PF1|=R-3或3-R,|PF2|=R+1?|PF2|-|PF1|=4=|F1F2|或|PF2|+|PF1|=4=|F1F2|y=0(x<1且x≠-2)

(續表)

兩定圓F1和F2相離圓F1:(x-2)2+y2=4圓F2:(x+2)2+y2=1與兩定圓均外切|PF1|=2+R,|PF2|=1+R?|PF1|-|PF2|=1x214-y2154=1(x≤-12)與兩定圓均內切|PF1|=R-1,|PF1|=R-2?|PF2|-|PF1|=1x214-y2154=1(x≥12)與圓F1外切與圓F2內切|PF1|=R+2,|PF2|=R-1?|PF1|-|PF2|=3x294-y274=1(x≤-32)與圓F1內切與圓F2外切|PF1|=R-2,|PF2|=R+1?|PF2|-|PF1|=3x294-y274=1(x≥32)

案例2：棱錐體積的探究

(一)實驗設計意圖

使學生深刻理解三棱錐體積公式的推導過程，掌握三棱錐體積公式并能運用公式進行計算或論證，培養學生動手、動腦、發現問題、分析問題、解決問題的能力，同時滲透轉化、類比等數學思想方法

.

本實驗的設計以實物的方式使學生獲得感性認識，在感性上得到認可，再從數學的嚴密性和精確性角度證明該公式

.

(二)實驗方法

方案1：

利用模型操作(排液法或稱重法或割補法)完成體積測量

.

方案2：

利用課件進行模擬實驗

.

(三)實驗過程

方案1

(實物操作)：1

.

測一測、量一量利用等底等高的三棱柱、三棱錐以及細沙探究兩個容器的關系

.

運用實物模型演示三棱錐和三棱柱體積的裝沙實驗，在三棱錐體杯子里裝滿細沙，倒入三棱柱體的模具中，反復操作，發現恰好三次倒滿

.

2

.

切一切、割一割取一個三棱柱的幾何體(蘿卜塊)進行切割，用稱重法或排液法判斷切割后的三個三棱錐的體積關系

.

方案2

(利用課件進行模擬實驗)：借助幾何畫板演示，將三棱柱分割成三個三棱錐，利用動態作圖、動態測量等功能，可以將抽象性的空間結構關系直觀生動地顯示出來，在動態的過程中培養學生觀察、發現問題的能力，給學生提供探索的空間

.

(四)實驗證明思路

先將三棱錐補成一個三棱柱，再將這個三棱柱分割成三個三棱錐，接著證明三個三棱錐體積相等(證明略)

.

(如圖1—圖3所示)

圖3

高中數學中的許多公式和定理的發現都來源于實驗，在棱錐的體積實驗探究教學中，引導學生通過觀察、實驗探究、歸納猜想、理論證明這一完整的數學探究過程得到棱錐的體積公式

.

學生不僅能較容易地了解棱錐的體積公式，同時也加深對數學公式的理解，培養形成“實驗操作—直覺猜想—直觀驗證—推理論證”的科學探究方法

.

圖1圖2

三、創設數學實驗探究問題，強化數學知識的應用能力

創設數學實驗探究問題，將現實問題轉化為具體的數學問題，用數學知識與方法構建數學模型，解決現實問題，增強學生的應用意識，提高實踐能力

.

在實際情境中發現問題、提出問題；通過分析問題建立數學模型；借助信息手段分析數據、求解模型、得出結論，并嘗試基于現實背景驗證模型結果、改進模型、完善模型，提高學生運用數學解決實際問題的探究能力

.

案例3：水槽問題設計

現有寬為

a

的長方形板材，在單位時間水流速度一定的情況下，請將它設計成一開口水槽，使水槽的流量最大

.

(備注：在單位時間內水流速度一定的情況下，水流量的大小取決于水槽橫截面的面積，水槽形狀的選擇又與實際條件限制和使用者的喜好有關

.

如果不考慮實際條件限制和使用者喜好，則可以對形狀進行多種選擇

.

)學生設計的水槽橫截面圖形如圖4所示

.

圖4

學生問題探究過程中的分析如表2所示

.

表2

類別學生圖形設計建立模型,求最值三角形生1:(1)模型設計,將圖形設計成三角形.(2)根據圖形,設AB=x,BC=a-x,∠ABC=θ,所以橫截面面積為S=12·x(a-x)·sinθ.(3)求橫截面面積最值S=12·x(a-x)sinθ≤12x(a-x)=a28-12·(x-a22)2≤a28,當且僅當θ=π2且x=a2時,Smax=a28=0.125a2.四邊形生2:(1)設計意圖:將圖形設計成特殊的四邊形(矩形).(2)根據圖形,設AB=CD=x,BC=a-2x,所以橫截面面積為S=x(a-2x).(3)求橫截面面積最值S=x(a-2x),推得S=a28-2(x-a4)2≤a28,當x=a4時,Smax=a28=0.125a2.生3:(1)設計意圖:將圖形設計成特殊的四邊形(等腰梯形).(2)根據圖形,可得AB=BC=CD=a3,設∠ABE=θ,所以橫截面面積為S=12·(a3+a3+2·a3·sinθ)·a3cosθ=a29·(1+sinθ)·cosθ.(3)求橫截面面積最值S=12·(a3+a3+2·a3·sinθ)·a3cosθ=a9·(1+sinθ)·cosθ,求S最值問題,等價于求f(θ)=(1+sinθ)·cosθ最值問題,方法1:圖形直觀分析,借助幾何畫板對f(θ)=(1+sin(θ))·cos(θ)進行分析.

在建模過程中，學生培養了學習習慣、觀察視角、思考方法、思維方式、探索精神和創新能力，提高了數學應用能力

.

通過創設數學實驗探究問題，不斷加強數學應用意識的培養，學生體會數學與數學應用，促進全面發展

.

四、 創設數學實驗探究問題，提高學生的辯證思維能力

引導學生從復雜的現象中把握事物的本質及規律，探索事物間的聯系與差異，將已有事實變更推廣為更有深度的結論等，啟迪思維，提高學生的數學思維品質

.

從學生已有的數學知識經驗和慣性思維角度創設數學實驗探究問題，通過一定量的特殊情形的實驗觀察來總結和歸納，在此基礎上進行合情的推理、猜想、證明，發現和掌握數學概念、定理、結論等規律，克服抽象性結論和復雜推理證明中形成的認知障礙

.

案例4：互為反函數的圖像交點個數問題

探究指數函數

y

=

a

與對數函數

y

=log

x

(

a

>0且

a

≠1)圖像交點個數問題(以同一底數的指、對函數圖像為例)

.

(一)設計意圖

面對函數

y

=

a

與對數函數

y

=log

x

(

a

>0且

a

≠1)圖像交點個數問題，大多數學生的掌握不夠清楚，受思維定勢的影響，不少學生會隨手作出它們的簡圖

.

例如，當

a

>1時，如圖5-1，它們沒有交點；當0<

a

<1時，如圖5-2，它們有且僅有一個交點

.

其錯誤的根源在于忽視了底數

a

的變化對圖像以及交點個數的影響

.

(二)實驗工具

幾何畫板或TI圖形計算器等

.

(續表)

類別學生圖形設計建立模型,求最值函數y=f(θ)在一個周期θ∈[0,2π]的圖像如上圖所示,當θ=π6時,y=f(θ)取到最大值.方法2:從求導的角度進行數學分析(教師指導證明).y'=-sinθ+cos2θ=-2sin2θ-sinθ+1,令y'=0,得sinθ=12或sinθ=-1,即θ=π6(θ=3π2舍),Smax=3a212≈0.144a2.方法3:從不等式的角度進行證明(教師指導證明).y=(1+sinθ)cosθ=cosθ+12sin2θ=12(cosθ+cosθ+sin2θ)=32[cosθ+cosθ+cos(π2-2θ)3]≤32cos(θ+θ+π2-2θ3)=343,當且僅當θ=π2-2θ時等號成立,即θ=π6.也有學生設計AB=CD=a4,BC=a2或AB=CD=3a8,BC=a4等,方法類似,不再展開.五邊形生4:圖形設計比較特殊,將圖形分成四個全等的等腰三角形,由圖可得每個三角形的頂角α=π4,則底角θ=3π8,所以橫截面面積為S=4·12·a4·a8·tanθ=a216·tan3π8≈0.151a2.六邊形生5:設計意圖:圖形設計比較特殊,將圖形分成五個全等的等腰三角形,由圖可得每個三角形的頂角為θ=π5,則底角α=2π5,所以橫截面面積為S=5·12·a5·a10·tanθ=a220·tan2π5≈0.154a2.半圓生6:將圖形設計成半圓形,由圖可得橫截面面積為S=12·π·r2=12·π·(aπ)2=a22π≈0.159a2.探究得到的結論:設計的圖形越特殊,面積相對來說越容易求解;圖形的邊數越多,其對應的圖形面積越大,最終以半圓圍成的圖形橫截面面積最大.

(三)實驗探究問題設計

1

.

函數與的交點有幾個？

問題分析：

交點至少有2個，學生能直接求出的交點為2

.

借助實驗工具(幾何畫板或TI圖形計算器)進行觀察，舉例說明

a

取不同的值時，函數

y

=log

x

與

y

=

a

的圖像交點情況

.

問題分析

(直觀判斷)：借助幾何畫板可以直觀觀察和探討圖像的交點個數問題(如表3所示)

.

表3

a的取值借助于幾何畫板探究圖像交點交點個數a=0.033a=0.131a=0.51a=1.412a=1.620

3

.

在問題2探索的基礎上，當

a

取不同的值時，探究函數

y

=log

x

與

y

=

a

的圖像交點個數

.

問題分析

(數學驗證)：借助幾何畫板，對

y

=

a

與

y

=log

x

(

a

>0且

a

≠1)圖像的交點問題進行實驗探究，歸納交點的大致情況，對交點情況進行嚴謹的驗證和推理，驗證如下

.

(1)當

a

>1時若函數

y

=

a

與

y

=log

x

相交只有一個交點，由互為反函數關系可知它們的圖像關于

y

=

x

對稱，所以要使

y

=

a

與

y

=log

x

圖像有且只有一個公共點時，則

y

=

x

是兩個函數的共同的切線，設兩個函數相切時的切點坐標為

A

(

x

,

y

)，由于曲線

y

=

a

在

A

處的切線斜率為1，所以

a

=

x

，且函數

y

=

a

的導數為

y

′=(

a

)′=

a

ln

a

=1

.

推得故

x

=

e.

從上可知，當時，

y

=

a

與

y

=log

x

相切于

A

(

e

,

e

)，所以

a

>1時有以下三種情況

.

①如圖6，當時，

y

=

a

與

y

=log

x

圖像有一個交點

.

圖6

②如圖7，當時，

y

=

a

與

y

=log

x

圖像有兩個交點

.

圖7

③如圖8，當時，

y

=

a

與

y

=log

x

圖像沒有交點

.

圖8

(2)當0<

a

<1時同理可得曲線

y

=

a

在

A

處的切線斜率為-1，所以

a

=

x

，且函數

y

=

a

的導數為

y

′=(

a

)′=

a

ln

a

=-1

.

推得故

從上可知，當時，

y

=

a

與

y

=log

x

相切于所以0<

a

<1時，有以下兩種情況

.

①當時，

y

=

a

與

y

=log

x

圖像有三個交點

.

②當時，

y

=

a

與

y

=log

x

圖像有一個交點

.

如果不借助實驗工具，僅靠手工作圖難以作出

y

=

a

與

y

=log

x

交點，更難以判斷出交點的個數情況，由此會給邏輯推理、驗證結論帶來一定的困難

.

因此，借助數學實驗工具如幾何畫板等，引導學生在圖形的動態變化中觀察現象、讀取數據、探索圖像之間的關系，隨后進行邏輯推理和結論驗證，克服思維定勢、封閉的狀態，將知識融會貫通，從而使其發現和提出數學問題，分析和探討數學問題，培養學生的邏輯思維能力、問題解決能力、創新思維能力.創設數學實驗探究問題，通過假設、猜想、歸納、推理、佐證、拓展等一系列探究活動，學生體驗數學知識形成過程，學會思考、發現和探索，提高學生以數學的眼光觀察世界的意識，逐步培養學生認識事物、發現真理的方法，學生在獲得大量知識經驗的同時又掌握了數學基本技能和數學思想方法，培養了創新能力，提高了數學素養

.