一個(2+1)-維推廣KdV6方程的李對稱分析

蘇 丹

(1.湛江幼兒師范?？茖W校，廣東 湛江 524084；2.嶺南師范學院基礎教育學院，廣東 湛江 524037)

0 引言

作為KdV6方程的一種高維推廣，WAZWAZ[1]首次提出了如下形式的(2+1)-維推廣KdV6方程:

(1)

基于廣田雙線性方法給出了該方程的多孤立子解和多奇性解.GORDOA[2]對該方程進行了可積性測試，指出該方程不能通過潘勒韋檢驗.本文將嘗試利用基于無窮小變換的李對稱方法對方程(1)的求解問題進行研究.李對稱方法由挪威數學家SOPHUS LIE于1870年左右提出[3-4].該方法不需要特別的變換技巧，通過尋找保持方程形式不變的對稱群簡化原來的方程并獲得精確解，不僅適用于線性微分方程，也適用于非線性微分方程，是微分方程研究領域強有力的解析工具之一.

本文將利用李對稱方法研究方程(1)的對稱約化及精確解.

1 方程(1)的李對稱分析

考慮方程(1)的單參數李對稱群的無窮小變換：

(2)

其中，ε是單參數，其對應的李代數生成元是

X=ξ(x,y,t,u)?x+η(x,y,t,u)?y+τ(x,y,t,u)?t+ω(x,y,t,u)?u.

(3)

基于文獻[5-8]中的算法，將X的7次延拓作用到方程(1)后為0可以得到對稱性決定方程組，利用符號計算軟件求解決定方程組得到

(4)

其中，ci(i=1,…,6)是任意常數.

X1=?x,X2=?y,X3=?t,X4=?u,X5=y?u,X6=y2?u,X7=3x?x+7y?y+9t?t-3u?u.

(5)

表1中給出了這些生成元(5)的交換子.

表1 李代數的交換表

(6)

從交換表(表1)可以看出，只有兩個換位運算不為零，即

[X2,X5]=X4,[X2,X6]=2X5.

(7)

所以，

(8)

繼續運算，從交換表(表1)中可以看出換位運算均為零，所以有

(9)

(10)

(11)

通過伴隨作用可以盡可能地簡化系數ki.

經過分析，得到一維子代數最優系統生成元為

(12)

其中，k1,k2,k3,k4是任意常數，ε為±1或0.

表2 李代數的基元素的伴隨關系

2 方程(1)的李對稱約化

應用優化系統(12)尋找方程(1)的對稱約化.這里只以V2=X2+k1X1+εX3為例給出計算過程.限于篇幅，取k1=-1,ε=0，即考慮算子V=?y-?x對應的約化.此時，對應的典則坐標為

r=x+y,z=t,u=v(r,z).

(13)

將(13)代入方程(1)得到約化方程：

(14)

可以驗證方程(14)擁有的李代數生成元為

Y1=?r,Y2=?z,Y3=?v,Y4=r?r+3z?z+(v+z)?v.

(15)

類似上一節的方法可以得到該李代數的一維子代數最優系統為

U1=m1Y1+m2Y2+m3Y3,U2=Y4,

(16)

其中，m1,m2,m3是任意常數.

不妨取m1=1,m2=-m,m3=1，即考慮算子U=?r-m?z+?v對應的約化，對應的典則坐標為

s=mr+z,v=r+w(s).

(17)

將(17)代入方程(1)積分一次并取積分常數為0，得到

m5w(6)+(1+20m)m2w(4)+20m4w(1)w(4)+120m3(w(1))2w(2)+

12m(1+20m)w(1)w(2)+(121m+8)w(2)+40m4w(2)w(3)=c,

(18)

其中，w(i)(i=1,…,6)分別表示w(s)對變量s的各階導數.

可以驗證該方程(18)通過潘勒韋測試[9-10].

通過截斷潘勒韋展開式得到方程(18)如下形式的自貝克隆變換：

(19)

其中，W(s)也滿足方程(18).

如果取種子解W(s)=0，并假設：

f(s)=1+eas.

(20)

代入方程(18)可以得到

m5a4+(m2+20m3)a2+121m+8=0.

(21)

由此，得到原方程(1)的一個孤立子解：

(22)

其中，m,a是滿足(21)式的任意非零常數.這個解與文獻[1]中的已知結果都不同.

3 結語

本文應用李對稱方法研究了一個(2+1)-維推廣的KdV6方程.首先，找到了保持該方程形式不變的對稱無窮小生成元，并借助李代數生成元之間的伴隨表示將對應的一維子代數進行等價分類.其次，將原(2+1)-維方程約化為(1+1)維，并進一步討論了它的對稱約化.最終，將原方程轉化為一個常微分方程，從而通過求解該常微分方程得到原方程的精確解.限于篇幅，本文只選取特殊的對稱約化為例給出計算過程.由于過程的類似性，其余的約化過程可以直接給出結果，將在以后工作中進一步研究.