非飽和多孔介質有效導熱系數模型

鮑玲玲， 靳鵬飛， 王雪， 胡兆豐， 耿金

(河北工程大學能源與環境工程學院， 邯鄲 056038)

近年來，針對多孔介質的傳熱過程中外學者進行了一系列研究，多孔介質的熱傳導問題具有重要的工業應用價值，在地熱能利用、土壤傳熱、復合材料傳熱機理,礦井材料保溫性能等[1-4]具有重要的作用。導熱系數作為表征多孔介質重要的熱物性參數，對其準確測量在許多學科領域具有重要的作用。但自然界中多孔介質內部微觀結構非常復雜，如多孔介質、多孔材料及其他多孔介質，其孔隙大小參差、分布規律呈無序狀態、從而很難用常規方法對有效導熱系數進行預測。常用來預測多孔介質有效導熱系數的方法包括數值模型和解析解模型，但由于多孔介質內部結構的復雜性和不確定性，建立的預測模型公式中常包含經驗常數或含有多個變量。預測公式求解復雜不能客觀地對多孔介質傳熱特性進行描述。陳松林等[5]結合分形理論建立了多孔介質導電率模型，結果表明多孔介質電導率受其內部微觀結構影響。Gsj等[6]基于串并聯熱阻法建立了巖土導熱系數模型，結果表明巖土介質導熱系數與其組分，含水量等因素有關。王志國等[7]利用“三箱”模型對多孔介質傳熱過程進行分析，建立了多孔介質導熱系數計算公式，但公式適用于兩相狀態下。Wang等[8]利用分形理論建立了三相共存導熱系數計算模型，但特征長度隨樣本區域發生變化時孔隙率并不會發生改變。Chen等[9]建立了土壤有效導熱系數計算模型，但模型中并沒有對氣、液導熱系數進行單獨處理，Li等[10]基于Sierpinski地毯分形，構建了多孔介質有效導熱系數的三相分形結構，推導出有效導熱系數模型，但沒有考慮孔隙直徑和孔隙分布對有效導熱系數的影響。Ma等[11]根據自相似性建立了多孔介質有效導熱系數模型，但自然界中許多物體并不是完全自相似的。王志國等[12]基于表征單元體(representative elementary volume，REV)尺度建立了多孔介質導熱分析模型，但模型不能應用于非飽和狀態下。以往研究建立的導熱系數模型大多數包含經驗常數或模型中未考慮一定尺度范圍下相同的孔隙率會對應多個特征長度，導致在一定尺度范圍出現誤差，因此建立一種更接近于實際導熱系數模型非常有意義。

分形理論對研究多孔介質微觀物理特性具有重要的作用[13-15]，多孔介質導熱率與微觀結構聯系密切，分形理論可以有效地表達其微觀結構。現基于分形理論在電導率模型框架下將液相飽和度引入，建立一種新的非飽和多孔介質有效導熱系數模型，并利用已公開實驗數據對模型進行了驗證與分析，討論孔隙率、彎曲度分形維數、飽和度等對多孔介質有效導熱系數的影響。可為實際工程中預測土壤、保溫材料等非飽和多孔介質有效導熱系數提供理論指導。

1 導熱系數模型構建

圖1所示為多孔介質，其內部為固相基質，外部為孔隙。熱量沿著導熱率較大的路徑傳遞[16]。

圖1 多孔介質單元傳熱模型Fig.1 Heat transfer model of porous material unit

對于圖1所示的傳熱模型，設單元多孔介質固相基質邊長為l，由孔隙率的定義可知，多孔介質固相基質邊長與孔隙率關系為

(1)

式(1)中：l為多孔介質固相基質特征邊長；X為多孔介質邊長；φ為多孔介質孔隙率。

通過熱電類比法將三相導熱過程視為一組串并聯導熱過程，多孔介質的導熱主要為并聯導熱，中間部分為孔隙相與固相基質骨架串聯導熱。根據傅里葉定律熱阻可表達為

(2)

式(2)中：d為多孔介質厚度；S傳熱面積；R為熱阻；k為導熱系數。

(3)

式(3)中：kf，g為孔隙相導熱系數；ks為固相基質導熱系數。即kr，a為

(4)

多孔介質縱向并聯熱導率為縱向孔隙相-孔隙固相串聯-孔隙相并聯組成，kr，b為縱向并聯后的導熱率，公式為

(5)

kr為縱向全部并聯后多孔介質的總導熱率，公式為

(6)

當多孔介質為單位立方體時，固相基質邊長l與單位固相基質單位邊長L相等，結合式(6)在計算多孔介質有效導熱系數時可將其視為單位結構。

多孔介質內部大多無序并且在分布上呈現出不規則情況，此時多孔介質分布遵循分形幾何的無標度規律，利用分形理論可以更好地描述多孔介質內部結構，具體表達式[17]為

(7)

式(7)中:N為孔隙數目；λmax為多孔介質顆粒最大直徑；λmin為顆粒最小直徑；λmin/λmax需滿足λmin/λmax≤10-2。

對式(7)在(λ，λ+dλ)上進行微分，可得到多孔介質顆粒分布和多孔介質顆粒入直徑之間的關系為

(8)

對于具有自相似性的天然多孔介質分形維數Dfs與孔隙度關系[18]可表示為

(9)

則多孔介質的分形維數Dfs可以表示為

(10)

式中：DE為空間維度，即在二維空間中為2，在三維空間中為3,2

基于式(6)，對于多孔介質微觀結構而言，有效導熱系數與其孔隙率等微觀特征聯關系密切，基于模型準確性，多孔介質由干燥至飽和狀態時，針對孔隙相毛細管的氣，液相分布情況有如下假設[19]：氣相在毛細管中以較小孔徑的毛細管存在，液相則呈環流狀分布在氣相與固相基質之間，在流線范圍內環狀流尺寸保持不變。如圖2所示。

圖2 非飽和多孔介質微觀示意圖Fig.2 Microscopic schematic diagram of unsaturated porous media

多孔介質內部孔隙常常存在氣液兩種狀態，利用電導率與導熱率在傳遞過程相似的性質，可以將飽和度引入有效導熱率模型[20-21]。所以利用基于分形理論的導電率模型[22]，將液相飽和度與導熱率結合，電導率公式為

(11)

式(11)中：σ0為多孔介質總電導率；σw為液相電導率；τ為了通道彎曲度；Dfh為孔隙相分形維數。

如圖2所示孔隙在實際多孔介質中以彎曲形式存在，DT為描述多孔介質流線彎曲度的分形維數，DT范圍為(1,2)。當DT=1時，流線為直線即充滿氣、液相的孔隙通道為直線，DT越大，通道彎曲度越大。DT可用公式近似[23]表示為

DT=(DE-Dfl+1)+(DE-Dfl)×

(12)

(13)

通過式(12)DT表達式，可以得到多孔介質氣液混合相導熱率[24]為

(14)

式(14)中：Dfl為液相分形維數。

令

(15)

結合式(11)～式(15)得到非飽和多孔介質kr為

(16)

可以看出對于液相非飽和多孔介質而言，其導熱系數與孔隙率、固相基質單位長度，彎曲度分形維數、液相飽和度等存在關聯。

2 模型驗證

為了確定此數學模型的精確性，當多孔介質處于非飽和狀態時用本模型預測數據與實驗所得多組數據進行對比[25-26]，如圖3所示。

圖3 非飽和多孔介質預測數據與實測數據對比Fig.3 Comparison of predicted data and measured data in unsaturated porous media

當φ=0.39，固相基質導熱率ks=0.8 W/(m·K)，液相導熱率kf=0.61 W/(m·K)，氣相導熱率kg=0.02 W/(m·K)時，預測數據與實驗數據平均偏差為8.26%。當φ=0.42，固相基質導熱率ks=3.35 W/(m·K)。液相導熱率kf=2.2 W/(m·K)，氣相導熱率kg=0.02 W/(m·K)時，預測數據與實驗數據平均偏差為11.25%。當φ=0.52，固相基質導熱率ks=2.85 W/(m·K)，液相導熱率kf=2.2 W/(m·K)，氣相導熱率kg=0.02 W/(m·K)時，預測數據與實驗數據平均偏差為10.9%。

由上述實測數據驗證得到該模型預測結果與實際所得數據吻合度較好，因此在非飽和狀態下該數學模型能有效地對多孔介質導熱系數進行預測，并且預測值與實際值有較好的一致性。

3 多孔介質導熱系數影響因素分析

3.1 固相基質長度對有效導熱系數的影響

固相基質單位邊長L會對熱導率變化產生影響。圖4所示為無量綱導熱系數kr/kf在ks/kf=10、50、100時的變化，此時kf代表孔隙相導熱系數。從圖4可知，隨著固相基質等效長度L增大，無量綱有效導熱系數呈增大趨勢，但在L<0.8的范圍內無量綱有效導熱系數沒有隨ks/kf增大而出現較大變化。即當孔隙率大于78.4%時，由于固相基質占比較小，此時對多孔介質有效導熱系數影響較大的主要為導熱系數較小的孔隙相。

圖4 固相基質長度L對導熱系數的影響Fig.4 The effect of solid matrix length L on thermal conductivity

3.2 孔隙率φ與飽和度Sw對有效導熱系數的影響

圖5所示為不同孔隙率下非飽和多孔介質飽和度與無量綱導熱率kr/kg的變化規律。從圖5可以看出當孔隙率增加時非飽和多孔介質有效導熱系數反而降低，以圖5(a)為例，可以看出當飽和度為0.6，孔隙率由20%增長至60%時，無量綱有效導熱系數約降低了57%，即當孔隙率逐漸增大時，多孔介質中固、液相占比逐漸降低，而導熱系數比較小的氣相占比會逐漸增大，非飽和多孔介質有效導熱系數降低。

當孔隙率不變時，由圖5(a)，可以看出孔隙率為20%時，隨著飽和度增加，無量綱有效導熱系數從10增加到84，多孔介質有效導熱系數增大，即當飽和度變大時，多孔介質中導熱率較高的液相占比會變大，而氣相則相對減少，從而有效導系數越來越大。

對比圖5(a)～圖5(c)可以發現當孔隙率、液氣比不變時，固氣比越大非飽和多孔介質導熱系數越大，兩者呈正相關。當固氣比ks/kg由110增長為130時，不同孔隙率無量綱有效導熱系數增為4%～30%。當固氣比ks/kg由130增長為180時，不同孔隙率無量綱有效導熱系數增幅為11%～27%，即當孔隙體積一定時，導熱系數較高的固相基質占比越大，非飽和多孔介導熱系數越大。

對比圖5(c)、圖5(d)可發現，孔隙率、固氣比一定時，液氣比增大，非飽和多孔介質導熱系數增大，當液氣比kf/kg由30增長到40時，不同孔隙率無量綱有效導熱系數增幅為1%～20%。即相比于氣相而言，液相的導熱系數較高，液相占比越大非飽和多孔介質有效導熱系數越大。

結合圖5(a)～圖5(d)對于非飽和多孔介質，隨著飽和度增加導熱系數增幅先快速上升，當飽和度到達一定數值后導熱系數增幅趨于平緩。這是由于隨著飽和度增加，孔隙相中液態逐漸取代氣態，并且在多孔介質中出現液橋現象[27]，增加了多孔介質導熱能力，但飽和度進一步增加多孔介質的孔隙相逐漸被液態水充滿，導熱系數增幅也趨于平緩。

3.3 彎曲度分形維數DT對有效導熱系數的影響

彎曲度分形維數DT反映了多孔介質孔隙微觀結構彎曲程度，圖6所示為孔隙率為42%、39%，飽和度為40%時不同固氣比、固液比下彎曲度分形維數DT對多孔介質無量綱導熱系數的影響，可以看出非飽和多孔介質無量綱有效導熱系數kr/kg隨著彎曲度分形維數的增加逐漸降低，從圖6中可以看出，彎曲度分形維數越大，導熱系數降低程度越大。即當彎曲度分形維數增大，固液氣串并聯比例發生改變，多孔介質內部孔隙彎曲程度越大，進而導致非飽和多孔介質內部熱阻增大，導熱系數降低。

圖5 孔隙率φ與飽和度Sw對導熱系數的影響Fig.5 The influence of porosity φ and saturation Sw on thermal conductivity

圖6 彎曲度分形維數DT對無量綱有效導熱系數的影響Fig.6 The influence of tortuosity fractal dimension DT on the dimensionless effective thermal conductivity

4 結論

(1)導熱系數較高的固液相為多孔介質有效導熱率的主要貢獻項，固液相占比越大的多孔介質有效導熱系數越高。

(2)非飽和多孔介質有效導熱率與彎曲度分形維數DT成反比，彎曲度分形維數DT越大，多孔介質內毛細管束彎曲程度越大，進而增加了傳熱熱阻，導致有效導熱率降低。

(3)在孔隙體積一定時，飽和度與多孔介質有效導熱系數成正比。由于液橋現象，有效導熱系數隨飽和度增大時增幅先快后趨于平緩。

(4)孔隙率增大時多孔介質有效導熱系數變小。當孔隙率大于78.4%時，導熱率較高的固相基質占比較小，此時對多孔介質有效導熱系數影響較大的主要為導熱系數較小的孔隙相。