一種優(yōu)化感應(yīng)電機(jī)無權(quán)重系數(shù)無差拍模型預(yù)測控制*

李耀華, 陳桂鑫, 王孝宇, 劉子焜, 劉東梅, 任 超

(長安大學(xué) 汽車學(xué)院，西安 710064)

0 引 言

有限控制集模型預(yù)測控制(FCS-MPC)通過遍歷逆變器所有開關(guān)狀態(tài)，以成本函數(shù)為評價(jià)指標(biāo)，輸出令成本函數(shù)最小的開關(guān)狀態(tài)，近年來在感應(yīng)電機(jī)領(lǐng)域受到關(guān)注[1-5]。由于傳統(tǒng)模型預(yù)測控制(MPC)電壓矢量作用時間固定,轉(zhuǎn)矩和磁鏈脈動較大，電流諧波含量較高。為了改善系統(tǒng)控制性能，文獻(xiàn)[6-7]分別采用空間矢量調(diào)制技術(shù)和三電平逆變器生成更多的備選電壓矢量，但增加了系統(tǒng)軟硬件成本，同時更多的備選電壓矢量也帶來更大的計(jì)算負(fù)擔(dān)。文獻(xiàn)[8]采用模糊控制優(yōu)化備選電壓矢量，但需使用較為復(fù)雜的模糊控制方法。無差拍(DB)控制可通過預(yù)測模型精確計(jì)算得出使控制變量達(dá)到參考值所需的作用時間，實(shí)現(xiàn)電壓矢量作用時間的最優(yōu)化，近年來成為研究的熱點(diǎn)[9-11]。磁鏈和轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍控制需要求解二次方程，計(jì)算較為復(fù)雜。由于電機(jī)控制中轉(zhuǎn)矩控制優(yōu)先，可對轉(zhuǎn)矩進(jìn)行無差拍控制，計(jì)算得到電壓矢量優(yōu)化作用時間，再對優(yōu)化的電壓矢量采用MPC進(jìn)行二次尋優(yōu)[12]。傳統(tǒng)轉(zhuǎn)矩DB控制需要遍歷全部電壓矢量，計(jì)算量較大，同時MPC的成本函數(shù)含磁鏈和轉(zhuǎn)矩兩個不同量綱的控制變量，帶來權(quán)重系數(shù)的設(shè)計(jì)和整定問題[13-14]。

本文基于傳統(tǒng)轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍模型預(yù)測控制(DB-MPC)，從精簡電壓矢量個數(shù)和無權(quán)重系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，利用備選電壓矢量在αβ平面對稱分布的特點(diǎn)，將遍歷代入轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍的非零電壓矢量減少一半，同時省去零電壓矢量，并設(shè)計(jì)不含轉(zhuǎn)矩的成本函數(shù)，消除權(quán)重系數(shù)。通過仿真和單片機(jī)試驗(yàn)，對感應(yīng)電機(jī)傳統(tǒng)MPC、傳統(tǒng)DB-MPC和提出的優(yōu)化控制策略進(jìn)行對比，證明優(yōu)化策略在保持控制性能基本相當(dāng)?shù)那疤嵯?，可減少計(jì)算耗時，同時消除權(quán)重系數(shù)。

1 感應(yīng)電機(jī)模型預(yù)測控制

靜止兩相αβ坐標(biāo)系下，以定子磁鏈ψs和定子電流is為狀態(tài)變量，定子電壓us為輸入變量，三相感應(yīng)電機(jī)數(shù)學(xué)模型為

(1)

感應(yīng)電機(jī)定子磁鏈、轉(zhuǎn)子磁鏈和電磁轉(zhuǎn)矩為

(2)

(3)

(4)

感應(yīng)電機(jī)下一時刻的定子磁鏈、定子電流和轉(zhuǎn)矩預(yù)測模型為

ψs(k+1)=ψs(k)+Ts[us(k)-Rsis(k)]

(5)

(6)

(7)

兩電平三相逆變器可產(chǎn)生7個基本電壓矢量:

us∈{u0,u1,u2,u3,u4,u5,u6}

(8)

其中零電壓矢量可由兩個開關(guān)狀態(tài)生成，具體選擇以開關(guān)次數(shù)最小為原則[15]。

感應(yīng)電機(jī)模型預(yù)測轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)將逆變器電壓矢量遍歷代入至定子磁鏈、定子電流和轉(zhuǎn)矩預(yù)測模型，可得到下一時刻的定子磁鏈和轉(zhuǎn)矩。定義表征磁鏈和轉(zhuǎn)矩控制性能的成本函數(shù):

(9)

將預(yù)測磁鏈和轉(zhuǎn)矩代入至成本函數(shù)，并選擇令成本函數(shù)最小的電壓矢量作為輸出，則實(shí)現(xiàn)MPC。

由于MPC使用7個電壓矢量，本文將其簡稱為7-MPC。感應(yīng)電機(jī)7-MPC系統(tǒng)和程序流程圖分別如圖1和圖2所示。

圖1 感應(yīng)電機(jī)7-MPC系統(tǒng)

圖2 7-MPC程序流程圖

為了提升控制性能，可采用空間矢量調(diào)制技術(shù)對電壓矢量進(jìn)行擴(kuò)充。本文將電壓矢量擴(kuò)充至13個，如圖3所示[16]。為便于描述，本文將基于圖3所示的13個電壓矢量的感應(yīng)電機(jī)MPC簡稱為13-MPC。

圖3 擴(kuò)充的13個電壓矢量

基于MATLAB/Simulink建立三相感應(yīng)電機(jī)7-MPC和13-MPC仿真模型。仿真模型為離散模型，采樣周期4×10-5s。參考轉(zhuǎn)速初始為2 772 r/min，4 s時階躍至-2 772 r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩初始為2.5 N·m，2 s時階躍至-2.5 N·m，6 s時階躍至2.5 N·m，實(shí)現(xiàn)電機(jī)四象限運(yùn)行，仿真總時長8 s。為了防止電機(jī)起動電流過大，設(shè)置定子磁鏈幅值小于0.65 Wb時，電流大于6.5 A，輸出零電壓矢量，否則輸出電壓矢量u1，以實(shí)現(xiàn)電機(jī)軟起動。通過試驗(yàn)搜索法確定模型預(yù)測轉(zhuǎn)矩控制成本函數(shù)的權(quán)重系數(shù)λ取值為17.5[17-18]。仿真電機(jī)系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 仿真用電機(jī)及控制系統(tǒng)參數(shù)

三相感應(yīng)電機(jī)7-MPC和13-MPC仿真波形分別如圖4和圖5所示。

圖4 7-MPC仿真波形

圖5 13-MPC仿真波形

定義轉(zhuǎn)矩脈動均方根誤差(RMSE)和磁鏈脈動RMSE分別為

(10)

(11)

式中:m為采樣個數(shù)。

在7-MPC和13-MPC控制下，三相感應(yīng)電機(jī)定子a相電流諧波含量(總諧波畸變，THD)及0.08～8 s(不含電機(jī)軟起動)轉(zhuǎn)矩脈動RMSE和磁鏈脈動RMSE如表2所示。

表2 7-MPC和13-MPC控制性能對比

2 轉(zhuǎn)矩DB-MPC

上文研究表明，傳統(tǒng)感應(yīng)電機(jī)MPC并未對電壓矢量占空比進(jìn)行調(diào)制，輸出電壓矢量作用時間固定為系統(tǒng)離散采樣周期。電壓矢量作用時間固定時，以增加備選電壓矢量為代價(jià)來優(yōu)化控制性能的方法優(yōu)化效果有限。因此，為了進(jìn)一步減小轉(zhuǎn)矩脈動，下文采用轉(zhuǎn)矩DB-MPC方法來計(jì)算電壓矢量的理想作用時間。

對式(4)所示的轉(zhuǎn)矩方程對時間求導(dǎo)可得：

(12)

將式(5)和式(6)所示的定子電流和定子磁鏈狀態(tài)變量代入至式(12) 替換等號右側(cè)的微分項(xiàng)，并采用一階歐拉向前公式，對等號左側(cè)轉(zhuǎn)矩導(dǎo)數(shù)離散化，可得：

(13)

其中:

由于au含電壓變量，將其作用時間設(shè)為tu。對于每個采樣時刻，a0為常數(shù)項(xiàng)，作用時間設(shè)置為Ts，則可得：

Te(k+1)-Te(k)=tuau+Tsa0

(14)

根據(jù)轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍原理，可得：

(15)

因此，電壓矢量理想作用時間tu為

(16)

這里需要指出，如果tu<0，說明該電壓矢量對轉(zhuǎn)矩的增減效果與實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩DB控制效果相反，無法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍控制，則不將其代入至下一步MPC的磁鏈和轉(zhuǎn)矩計(jì)算，直接令其對應(yīng)的成本函數(shù)為極大值，予以舍棄。當(dāng)參考轉(zhuǎn)矩與實(shí)際轉(zhuǎn)矩相差較大時，計(jì)算得到tu>Ts，說明該電壓矢量無法在一個采樣周期內(nèi)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍控制，則令tu=Ts。因此，經(jīng)過轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍控制環(huán)節(jié)后，電壓矢量修正為

(17)

由式(17)可知，轉(zhuǎn)矩DB控制定量優(yōu)化每個電壓矢量的作用時間，但并未對磁鏈控制進(jìn)行優(yōu)化約束。同時，由于存在tu>Ts的情形，并不是所有修正的電壓矢量都能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍控制。因此，需要將修正的電壓矢量代入至轉(zhuǎn)矩和磁鏈預(yù)測模型，計(jì)算下一時刻的轉(zhuǎn)矩和磁鏈，并通過式(9)所示的成本函數(shù)從中選擇出最優(yōu)電壓矢量。這里需要指出，此時轉(zhuǎn)矩預(yù)測模型為

Te(k+1)=Te(k)+tuau+Tsa0

(18)

為便于描述，本文將基于7個電壓矢量的DB-MPC簡稱為7-DB-MPC，將基于13個電壓矢量的DB-MPC簡稱為13-DB-MPC。感應(yīng)電機(jī)7-DB-MPC系統(tǒng)和程序流程圖分別如圖6和圖7所示。

圖6 感應(yīng)電機(jī)7-DB-MPC系統(tǒng)

圖7 7-DB-MPC程序流程圖

相同仿真條件下，三相感應(yīng)電機(jī)7-DB-MPC和13-DB-MPC仿真波形分別如圖8和圖9所示。

圖8 7-DB-MPC仿真波形

圖9 13-DB-MPC仿真波形

在7-DB-MPC和13-DB-MPC控制下，三相感應(yīng)電機(jī)定子a相電流THD及0.08～8 s的轉(zhuǎn)矩脈動RMSE和磁鏈脈動RMSE如表3所示。

表3 7-DB-MPC和13-DB-MPC控制性能對比

仿真結(jié)果表明,與MPC相比，DB-MPC大幅降低定子電流諧波含量、轉(zhuǎn)矩脈動和磁鏈脈動。與7-MPC相比，7-DB-MPC減小定子電流THD 55.02%，減小轉(zhuǎn)矩脈動均方根誤差75.89%，減小磁鏈脈動均方根誤差44.78%。與13-MPC相比，13-DB-MPC減小定子電流THD 80.23%，減小轉(zhuǎn)矩脈動均方根誤差66.29%，減小磁鏈脈動均方根誤差80.00%。與7-DB-MPC相比，13-DB-MPC有效減小磁鏈脈動，但對轉(zhuǎn)矩脈動改善較小。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，0.08～8 s內(nèi)，7-DB-MPC控制選擇的最優(yōu)電壓矢量占空比99.854%,小于1。這表明7-DB-MPC控制下，99.854%選擇的最優(yōu)電壓矢量可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍控制，轉(zhuǎn)矩脈動優(yōu)化空間極其有限。雖然13-DB-MPC通過增加電壓矢量，可實(shí)現(xiàn)99.998%選擇的最優(yōu)電壓矢量實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍控制，但對優(yōu)化轉(zhuǎn)矩脈動意義較小，對減小磁鏈脈動和電流THD有較大的價(jià)值。

3 DB-MPC優(yōu)化

3.1 精簡備選電壓矢量

由上文可知，DB-MPC需每次遍歷全部備選電壓矢量計(jì)算其理想作用時間。由式(16)可知，在每個采樣時刻，其分子為固定值，理想作用時間的大小和正負(fù)決定于分母au。分母au的定義如下：

(19)

由式(19)可知，如果兩個電壓矢量在αβ平面上呈對稱分布，則兩者在αβ軸的分量uα和uβ正好相反，計(jì)算得到的au與tu也互為相反數(shù)。以電壓矢量V30°和V210°為例，假設(shè)計(jì)算得到V30°理想作用時間為tu，則V210°作用時間為-tu。由于7-MPC和13-MPC的非零電壓矢量均為對稱分布，則無需將全部6個或12個非零電壓矢量代入計(jì)算tu，只需遍歷連續(xù)3個或6個非零電壓矢量。對于7-DB-MPC，可只需遍歷u1、u2和u33個非零電壓矢量計(jì)算其理想作用時間tu。如果tu大于0，則保留；如果tu小于0，則選擇對稱的電壓矢量，并令其作用時間為-tu。同理，對于13-DB-MPC只需遍歷V0°、V30°、V60°、V90°、V120°和V150°6個非零電壓矢量即可，從而減小計(jì)算電壓矢量理想作用時間的工作量。

對于零電壓矢量，由于其在αβ軸的分量為0，則由式(16)和式(19)可知，零電壓矢量理想作用時間為無窮大，DB控制令其作用時間為采樣周期Ts。與非零電壓矢量相比，其對轉(zhuǎn)矩的無差拍控制效果較差。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在現(xiàn)有權(quán)重系數(shù)設(shè)置下，7-DB-MPC和13-DB-MPC均沒有選擇零電壓矢量。因此，與優(yōu)化作用時間后的非零電壓矢量相比，零電壓矢量選擇率極低，可以不作為備選電壓矢量。綜上，可將備選電壓矢量分別減少至3個和6個。為便于描述，下文分別簡稱為3-DB-MPC和6-DB-MPC。

3.2 無權(quán)重系數(shù)成本函數(shù)

在7-DB-MPC和13-DB-MPC控制下，99%以上的最優(yōu)電壓矢量占空比小于1，可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍，即成本函數(shù)中磁鏈控制項(xiàng)為0。僅有極少數(shù)非零電壓矢量占空比被調(diào)整為1，但其對轉(zhuǎn)矩的增減控制效果與無差拍控制是一致的，可實(shí)現(xiàn)定性控制。因此，成本函數(shù)中去掉轉(zhuǎn)矩控制項(xiàng)，不會引起轉(zhuǎn)矩失控。由此提出無權(quán)重系數(shù)的成本函數(shù):

(20)

由于成本函數(shù)不含權(quán)重系數(shù)，省卻了權(quán)重系數(shù)的設(shè)計(jì)和整定，同時無需轉(zhuǎn)矩計(jì)算，實(shí)時性得到優(yōu)化。

這里需要指出，無權(quán)重系數(shù)的成本函數(shù)需要與不含零電壓矢量的備選電壓矢量集合配合使用。否則，由于成本函數(shù)不考慮轉(zhuǎn)矩控制，僅考慮磁鏈控制，零電壓矢量選擇率極高。而此時零電壓矢量的轉(zhuǎn)矩控制效果不一定與無差拍控制一致，且對轉(zhuǎn)矩控制效果較差，影響系統(tǒng)控制性能。

無權(quán)重系數(shù)3-DB-MPC流程圖如圖10所示。

圖10 無權(quán)重系數(shù)3-DB-MPC程序流程圖

由圖10可知，無權(quán)重系數(shù)3-DB-MPC程序控制流程如下：

(1) 轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍控制計(jì)算理想占空比。遍歷3個非零電壓矢量u1～u3，根據(jù)轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍計(jì)算得到各個電壓矢量對應(yīng)的理想占空比。

(2) 電壓矢量修正。如果占空比大于1，則令占空比為自身與絕對值之商。將占空比與電壓矢量相乘，得到3個修正的電壓矢量。

(3) MPC。將修正的電壓矢量代入至定子磁鏈預(yù)測模型計(jì)算得到下一時刻的磁鏈，并基于式(20)所示的成本函數(shù)求令成本函數(shù)最小的電壓矢量，將電壓矢量和其占空比輸出給逆變器。如果占空比小于0，則令代入電壓矢量為其對稱電壓矢量，并令占空比為正。

相同仿真條件下，三相感應(yīng)電機(jī)無權(quán)重系數(shù)3-DB-MPC和6-DB-MPC仿真波形分別如圖11和圖12所示。

圖11 無權(quán)重系數(shù)3-DB-MPC仿真波形

圖12 無權(quán)重系數(shù)6-DB-MPC仿真波形

無權(quán)重系數(shù)3-DB-MPC和6-DB-MPC控制下，三相感應(yīng)電機(jī)定子a相電流THD及0.08～8 s的轉(zhuǎn)矩脈動RMSE和磁鏈脈動RMSE如表4所示。

表4 無權(quán)重系數(shù)3-DB-MPC和6-DB-MPC控制性能對比

仿真結(jié)果表明：與上文傳統(tǒng)DB-MPC相比，提出的優(yōu)化算法的控制性能基本相當(dāng)，但將備選電壓矢量減少一半以上且無需轉(zhuǎn)矩預(yù)測，從而減小了計(jì)算負(fù)擔(dān)，同時無需權(quán)重系數(shù)設(shè)計(jì)與整定，簡化了控制算法。

與上文類似，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，0.08～8 s內(nèi)，無權(quán)重系數(shù)3-DB-MPC控制選擇的最優(yōu)電壓矢量占空比99.752%小于1，說明通過增加電壓矢量來優(yōu)化轉(zhuǎn)矩脈動空間有限。無權(quán)重系數(shù)6-DB-MPC控制選擇的最優(yōu)電壓矢量占空比99.998%小于1，輕微減小轉(zhuǎn)矩脈動，但有效減小磁鏈脈動和電流THD。

4 實(shí)時性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證不同控制策略的實(shí)時性，基于 STM32F103單片機(jī)平臺對7-MPC、13-MPC、7-DB-MPC、13-DB-MPC、無權(quán)重系數(shù)3-DB-MPC和無權(quán)重系數(shù)6-DB-MPC 6種控制策略進(jìn)行單步實(shí)時性驗(yàn)證，其中測試用例參數(shù)如表5所示。

表5 測試用例參數(shù)

在表5所示的實(shí)時性測試輸入?yún)?shù)下，對以上6種控制策略進(jìn)行單步運(yùn)算循環(huán)10次。不同算法執(zhí)行時間如表6所示，其中t1為轉(zhuǎn)矩DB控制計(jì)算理想占空比耗時，t2為電壓矢量修正耗時，t3為MPC計(jì)算耗時，t為算法總耗時，t=t1+t2+t3。

表6 算法計(jì)算耗時 ms

由表6可知：

(1) 與7-MPC相比，13-MPC增加6個備選電壓矢量，從而大幅增加算法耗時。

(2) 與7-MPC和13-MPC相比，7-DB-MPC和13-DB-MPC增加轉(zhuǎn)矩?zé)o差拍控制的理想占空比計(jì)算和電壓矢量修正耗時，但MPC耗時有所減少，總耗時基本相當(dāng)。同樣由于增加6個備選電壓矢量，13-DB-MPC的計(jì)算耗時大幅增加。

(3) 與7-DB-MPC和13-DB-MPC相比，無權(quán)重系數(shù)3-DB-MPC和無權(quán)重系數(shù)6-DB-MPC的計(jì)算耗時大幅降低，分別減少了48.22%和47.67%，從而在保持控制性能不變的前提下，優(yōu)化了實(shí)時性。

5 結(jié) 語

(1) 通過空間矢量調(diào)制將傳統(tǒng)MPC備選電壓矢量增加至13個，可降低轉(zhuǎn)矩脈動，但對磁鏈脈動和電流THD優(yōu)化有限，同時大幅增加計(jì)算耗時。

(2) 與傳統(tǒng)MPC相比，DB-MPC可顯著減小轉(zhuǎn)矩脈動、磁鏈脈動和電流THD，計(jì)算耗時與傳統(tǒng)MPC基本相當(dāng)。通過增加備選電壓矢量可進(jìn)一步減小磁鏈脈動，但增加計(jì)算耗時。

(3) 本文提出的優(yōu)化控制策略可將非零備選電壓矢量減少一半且省去零電壓矢量，成本函數(shù)無需轉(zhuǎn)矩預(yù)測和權(quán)重系數(shù)設(shè)計(jì)，控制性能與傳統(tǒng)MPC基本相當(dāng)，計(jì)算耗時顯著減少。