基于等效磁網(wǎng)絡(luò)法的混合勵磁雙定子磁懸浮開關(guān)磁阻電機建模研究*

張志友, 項倩雯, 孫玉坤, 袁 野

(江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

0 引 言

開關(guān)磁阻電機結(jié)構(gòu)簡單堅固、效率高、機械強度大，廣泛應(yīng)用于航天器械、電動汽車、風(fēng)機、泵等領(lǐng)域。由于臨界轉(zhuǎn)速低，摩擦阻力增大，傳統(tǒng)的機械軸承限制了開關(guān)磁阻電機轉(zhuǎn)速進一步提高[1-3]。磁軸承的出現(xiàn)克服了傳統(tǒng)機械軸承的缺陷，開關(guān)磁阻電機可以達到很高的運行速度。磁懸浮開關(guān)磁阻電機(BSRM)綜合了磁軸承技術(shù)與開關(guān)磁阻電機的優(yōu)點，無機械磨損、無潤滑、能耗低、臨界轉(zhuǎn)速高，在飛輪儲能、航空航天，渦輪機等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[4]。

當前BSRM的建模方法主要有三種：有限元分析法、磁路解析法、等效磁網(wǎng)絡(luò)法(EMN)。大多數(shù)學(xué)者對于BSRM的研究基于傳統(tǒng)的磁路解析法，應(yīng)用于電機分析，把磁場問題轉(zhuǎn)化為磁路問題[5]。針對電機出現(xiàn)的磁飽和現(xiàn)象及鐵心的非線性問題，該方法分析精度偏低，計算結(jié)果可能會和實際誤差較大[6-8]。

使用有限元分析軟件在電機設(shè)計初始階段需要不斷調(diào)整參數(shù)，因此會造成電機分析設(shè)計的時間增長，設(shè)計效率低。而且采用有限元軟件仿真分析時，需要很精細的網(wǎng)格剖分才可以滿足精度要求，單元剖分越精細計算精度就越高，但巨大的網(wǎng)格規(guī)模非常占用計算機內(nèi)存，致使仿真求解過程十分耗時，增加了工程設(shè)計的時間和勞動成本[9-10]。

鑒于上述兩種方法的不足，利用EMN分析混合勵磁雙定子BSRM。該方法從磁路法發(fā)展而來，同時又采取有限元剖分的思想。采用EMN的仿真時間遠低于有限元分析法，此種方法在電機初始設(shè)計分析階段具有良好的應(yīng)用前景。文獻[11]中，英國謝菲爾德大學(xué)的Zhu教授將EMN用于對定子永磁型電機的分析，建立磁通切換電機的等效磁網(wǎng)絡(luò)模型，并基于此模型進一步求解出磁通切換電機的氣隙磁密、磁鏈、電感等特性，通過有限元驗證模型的準確性和有效性。文獻[12]將EMN用于混合轉(zhuǎn)子永磁電機的設(shè)計分析和電機電磁性能評估，進一步研究電機的反電動勢、轉(zhuǎn)矩等特性，并與有限元分析進一步比較，證明EMN具有很高的精度。文獻[13]提出了一種新的車載雙永磁游標電機的EMN模型，將磁路法與網(wǎng)格法相結(jié)合，用于預(yù)測電機的電磁性能，以提高電機建模效率。并將EMN模型的計算結(jié)果與有限元的分析結(jié)果對比，驗證所建模型的高效性。

本文以24/16/8極混合勵磁雙定子BSRM為例，提出了一種基于EMN的建模方案。首先采用有限元軟件對電機進行磁場仿真分析，定轉(zhuǎn)子齒部和懸浮氣隙處磁力線分布均勻且形狀類似于矩形，因此可以近似等效成矩形磁導(dǎo)模型求解。定轉(zhuǎn)子軛部可以近似等效成扇形磁導(dǎo)模型求解[14]。轉(zhuǎn)子運動時，轉(zhuǎn)矩氣隙不斷發(fā)生變化，磁場分布較為復(fù)雜，采用分割法將外定子與轉(zhuǎn)子間的相對位置分為若干個區(qū)間進行研究，對劃分的每個區(qū)間磁導(dǎo)進行推導(dǎo)計算。根據(jù)磁力線的分布確定各個磁導(dǎo)的連接方式，建立起電機的整個等效磁網(wǎng)絡(luò)模型。對磁網(wǎng)絡(luò)進行編號，建立起電機的矩陣方程[15]。基于MATLAB軟件求解矩陣方程，得到電機轉(zhuǎn)矩與懸浮繞組的電感、磁鏈等特性，并和有限元分析進行對比驗證所建模型的有效性。

1 電機結(jié)構(gòu)與工作機理

1.1 混合勵磁雙定子BSRM拓撲結(jié)構(gòu)

圖1為24/16/8極混合勵磁雙定子BSRM的拓撲結(jié)構(gòu)圖。內(nèi)外定子和轉(zhuǎn)子鐵心材料采用的是DW465-50硅鋼片，永磁體材料采用的是釹鐵硼NdFe30。電機由24極外定子，16極轉(zhuǎn)子和8極混合內(nèi)定子構(gòu)成。混合內(nèi)定子由8個對稱分布的凸極和4個永磁體組成。永磁體采用徑向充磁的方式為轉(zhuǎn)子提供偏置磁通，磁極呈NS交替變化，與控制磁通共同形成八極磁場。其他4極與永磁體相間分布。x方向懸浮電流控制x方向的懸浮力，y方向的懸浮電流控制y方向懸浮力。電機外定子等間隔分布24個齒極，其中8個齒極的繞組串聯(lián)成一相，如圖1中的A相所示。定義圖1中A相外定子極與轉(zhuǎn)子極對齊時的角度θ=0°。B相和C相分別位于A相順時針方向的15°和30°處。

圖1 混合勵磁雙定子BSRM拓撲結(jié)構(gòu)

1.2 工作機理

電機的轉(zhuǎn)矩由外定子與轉(zhuǎn)子作用產(chǎn)生，如圖2(a)所示,與傳統(tǒng)的開關(guān)磁阻電機轉(zhuǎn)矩原理相同，均遵循“磁阻最小原理”。當給轉(zhuǎn)矩繞組通一定大小的電流時，磁通流經(jīng)轉(zhuǎn)子齒、轉(zhuǎn)子軛、外氣隙、定子齒、定子軛部形成閉合的磁路，隨著轉(zhuǎn)子的運動，磁場會發(fā)生扭曲從而產(chǎn)生切向的磁拉力，產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩。

懸浮力由內(nèi)定子上永磁體和懸浮繞組電流共同作用產(chǎn)生，如圖2(b)所示。永磁體產(chǎn)生的磁通Φm流經(jīng)內(nèi)定子齒、內(nèi)定子軛、內(nèi)氣隙、轉(zhuǎn)子軛閉合。懸浮繞組電流產(chǎn)生的磁通Φx流經(jīng)內(nèi)定子齒、內(nèi)定子軛、內(nèi)氣隙、轉(zhuǎn)子軛閉合。當永磁體單獨作用時，產(chǎn)生8極對稱分布磁通，內(nèi)氣隙磁密相等，此時懸浮力為零，轉(zhuǎn)子處于平衡位置。當x正方向產(chǎn)生擾動時，轉(zhuǎn)子會向x正方向偏移，此時x負方向懸浮氣隙減小，磁場變強。給x方向的繞組通電，產(chǎn)生的磁通Φx與Φm在x負方向氣隙處方向相反，在x正方向氣隙處方向相同，會產(chǎn)生x正方向的懸浮力，使得轉(zhuǎn)子回到平衡位置。

圖2 工作機理

1.3 磁路分析

給轉(zhuǎn)矩和懸浮繞組同時通2 A的電流，磁場分布如圖3所示。轉(zhuǎn)矩磁場與懸浮磁場彼此獨立，實現(xiàn)解耦。轉(zhuǎn)矩磁場8極對稱均勻分布。由于ap處偏置磁場與控制磁場方向相同，磁場疊加，而bp處偏置磁場與控制磁場方向相反，磁場削弱，因此ap處磁密較bp處大，在x正方向上會產(chǎn)生徑向懸浮力。

圖3 θ=0°磁場分布

2 混合勵磁雙定子BSRM EMN建模

2.1 等效磁導(dǎo)的分析與計算

2.1.1 定子和轉(zhuǎn)子

考慮到電機定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的特點，可以將電機的齒部和軛部分成兩種基本的模型。

圖4中，對于齒部而言，內(nèi)部磁場分布均勻，且類似矩形結(jié)構(gòu)，因此可以直接等效成矩形磁導(dǎo)模型。矩形模型的磁導(dǎo)可以由下式求出：

(1)

式中：μ為對應(yīng)材料的磁導(dǎo)率;la為電機的軸向長度;w為垂直于磁通方向磁截面積的寬度;l為磁通方向長度。

圖4 磁力線圖

電機的軛部可以等效成扇形模型，如圖5所示。扇形模型的磁導(dǎo)可以根據(jù)基本的矩形模型進行微積分推導(dǎo)得到：

(2)

式中：R1、R2和θ分別為扇形模型的內(nèi)半徑、外半徑和開口弧度。

圖5 矩形和扇形磁導(dǎo)模型

2.1.2 繞組和永磁體

磁場中的磁動勢是由繞組和永磁體產(chǎn)生的，混合勵磁雙定子BSRM采用的是集中繞組，如圖6所示。磁動勢的大小為

Fn=∮H·dl=Nci

(3)

式中：H為磁場強度;l為閉環(huán)的周長;Nc為電樞繞組匝數(shù);i是繞組中通入電流大小。

圖6 繞組的磁動勢等效模型

永磁體等效模型可以表示為磁動勢和磁導(dǎo)的串聯(lián)組合,永磁體的磁動勢和磁導(dǎo)的推算公式如下[16]:

(4)

式中：Fpm、Gpm、μrm、μ0和Brm分別為永磁體的等效磁動勢、等效磁導(dǎo)、相對磁導(dǎo)率、真空磁導(dǎo)率和剩磁密度；hm、la和lm分別為永磁體的寬度、電機軸向長度和永磁體的長度。

2.1.3 氣隙磁導(dǎo)

在轉(zhuǎn)子運動時，由于內(nèi)定子磁極與轉(zhuǎn)子間對齊面積始終相等，此部分的懸浮氣隙磁力線分布均勻，可以等效成矩形磁導(dǎo)式(1)計算。外定子齒和轉(zhuǎn)子齒之間的轉(zhuǎn)矩氣隙可以采用分割法進行研究。

將外定子與轉(zhuǎn)子齒的相對位置分為8個區(qū)間進行研究，由α1～α8來定義,即:

(5)

式中：α為外定子齒與轉(zhuǎn)子齒中心線之間的夾角。

圖7中是區(qū)間1與區(qū)間8中外定子齒與轉(zhuǎn)子齒之間的相對位置。α1～α8與電機結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，例如α1可以由下式定義：

(6)

式中：βr和βos分別為轉(zhuǎn)子和外定子的齒寬。

圖7 不同區(qū)間的轉(zhuǎn)子位置

根據(jù)磁通的分布情況，需要將每個區(qū)間再分成幾個小區(qū)間，每個小區(qū)間中磁通的分布相對均勻，可以用一個磁導(dǎo)表示。例如，在圖8(a)中，區(qū)間1就被分成了a～e五個小的區(qū)間，每個小區(qū)間的寬度如下式：

(7)

b=(α1-α)Rosi

(8)

c=βosRosi

(9)

d=(α1+α)Rosi

(10)

(11)

式中：Rosi為外定子的內(nèi)半徑；τos為外定子齒距，以角速度表示。

圖8 區(qū)間分界角的定義

在圖8中，將外定子與轉(zhuǎn)子齒的側(cè)面分別傾斜β1、β2角。這么做是為了能夠用圓弧和直線代替實際的磁力線。可由下列經(jīng)驗公式確定：

(12)

對應(yīng)的分界點為:

(13)

式中：hcos和hcr分別為外定子和轉(zhuǎn)子磁極高度。

現(xiàn)以區(qū)間1為例推算氣隙磁導(dǎo)，在子區(qū)域a中，磁力線可以看成由兩段圓弧和一段矩形組成，其長度隨著與轉(zhuǎn)子左邊界的距離x而變化。

(1) 由式(1)可以得到子區(qū)域a的氣隙磁導(dǎo)為

當x2≥a時：

當x2

(2) 子區(qū)域b內(nèi)，磁力線由一段圓弧和一段直線組成，對應(yīng)的氣隙磁導(dǎo)為

(16)

(3) 在c區(qū)域中：

(17)

(4) 與子區(qū)域b類似，子區(qū)域d的磁導(dǎo)為

(18)

(5) 在e子區(qū)域中，與子區(qū)域a類似。

當x2≥e時：

當x2

式中：go為外定子齒部和轉(zhuǎn)子齒部之間的氣隙長度；μ0為真空磁導(dǎo)率。

因此利用式(14)～式(20)可以得到區(qū)間1總氣隙的磁導(dǎo)：

Gm=G1+G2+G3+G4+G5

(21)

區(qū)間2～區(qū)間8的氣隙磁導(dǎo)的計算公式可用類似的方法得到。

2.2 EMN模型

圖9所示為混合勵磁雙定子BSRM兩個特殊位置下EMN模型，表1為電機磁導(dǎo)的種類和編號。

圖9 混合勵磁雙定子BSRM的等效磁網(wǎng)絡(luò)模型

表1 電機磁導(dǎo)的種類

3 EMN模型算法求解

根據(jù)前面求出的所有磁導(dǎo)，結(jié)合有限元仿真的磁場分布，確定好磁導(dǎo)的連接方式，磁導(dǎo)矩陣、節(jié)點磁動勢矩陣和磁通矩陣滿足以下關(guān)系：

G(μi)·Fn=Φn(μi)

(22)

根據(jù)圖9建立的EMN模型，可以觀察到節(jié)點的總數(shù)為92，編號為0～91。

(23)

式中：G(i,j)為節(jié)點i和j的磁導(dǎo)；Fn(i)和Φn(i)分別為節(jié)點i的磁勢和磁通；μi為第i條支路的磁導(dǎo)率。

矩陣G沿著對角線對稱，具有如下特點：

(24)

如圖10所示，節(jié)點磁通為已知量，賦值方法如下：若與節(jié)點“i”關(guān)聯(lián)的支路存在磁動勢，則節(jié)點磁通為支路磁動勢與磁導(dǎo)乘機的代數(shù)和，即

(25)

圖10 節(jié)點磁通的計算

電機鐵心材料的磁導(dǎo)率會隨著磁通密度而發(fā)生變化，所以鐵心材料的實際工作點應(yīng)該通過一系列的迭代過程得到。采用插值法計算節(jié)點i和節(jié)點j的磁導(dǎo)率[17]:

(26)

式中：Hn和Bn分別為第n個插值點的磁場強度和磁感應(yīng)強度；Hn+1和Bn+1為第n+1個插值點。

為了提高求解速度，采用超松弛迭代法求解式(23)的矩陣方程，為了得到更好的收斂特性，本文采用定子和轉(zhuǎn)子齒的磁通密度做為收斂判據(jù)，其迭代條件可以表示為

(27)

4 結(jié)果與驗證

本文以24/16/8極混合勵磁雙定子BSRM作為研究對象建立起EMN模型。給轉(zhuǎn)子運動設(shè)定每個步長，當轉(zhuǎn)動一個步長的時候，就需要重新建立起模型，重新求解建立的非線性矩陣方程。如此就可以求出在單相通電周期(0°～7.5°)時間內(nèi)，懸浮和轉(zhuǎn)矩繞組的磁鏈、電感等特性，通過所求的電磁特性結(jié)果與有限元法(FEM)進行對比,說明EMN模型的高效性。

4.1 懸浮和轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈

假設(shè)節(jié)點a和節(jié)點b是一個磁導(dǎo)的兩端，則磁通密度可以由下式求得：

(28)

可以進一步求得對應(yīng)θ位置每相繞組的磁鏈ψθ:

ψθ=NSBθ

(29)

式中：N為繞組的匝數(shù);S為齒的截面積，Bθ為θ對應(yīng)位置下的磁感應(yīng)強度。

圖11和圖12所示為給懸浮繞組和轉(zhuǎn)矩繞組通2 A電流時，懸浮和轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈隨著轉(zhuǎn)子角度θ的變化情況。從圖12中可以看出當θ=0°的時候，即外定子和轉(zhuǎn)子齒極中心軸線對齊時，轉(zhuǎn)矩的磁鏈值最大。由于內(nèi)定子齒與轉(zhuǎn)子之間的懸浮氣隙在運動的過程中基本不發(fā)生變化，這部分的氣隙磁導(dǎo)也是固定不變的，求解的懸浮繞組的磁鏈也基本保持不變。

圖11 懸浮繞組磁鏈

圖12 轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈

4.2 懸浮和轉(zhuǎn)矩繞組電感

當求得懸浮和轉(zhuǎn)矩磁鏈時，可由下列公式求得懸浮和轉(zhuǎn)矩電感L(θ):

(30)

圖13 懸浮繞組電感

圖14 轉(zhuǎn)矩繞組電感

圖13和圖14表示給懸浮和轉(zhuǎn)矩繞組通2 A電流時，懸浮和轉(zhuǎn)矩繞組電感隨著轉(zhuǎn)子角度θ的變化情況。可以看出電感的變化情況與磁鏈基本一致。EMN模型求解的電感與FEM的電感吻合效果很好。

4.3 懸浮力

以x方向為例，x軸正方向為力的正方向，根據(jù)麥克斯韋方程可以求出x方向的懸浮力為

(31)

式中：Sxy表示內(nèi)定子齒部磁極的面積;φx1表示x軸正方向上的磁通;φx2表示x軸負方向上的磁通;μ0表示真空磁導(dǎo)率。

通過對式(31)的求解，可以求出當給懸浮繞組通2 A電流的時候，懸浮力的大小和FEM求解出來的幾乎一致，如圖15所示。在轉(zhuǎn)子運動的過程中，內(nèi)定子齒極與轉(zhuǎn)子之間的對齊面積始終保持不變，因此懸浮力幾乎保持恒定，不會隨θ的變化發(fā)生變化，這也進一步確保了轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。

圖15 x方向懸浮力值

4.4 電磁轉(zhuǎn)矩分析

混合勵磁雙定子BSRM的轉(zhuǎn)矩部分和開關(guān)磁阻電機一樣，根據(jù)能量轉(zhuǎn)換原理，作用在轉(zhuǎn)子上的電磁轉(zhuǎn)矩可以由磁場儲能Wa對轉(zhuǎn)子位置角度θr的偏導(dǎo)數(shù)得出。所以A相繞組對轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩Ta可用下式求出：

(32)

當θr=0，即外定子齒和轉(zhuǎn)子齒部正對齊的時候，此時不產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩，Ta=0，隨著轉(zhuǎn)子的運動，θr逐漸增大，外定子齒與轉(zhuǎn)子齒之間對齊的面積逐漸減少，氣隙處的磁力線會發(fā)生扭曲，此時電磁轉(zhuǎn)矩逐漸增大。由圖16可以看出EMN模型求解出的電磁轉(zhuǎn)矩和FEM求解的基本吻合。

圖16 轉(zhuǎn)矩值

5 結(jié) 語

本文建立了24/16/8極混合勵磁雙定子BSRM的EMN模型，推出各部件的磁導(dǎo)公式，尤其是轉(zhuǎn)矩氣隙部分采用分割法進行分析。然后對建立的矩陣方程進行求解，進一步可以得到懸浮和轉(zhuǎn)矩繞組的磁鏈、電感以及懸浮力和轉(zhuǎn)矩特性。通過和FEM分析進行對比，EMN模型求解的結(jié)果和FEM求得的結(jié)果基本吻合。EMN對于電機的分析具有很好的精度，但用時卻遠少于FEM。本文分析的EMN可以高效分析BSRM，為此類電機的后續(xù)研究提供了一定的參考。