基于三粒子和五粒子糾纏態的量子隱形傳態通信

蘇孫慶，南彩珍，廖文良，雷國偉

(集美大學，福建 廈門 361021)

量子通信利用量子信道對信息進行編碼、傳輸和處理，具有安全性高、信道容量大的特點。量子秘密通信的主要目標是信息安全，主要有量子密鑰分發[1]、安全直接量子通信[2]和量子秘密共享[3]等方式。量子糾纏是量子力學中的一種獨特現象，是量子力學與經典物理學的最大區別，是量子通信和量子信息處理的重要資源[4]，并且已經在量子保密通信方面[5]被廣泛應用。量子隱形傳輸是糾纏的一個重要體現[6]，從Bennett等[7]提出第一個單粒子未知態的傳輸方案之后，量子隱形傳態就成為了量子信息研究的重點。從單個粒子量子態的隱形傳輸發展到多個粒子的隱形傳輸，再從一般的量子態的隱形傳輸,發展到受控量子態的隱形傳輸。可以看出，人們在理論和實驗上對量子隱形傳態進行了廣泛的研究[8-11]。

考慮到量子通信的實際應用,本文提出了基于三粒子糾纏態和五粒子糾纏態的量子隱形傳態通信。首先，制備了三粒子、五粒子的糾纏態并給出了相應的量子線路圖。然后，基于該糾纏態，提出任意單粒子未知量子態的隱形傳態方案和任意二粒子未知量子態的隱形傳態方案。前一個方案中，在監察者Monitor的控制下，發送方Sender進行Bell基測量和經典通信；后一個方案中，發送方Sender進行四粒子投影測量和經典通信。最后接收方Receiver采用簡單的酉變換就可以以100%的概率成功地恢復原始未知量子態。

1 糾纏態的制備

1.1 三粒子糾纏態的制備

所要制備的三粒子糾纏態為

(1)

|ζ0〉=|0〉2|0〉3|0〉1

(2)

分別用Hamdmard門和CNOT(受控非門)進行H運算和Cij運算，其中

cij=|i〉|i⊕j〉

(3)

式中⊕是關于模2的加法運算。具體制備步驟如下：

1)對粒子1進行H運算，|ζ0〉變換為|ζ1〉

(4)

2)對粒子(1,2)做一次CNOT運算cij，粒子1作為控制量子，粒子2為目標量子，經此運算后|ζ1〉就變換為|ζ2〉

(5)

3)對粒子2進行一次H運算，|ζ2〉變換為|ζ3〉

|01〉31(|0〉-|1〉)2]

(6)

4)對粒子(2,3)做一次CNOT運算Cij，粒子2作為控制量子，粒子3作為目標量子，經此運算后|ζ3〉就變換為式(1)所示的三粒子糾纏態|Q〉

(|00〉23-|11〉23)|1〉1]=

(7)

上式所示三粒子糾纏態的制備過程的量子線路圖如圖1所示。

圖1 制備三粒子糾纏態的量子線路圖

1.2 五粒子糾纏態的制備

所要制備的五粒子糾纏態為

|Ψ-〉23|Ψ-〉45|1〉1)

(8)

(9)

具體制備步驟如下：

(10)

(11)

(|01〉-|11〉)23(|01〉-|11〉45|1〉1]

(12)

|Ψ-〉23|Ψ-〉45|1〉1)

(13)

上式所示的五粒子糾纏態的制備過程的量子線路圖如圖2所示。

圖2 制備五粒子糾纏態的量子線路圖

2 量子隱形傳態通信

2.1 任意單粒子量子隱形傳態通信

設發送方Sender處，待傳送的未知的任意單粒子態為

|ξ〉l=a|0〉l+b|1〉l

(14)

其中，a和b都為復數，且滿足歸一化條件：

|a|2+|b|2=1。

發送方Sender、控制方Monitor和接收方Receiver共享式(1)中所示的三粒子糾纏態作為量子信道。其中，Sender擁有粒子2，Receiver擁有粒子3，Monitor擁有粒子1。則整個系統的量子態為

|?！?|ξ〉l?|Q〉231

(15)

再將式(15)用Bell基表示得

b(|10〉31-|11〉31)]β00〉12

+[a(|10〉31-|11〉31)+b(|00〉31+|01〉31)]β01〉12

+[a(|00〉31+|01〉31)-b(|10〉31-|11〉31)]β10〉12

+[a(|10〉31-|11〉31)-b(|00〉31+|01〉31)]β11〉12

(16)

任意單粒子量子隱形傳態通信方案可由以下幾個步驟完成：

1)Sender對自己所擁有的粒子l和粒子2進行聯合Bell基測量，并將結果經由經典信道反饋給Monitor和Receiver。由式(16)可知，Sender獲得其中一個測試結果的概率為四分之一。例如：Sender的測試結果若為|β00〉l2，則粒子3和粒子1的態將塌縮為

b(|10〉31-|11〉31)]

(17)

2)若Monitor同意Sender和Receiver之間的通信，則Monitor收到信息后，就用計算基{|0〉,|1〉}對自己所擁有的粒子1進行測量，并將測試結果反饋給Receiver。

當Sender的測試結果為|β00〉l2時，若Monitor對粒子1的測試結果為|0〉，則粒子3的態就塌縮為

|Γ2〉=a|0〉3+b|1〉3

(18)

若Monitor對粒子1的測試結果為|1〉，那么式(17)的態就變為

|Γ3〉=a|0〉3-b|1〉3

(19)

3)Receiver收到Sender和Monitor的測試結果后，就可以采用適當的酉變換，重構Sender的原始未知態式(14)。

如果Sender的測試結果為|β00〉l2時，而Monitor對粒子1的測試結果為|0〉時，則Receiver對粒子3執行酉變換I，即可重構原始未知態

I|Γ2〉=a|0〉3+b|1〉3

(20)

若Monitor對粒子1的測試結果為|1〉時，則Receiver對粒子3執行酉變換σz，同樣能完成原始未知態的重構

σz|Γ3〉=a|0〉3+b|1〉3

(21)

表1是Sender和Monitor所有可能的測量結果(分別為|βjk〉l2、|Ψ〉1)、粒子3的塌縮態|Γx〉以及Receiver的重構酉變換U之間的對應關系，見表1。

表1 Sender和Monitor的測量結果、塌縮態以及重構酉變換之間的對應關系

不論Sender與Monitor的測量結果如何，Receiver都可以找到對應的酉變換進行重構，使得Receiver的粒子3的量子態與Sender的單粒子未知態具有相同的形式，這就說明量子隱形傳態通信總能實現。

對于Sender和Monitor的任何測量，式(14)的原始態總能被成功地傳送給Receiver。Sender獲得4個可能測量結果中任意一個的概率均為1/4；Monitor得到兩種測量結果中任意一種的概率均為1/2，表1中有8種情況，所以該方案成功的總概率為

即該方案的成功概率為100%。

2.2 任意二粒子量子隱形傳態通信

設發送方Sender處有待發送的任意的二粒子未知態

|ξ〉mn=(a|00〉+b|01〉+c|10〉+d|11〉)mn

(22)

其中a,b,c,d均為復數，且|a|2+|b|2+|c|2+|d|2=1。Sender、Monitor和Receiver三方共享式(8)所示的五粒子糾纏態作為量子信道。其中，粒子2、4屬于發送方Sender，粒子3、5屬于接收方Receiver，粒子1屬于控制方Monitor。則整個系統的量子態為

(23)

任意二粒子量子隱形傳態通信方案可由以下幾個步驟完成：

1)Sender對自己所擁有的粒子m、n、2和4進行四粒子Von Neumann測量，并將結果經由經典信道反饋給Monitor和Receiver。其測量基由如下向量構成

|ε0〉=(|0000〉+|0101〉+|1010〉+|1111〉)/2

|ε1〉=(|0000〉-|0101〉+|1010〉-|1111〉)/2

|ε2〉=(|0000〉+|0101〉-|1010〉-|1111〉)/2

|ε3〉=(|0000〉-|0101〉-|1010〉+|1111〉)/2

|ε4〉=(|0001〉+|1011〉+|0100〉+|1110〉)/2

|ε5〉=(|0001〉+|1011〉-|0100〉-|1110〉)/2

|ε6〉=(|0001〉-|1011〉+|0100〉-|1110〉)/2

|ε7〉=(|0001〉-|1011〉-|0100〉+|1110〉)/2

|ε8〉=(|0010〉+|1000〉+|0111〉+|1101〉)/2

|ε9〉=(|0010〉+|1000〉-|0111〉-|1101〉)/2

|ε10〉=(|0010〉-|1000〉+|0111〉-|1101〉)/2

|ε11〉=(|0010〉-|1000〉-|0111〉+|1101〉)/2

|ε12〉=(|0011〉+|1001〉+|0110〉+|1100〉)/2

|ε13〉=(|0011〉+|1001〉-|0110〉-|1100〉)/2

|ε14〉=(|0011〉-|1001〉+|0110〉-|1100〉)/2

|ε15〉=(|0011〉-|1001〉-|0110〉+|1100〉)/2

(a|11〉-b|10〉-c|01〉+d|00〉)35|1〉1]

(24)

2)若Monitor同意Sender和Receiver之間的通信，則Monitor收到信息后，就用計算基{|0〉,|1〉}對自己所擁有的粒子1進行測量，并將測量結果反饋給Receiver。

當Sender的測試結果為|ε0〉時，若Monitor對粒子1的測試結果為|0〉，那么式(24)的態就變為:

|T2〉=(a|00〉+b|01〉+c|10〉+d|11〉)35

(25)

若Monitor對粒子1的測試結果是|1〉，那么式(24)的態就變為

|T3〉=(a|11〉-b|10〉-c|01〉+d|00〉)35

(26)

3)Receiver收到Sender和Monitor的測試結果后，Receiver就可以采用適當的酉變換，重構Sender的原始秘密態式(22)。

如果Sender的測試結果為|ε0〉，而Monitor對粒子1的測試結果為|0〉時，則Receiver對粒子3和5執行的酉變換為I?I

(I?I)|T2〉=(a|00〉+b|01〉+c|10〉+d|11〉)35

(27)

若Monitor對粒子1的測試結果為|1〉時，則Receiver對粒子3和5執行的酉變換為iσy?iσy

(iσy?iσy)|T3〉=(a|00〉+b|01〉+c|10〉+d|11〉)35

(28)

上述兩種情況經過酉變換之后所得結果式(27)和式(28)均為Sender所要傳送的原始二粒子未知態。

表2是Sender和Monitor所有可能的測量結果(分別為|εj〉mn24、|Ψ〉1)、粒子3和5的塌縮態|Tx〉以及Receiver的重構酉變換U之間的對應關系。由表2可知，對于每一個測量結果，Receiver都可以找到相應的幺正變換進行重構，使Receiver可以將粒子3和粒子5的量子態還原為Sender的兩粒子未知糾纏態。結果表明，無論Sender和Monitor的測量結果如何，Receiver總能重構出式(22)所示的原始未知糾纏態。

表2 Sender和Monitor的測量結果、塌縮態以及重構酉變換之間的對應關系

此外，還需要考慮的是量子通信任務成功的概率。Sender獲得16個可能測量結果中任何一個的概率均為1/16；Monitor得到兩個測量結果中任何一個的概率均為1/2，表2中有32種情況，所以該方案的成功總概率為

即本方案的成功概率為100%。

3 結論

糾纏是一種重要的量子資源，不斷挖掘和開發各種量子資源對量子通信的發展有著重要的意義。本文用Hamdmard門和受控非門這兩種常見量子操作，制備了三粒子和五粒子糾纏態，并給出了相應制備過程的量子線路圖。運用三粒子糾纏態的量子信道，實現未知單粒子態的量子隱形傳態通信方案。在該方案中，發送方Sender對3粒子糾纏態中自己所擁有的粒子2和處于未知單粒子態的粒子l進行Bell基測量，使得接收方Receiver在控制方Monitor的配合下，只需執行簡單酉變換就能恢復原始量子態，其中控制方Monitor對自己所擁有的粒子1運用計算基{|0〉,|1〉}對其進行測量。同時也提出了一種運用五粒子糾纏態的量子信道，以完成任意二粒子未知量子態的隱形傳態通信方案。在該方案中，發送方Sender使用16維希爾伯特空間中的一組特殊的完全正交狀態作為測量基，實現投影測量(四粒子Von Neumann測量)，使接收方Receiver在得到發送方的測量結果和控制方Monitor的配合下，只需再做一個簡單的幺正變換(酉變換)就可以恢復原始量子態。另外，測量基的選擇使得信息傳遞過程簡單明了，方案成功的概率為100%。二種方案涉及的變換有Hamdmard門、受控非門和Pauli算子、Bell基測量、以及簡單的投影測量，這些都能在現代光學技術中實現。而且這兩種方案，不論最后塌縮態為何，都有相應的酉變換去重構原始量子態，因此普適性較強。