數學軟件在數學建模中的作用

李三杰 胡玉林 王玉龍

（1.鄭州財經學院統計與大數據學院，河南 鄭州450044；2.鄭州財經學院信息工程學院，河南 鄭州 450044）

0 引言

近年來，數學軟件的出現與應用，為高校在數學建模中打開了一扇大門，給數學建模的各個環節帶來了極大的便利。數學建模不僅在教學領域中得到了廣泛應用，而且在人才隊伍建設以及其他各個領域中也有著不可取代的價值。數學作為一門基礎學科，使用數學知識解決的實際問題的過程，在本質上就是數學建模的過程。對一個大規模的實際問題而言，數學建模的各個環節都是非常重要的，同時也是非常困難的。傳統的方法就是用已有的數值方法通過高級語言編程實現。完全使用手動計算是不現實的，還可以通過借助數學軟件來完成。這樣不但要求使用者具有一定的數學修養和專業知識，還應該具有較好的編程能力。因此，探討數學軟件在數學建模中的作用，對于教學研究、人才培養具有十分重要的價值意義。因此，探討數學軟件在數學建模中的作用，對于激發學生課外自主學習興趣，鼓勵學生自主探索數學方法在實際問題中的運用，提高學生建立數學模型和運用計算機技術解決多行業綜合復雜的社會及工程問題的創新應用能力具有十分重要的價值意義。

1 數學軟件簡介

所謂數學軟件，即制作數學動畫與圖形、實施數學運算以及運籌規劃等行為的軟件，可通過使用計算機，進行特定數學計算或者數學表述來實現功能。數學軟件從功能上分類可以分為通用數學軟件包和專業數學軟件包，通用數學包功能比較完備，包括各種數學、數值計算、豐富的數學函數、特殊函數、繪圖函數、用戶圖形界面交互功能，與其他軟件和語言的接口及龐大的外掛函數庫機制（工具箱）。常見的通用數學軟件包包括Matlab、Mathematica和Maple，其中Matlab以數值計算較為常見，而Mathematica和Maple以符號運算、公式推導較為普遍。專用數學包包括：繪圖 軟 件 類 （MathCAD、Tecplot、IDL、Surfer、Origin、SmartDraw、DSP2000）； 數 值 計 算 類（Matcom、IDL、DataFit、S-Spline、Lindo、Lingo、O-Matrix）；有限元計算（ANSYS、MARC、PARSTRAN、FLUENT、FlexPDE）；數理 統 計 類（SPSS、SAS、Splus、Statistica、Minitab）；數 學公式排版類（MathType、Scientific Workplace）。上述分類比較籠統，很多軟件的功能也有交叉，受經驗和篇幅限制，不能逐一而論。

2 數學軟件在輔助建模中的作用

在實際問題的建模中，由于實際問題的復雜性，直接運用數學方法和專業知識建立模型往往存在許多困難。其中一個重要的原因就是由于計算機技術和數據量獲得的不斷增加，許多大型和超大型的數據不斷地涌現，而且所獲得的各種數據往往包含許多冗余的信息和無關的信息，要透過紛繁復雜的數據本身洞察數據之間的關聯和趨勢，從而建立好的模型描述，僅僅掌握一些必需的統計分析知識是不夠的，如果沒有專業的數學軟件的支持，就難以勝任。

比如，對于選拔隊員問題，其目標是從20個隊員中選拔18人參加比賽。通常的方法是采用層次分析法來求解，需要將問題分層次進行分析，構造層與層之間的比較矩陣與計算權重系數，計算較為復雜。如果采用聚類分析的思想，則很容易得出結果。基本思想是利用K-平均算法（K-Means Clustering）將選手集合劃分為三個集合，然后根據每一組的重心（平均值的多維形式）視為劃分的標準，將分別定義為優、良、差。如果差的人數超過2人，則繼續對差的集合劃分（根據需要化為2個或者3個集合），一直做下去，就可對所有成員作一個分類。結果如表1所示。

表1 第一次聚類的分組情況

根據每一組重心的差異，定義第3組為差，其成員為b，h，i，j，對該然后對于屬于第3類集合的b，h，i，j繼續做分類，結果如表2所示。

表2 第二次聚類的分組情況

根據每一組重心的差異，定義第3組為差，淘汰成員h；定義第1組為良，包括成員i，j，對行觀察如表3所示。

表3 成員的情況

根據題目中對于指標的選擇順序，可知，應該淘汰成員i。由此結果可以知道：應該淘汰成員h，i，保留其他18名成員。結果與層次分析法相同。

在此建模過程中，不需要手動進行數據的標準化等處理，直接調用S-plus軟件中的Statistics-＞Cluster Analysis-＞K-means過程，即可輕松實現上述過程。

這里只是利用數學軟件建模的一個簡單過程。事實上，數學軟件的輔助建模功能是非常強大的。如利用MATLAB能夠快速的對排隊服務系統和隨機存儲系統進行模擬，并給出合理的結果分析；LINGO軟件中集概念的正確使用，使得模型中各個變量之間的關系更加明確和清晰，并能幫助分析模型的可能錯誤之處；利用S-plus內置的數據可視化和統計方法，使得迅速洞察大量數據之間的關系成為可能。事實上，諸多數學軟件有著強大而簡單的數據存儲、檢索功能；并且提供強大的數據可視化和多媒體功能，使得問題變得更加直觀，能更好地模擬；其智能化功能，更是隨時提醒和幫助人們。

3 數學軟件在求解模型中的作用

在數學模型建立之后，必須要求解模型，計算結果，并驗證由模型得到的結果是否符合實際。在此過程中，往往需要大量的計算，不僅包括數值計算，還包括符號運算以及圖形圖像處理等。這些工作通過紙加筆的傳統方法幾乎無法完成，必須使用數學軟件進行求解。而數學軟件高速、高效的運算能力非常適合于數學建模中的大量的計算需要。這方面已有大量實例，如利用MATLAB求解和分析2019新型冠狀病毒SEIR模型，使用MATLAB工具箱求解BP神經網絡模型，利用Mathematica進行符號運算以及求解分離變量法，利用LINGO求解基于圖論的自駕游路線設計等。這里，以S-plus進行曲線擬合為例說明。

曲線擬合的準則一般為最小二乘準則，多數數學軟件能夠很容易的實現。但是該準則受到異常點的影響，往往采用魯棒的擬合方法，但實現起來較為困難。利用S-plus的繪圖功能，能夠快速地實現多種準則的曲線擬合。首先選中打開的數據，單擊相應的工具欄按鈕，即可輕松實現最小二乘線性擬合、最小截尾二乘線性擬合，Roubust MM擬合等多種擬合方式，并直接繪出圖形，直觀簡單，還直接可以在圖形界面下直接刪除特定點做擬合。而對于一般情況下，沒有足夠信息來決定使用哪種參數方程，此時可以直接調用SPlus的非參數擬合，實現Kernel平滑，樣條平滑、Loess平滑等，并可以通過鼠標及時調整帶寬來觀察平滑后的結果。

4 數學軟件使用中應該注意的問題

數學軟件的使用，首先要選擇適合的軟件。如此眾多的優秀數學軟件，不可能樣樣精通，只能根據每個軟件的特點和適用的范圍，有針對性地選擇。對于絕大多數情況，應該首選通用的MATLAB，其強大的數值計算功能和諸多幾近完美的工具箱，幾乎能夠適應建模中的所有問題，而且在同一個平臺下，各個功能模塊之間的通信非常方便。MATLAB中也可以使用符號計算。對于專業軟件，優化類問題首先LINGO，其內置的建模語言能夠輕易描述復雜的數學規劃模型，甚至可以用來求解方程（組）、曲線擬合等；而對于近年的建模題目數據量較大的趨勢，必須掌握一門統計軟件，推薦使用S-Plus，該軟件操作簡單，可視化功能強大，兼容數據格式多，最新的統計方法均能及時體現到軟件中，使得數據的處理得心應手。

其次，在軟件的使用過程中必須要注意到軟件畢竟是一個固定的程序，只要你能夠按照軟件的要求給出輸入，無論選擇的方法是否正確，也無論數據是否符合該算法的要求，都會得出結果，這就導致了很多論文中的錯誤結果。究其原因，這就造成很多人把數學軟件當作一個黑箱，完全不關心求解的過程，不知道使用的條件和計算的原理，而只關心輸入和輸出，這就不可比避免的要出錯。所以，在使用數學軟件求解某個問題前，必須切實理解軟件求解問題所采用的算法以及算法的基本思想的基礎上，合理分析所得結果，才能避免盲目的套用軟件。

最后，軟件畢竟只是數學建模的輔助手段，數學建模還是應該將重點放在運用數學方法的創新上，避免形成對數學軟件的依賴性。在建模過程中，不能遇到任何問題，都用軟件求解，而數學軟件所采用的算法未必就是求解該問題的最優的算法。長期完全依賴于數學軟件，僅僅會機械的使用軟件，必然導致思維的僵化，創新精神的丟失。現在甚至出現在論文中看不到創作者所建立的具體的數學模型以及求解模型的算法或者流程，而只有大段的程序代碼。這是與數學建模的精神相違背的。

5 結語

數學軟件是數學建模中必不可少的重要工具，在模型的建立和模型的求解中都發揮著重要的作用。只要注意數學軟件所帶來的負面影響，以嚴格謹慎的態度，合理的適度的使用數學軟件，就一定能夠最大限度地使數學軟件服務于數學建模，在數模競賽中收到良好的效果。