MPCK下的“二次函數與一元二次方程”教學

西華師范大學 阮雯婧 孫 海

1 引言

20世紀80年代，美國教育家Shulman意識到了當地教師資格認證的缺失，在這一問題的催促下，“學科教學知識”(簡稱PCK)這一概念問世.Shulman對PCK的最初定義：教師如何將自己頭腦中的學科專業知識以各種巧妙方式呈現給學生，又便于學生理解的教育形態的知識，也包括清楚學生在學習某節內容時所產生的疑難和困惑.在Shulman提出的PCK理論基礎之上，我國著名教育學家黃毅英教授于2009年提出了MPCK理論.對于更具體的數學教師來說，黃毅英教授提出一個數學教師所應具備的教學知識包括三部分：數學學科知識(簡稱 MK)、一般教學法知識(簡稱 PK)以及學生數學學習的知識(簡稱 CK)，而這三者的交集便是MPCK[1].在教師的教學經驗層層累積下，教師的MK，PK，CK慢慢增加，相應地，MPCK就越來越豐富.下面就根據黃毅英教授提出的MPCK理論，從MK，PK，CK三個維度分析“二次函數與一元二次方程”的有關教學.

2 從MK維度分析

MK(即數學學科知識)指數學學科自身的知識，教師不僅要知曉屬于數學學科的知識，還要將之與其他學科聯系起來.總的來說，就是教師要“教什么”的知識.

在義務教育數學課程標準中，二次函數這一章的學習目標除卻二次函數本身的性質知識，還要求學生將其與一元二次方程建立聯系，利用二次函數的圖象求對應一元二次方程的近似解.隨著新一輪基礎教育課程改革的實施，在2017版高中數學新課程標準中，將原人教A版必修一第3章第1節的“函數與方程”部分的內容前置，放在新人教A版必修一第2章第3節“一元二次函數、方程和不等式”的位置，將其作為高中數學的預備知識進行學習[2].二次函數與一元二次方程的關系在初中高中都有設置，體現了其重要地位，這也是由學生認知發展決定的.這就要求教師在初中階段講授此內容時，不能只傳授給學生這兩塊內容的表面聯系，更重要的是要教會學生從整個數學知識體系以聯系和轉化的思想看待各知識點.

從教材的編寫來看，編寫者有意在本節內容多處滲透數形結合思想，結合實例引導學生從數和形兩個方面分析、解決問題，自然地理解它，并逐步加以靈活運用.教材(這里說的是新人教版)十分注意數與形的互補作用，突出兩者間的轉化對分析問題、解決問題的特殊作用.因此，本節內容對教師的MK有以下幾點要求：

(1)建立正確的數學觀念，認清本節內容在整個數學體系中所處的地位及其重要性，理解其對發展學生思想方法、思維能力的影響；

(2)對二次函數與一元二次方程之間聯系的理解不能浮于表面，要從一元二次方程和二次函數這兩章的高度進行教學；

(3)能夠提煉出其中蘊含的數學思想方法(包括數形結合、函數思想、類比、聯系與轉化思想).

3 從PK維度分析

PK(即一般教學法知識),具體來說就是教師根據MK確定教學目標、教學重點之后，依據CK確定教學難點，在此基礎上創設教學情境，做好相關知識點對學生來說自然而有效的呈現，做好學生知識體系的建構.

3.1 二次函數與一元二次方程的教學問題串設計

問題1：y=kx+b(k≠0)與kx+b=0(k≠0)中字母x的意義有什么區別？

解：y=kx+b(k≠0)中x表示的是某個變量，其描述的是變量x對變量y的作用規律.而kx+b=0(k≠0)中的x是滿足此方程對應數量關系的一個確定的值，也就是方程的解.

問題2：y=kx+b(k≠0)與kx+b=0(k≠0)之間的關系是什么？

解：二者能夠互相轉化，一元一次方程就是一次函數圖象與x軸的交點滿足的方程.而使得一次函數的函數值為0的自變量x的值即此函數對應的一元一次方程的解.

設計意圖：這兩個問題是人教版八年級下冊的內容，放在正式講解二次函數與一元二次方程的聯系之前，加深函數和方程中各自的x的認識與辨析，為學生下一步探究正式內容提供了參考.問題1與問題2起點低、坡度緩，聚焦學生的生長點，突出新課注重基礎、關注聯系的特點.

問題3：分別判斷方程x2-2x-3=0,x2-2x+1=0,x2-2x+2=0根的情況，并求解出來.

問題4：x分別取何值時，函數y=x2-2x-3，y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的值為0？

問題5：畫出函數y=x2-2x-3，y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象，分別指出拋物線與x軸的位置關系和交點情況.你能發現這些函數和其對應的方程之間的聯系嗎？

問題6：更一般地，函數y=ax2+bx+c(a≠0)與方程ax2+bx+c=0(a≠0)之間有何聯系呢？

本節課從一次函數與一元一次方程聯系的回顧問題出發，讓學生在類比中探究新知.問題3與問題4，設計出發點是啟發學生從數的角度認識求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是求對應函數y=ax2+bx+c(a≠0)取特殊值0值時x的值；從問題3、問題5與問題6來看，設計出發點是方便學生從形的角度了解一元二次方程的根的幾何意義，同時總結歸納出第二點：二次函數y=ax2+bx+c圖象與x軸的三種位置關系(兩個交點、一個交點、沒有交點)對應著一元二次方程ax2+bx+c=0根的三種情況(兩個不等實數根、兩個相等實數根、沒有實數根).

為了更好地幫助學生理清知識間的聯系，以上所有問題都在幻燈片上展示.對于和學生一起總結出來的兩點結論，教師也應該提前準備，將其轉換成更直觀的表格形式，以圖表的形式幫助學生進行知識表征，加深印象.

出于“體驗并理解函數與方程相互轉化的數學思想和數形結合的數學思想”的能力目標，本節課的設計關注教學內容“數”與“形”融合這一特點，也注重學生的自主探究與教師引導相結合.從拋物線與x軸交點情況出發設計問題，通過在幻燈片上移動拋物線，自然而然地展示出拋物線與x軸的交點從兩個到一個，再到沒有交點的情形，讓學生動態地感受拋物線與x軸的交點變化，引導學生對函數圖象進行再認識,自主探究二次函數圖象與x軸的交點的幾何特征，領悟一元二次方程的根會出現三種情況的原因，建立二次函數與一元二次方程的橫向聯系，學會用函數圖象的視角去分析問題和解決問題，也讓學生認識到對問題的分析不僅可以從“數”到“形”，還可以從“形”到“數”，真正體會數形結合的思想.

4 從CK維度分析

CK(即有關數學學習的知識)包含3個維度：有關學生發展的知識、學生學習的影響因素以及有關學生學習環境的知識[1].其要求教師要從知識、思維方法和能力素養方面分析學生的現有水平，同時分析學生在學習新內容時可能遇到的阻礙和困難.

4.1 知識、思想方法層面

在八年級下冊，學生已經經歷過結合一次函數圖象探究一次函數與一元一次方程及一次不等式之間的聯系，對數形結合以及由特殊到一般的思想方法已經有自己的體會.本節內容鼓勵學生將之前分析一次函數與一元一次方程聯系的方法遷移過來，類比學習，進一步體會數形結合、由特殊到一般的思想方法.

4.2 學生可能共同存在的阻礙和困難點

學生可能共存的困難是：有些學生往往對單純求解一元二次方程或二次函數的基礎題型是沒有問題的，但對一些有關一元二次方程的題目，雖然表面看起來跟二次函數沒關系，本質卻是用二次函數解決的題型難以下手(對于看起來是二次函數實際上應用一元二次方程的題型同樣如此).其原因在于學生對一元二次方程與二次函數之間的聯系的認識不夠深入，以致于在解決具體的數學問題時難以將二者靈活轉換、加以運用，教師可以從例1幫助學生突破.

例1若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數根，且其中一個根為另一個的2倍，則稱這樣的方程為“2倍根方程”.

(1)判斷方程x2-6x+8=0是否是“2倍根方程”，并說明理由；

(2)若關于x的方程ax2-3ax+c=0是“2倍根方程”，拋物線y=ax2-3ax+c與直線y=ax-2有且只有一個交點，求該點坐標.

解：(1)略；

(2)因為方程ax2-3ax+c=0是“2倍根方程”，設方程的兩根為x1,2x1，由韋達定理可得c=2a，所以有y=ax2-3ax+2a.聯立y=ax2-3ax+2a與y=ax-2,得ax2-4ax+2a+2=0.因為拋物線y=ax2-3ax+c與直線y=ax-2有且只有一個交點，所以Δ=(-4a)2-4a(2a+2)=0，解得a=1.聯立y=x2-3x+2與y=x-2，解得交點坐標為(2，0).

這道題第(2)問的難點在于：如何將“拋物線y=ax2-3ax+c與直線y=ax-2有且只有一個交點”這一函數條件轉化為方程條件，也可以說是如何將文字語言轉化為具體的數字語言.

在具體實施教學時，還有些學生對于3.1中的問題3～5有疑問：“之前已經解出了問題3和問題4的答案，并且得出了一元二次方程的根其實就是對應的二次函數取特殊值0值時自變量x的取值，為什么問題5還要研究函數圖象，得出‘拋物線與x軸的三種位置關系對應著一元二次方程的根的判別式的三種情況’這個結論呢？此結論有什么用？”對于學生提出的疑問，教師可以從具體的題目進行闡釋.

例2已知m>0，關于x的一元二次方程(x+1)·(x-2)-m=0的解為x1,x2(x1

A.x1<-1<2

C.-1

解：如圖1，函數y=(x+1)·(x-2)的圖象與x軸的交點坐標為(-1，0)，(2，0).方程(x+1)(x-2)-m=0的解為x1,x2，從圖象來看就是直線y=m(m>0)與二次函數y=(x+1)·(x-2)交點的橫坐標，由圖象可知x1<-1，x2>2，所以，x1<-1<2

圖1

如果不從函數的角度出發，是很難下手的，而從二次函數圖象分析，可以一眼看出答案.將這道題目呈現給學生，可以讓學生體會到從函數角度考慮問題的極大優越性，并再次感受函數在代數領域的統領地位.

5 結束語

總之，幫助學生建構起良好的知識體系是教師永恒的任務.以MPCK理論角度出發，就幫助學生建構好一元二次方程與二次函數的聯系來說，教師應當清楚認識、熟練掌握兩者之間的聯系、地位，通過教師掌握的CK知識預想學生的學習過程及可能遇到的障礙困難，結合自身PK知識、設計出合適的教學情境，做好相關知識自然而有效地呈現，同時在授課過程中，也應實時觀察學生，獲取學生遇到的知識表征障礙，及時解疑.教師若能在MK，PK，CK三個方面同時發力，才能達到滿意的教學效果.