如何在函數(shù)教學(xué)中融入建模思想

蔡 燕 （江蘇省張家港市沙洲中學(xué)，江蘇 張家港 215600）

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題，用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題的過程.建模思想是一種運用數(shù)學(xué)建模解決問題的思想，在高中函數(shù)教學(xué)中融入建模思想，有助于加深學(xué)生對不同函數(shù)類型的認(rèn)識，提高其運用函數(shù)解決實際問題的意識與能力，對提高其數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)成績具有重要的現(xiàn)實意義.

一、做好函數(shù)基礎(chǔ)知識講解

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要構(gòu)成部分，貫穿整個高中階段，是各類測試和高考的必考內(nèi)容.在函數(shù)教學(xué)中融入建模思想，不僅要求學(xué)生能夠?qū)嶋H問題情境進行合理抽象，準(zhǔn)確判斷與問題情境符合的函數(shù)模型，通過對相關(guān)參數(shù)邏輯關(guān)系的分析構(gòu)建對應(yīng)的函數(shù)模型，更要能夠靈活運用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解出最終的答案.為達到這一目標(biāo)，需要學(xué)生牢固掌握函數(shù)基礎(chǔ)知識以及相關(guān)的運算技巧.因此，函數(shù)教學(xué)時應(yīng)做好基礎(chǔ)知識講解.

高中階段涉及的函數(shù)主要有：二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù).不同函數(shù)基礎(chǔ)知識存在一定差異，其中函數(shù)的性質(zhì)包括單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對應(yīng)函數(shù)的圖像，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點與難點.教學(xué)實踐中為使學(xué)生更好地掌握函數(shù)基礎(chǔ)知識，為函數(shù)模型的建立做好鋪墊，應(yīng)注重采取以下措施，保證教學(xué)效率，使學(xué)生把握不同函數(shù)模型的特點，扎實掌握不同函數(shù)模型的性質(zhì)、圖像等知識.一，不同的函數(shù)均包括較多的基礎(chǔ)知識，如函數(shù)的定義域、值域、恒過的點等.這些知識相對容易，在進行該部分知識的教學(xué)時應(yīng)鼓勵學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)活動，并引導(dǎo)其圍繞相關(guān)知識點進行課堂討論，進一步澄清認(rèn)識，加深理解，使其能夠當(dāng)堂掌握.二，函數(shù)的性質(zhì)以及圖像難度較大，在進行該部分知識的教學(xué)時應(yīng)注重結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗以及不同函數(shù)特點設(shè)計探究性問題，在課堂上指引學(xué)生進行探究，尤其注重運用信息技術(shù)展示不同函數(shù)的圖像，給學(xué)生帶來直觀的認(rèn)識，使其能夠找到正確的探究思路，順利得出探究結(jié)論，真正把握函數(shù)知識的本質(zhì).三，引導(dǎo)學(xué)生做好不同類型函數(shù)知識的對比與記憶，采用對比記憶法，記憶不同函數(shù)的定義域、值域、圖像等.通過畫出相關(guān)思維導(dǎo)圖，將抽象知識直觀呈現(xiàn)出來，構(gòu)建系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，將各知識點串聯(lián)成串.

例如，構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題時往往會運用到函數(shù)的單調(diào)性.在教學(xué)中為使學(xué)生掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，真正理解函數(shù)單調(diào)性的含義，可運用多媒體技術(shù)為學(xué)生展示，如圖1.

課堂上要求學(xué)生用語言描述兩個函數(shù)圖像的特征.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)圖1（a），從左向右來看函數(shù)的圖像是上升的，圖1（b）從左向右來看函數(shù)的圖像是下降的.為使學(xué)生掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)思路，在課堂上提出如下探究性問題：“如何運用數(shù)學(xué)符號刻畫函數(shù)圖像的上升和下降趨勢呢？”要求學(xué)生思考探究.

圖1 （a）

圖1 （b）

二、傳授函數(shù)模型建模理論

函數(shù)模型的構(gòu)建對學(xué)生的綜合能力要求較高，需要學(xué)生扎實掌握建模的相關(guān)步驟，把握不同函數(shù)模型的構(gòu)建細(xì)節(jié).因此，在函數(shù)教學(xué)中為使學(xué)生在建模的過程中少走彎路，保證建模的正確性，應(yīng)注重函數(shù)建模理論的灌輸，幫助學(xué)生儲備更多函數(shù)建模理論知識，給其建模活動的開展提供指導(dǎo).

函數(shù)教學(xué)中為使學(xué)生更好地掌握函數(shù)建模的具體步驟，可借助多媒體技術(shù)為學(xué)生展示圖2 內(nèi)容，在學(xué)生頭腦中留下深刻的印象.同時為學(xué)生做好各個環(huán)節(jié)的解釋，使其認(rèn)識到建模中不同環(huán)節(jié)的作用，養(yǎng)成良好的建模習(xí)慣，在建模的過程中能夠自覺遵循建模步驟.

圖2

構(gòu)建函數(shù)模型時需要認(rèn)真了解實際問題，從數(shù)學(xué)的角度提出問題.同時，提煉出實際問題情境中的有效信息，對其進行合理的抽象、加工.聯(lián)系不同函數(shù)模型的特點，確定所構(gòu)建的函數(shù)模型類型.分析實際問題情境中不同參數(shù)之間的邏輯關(guān)系，建立相關(guān)的函數(shù)模型.需要注意的是建立函數(shù)模型時應(yīng)保證函數(shù)的定義域符合實際要求，否則即便求解出最終的結(jié)果也是無意義的.構(gòu)建函數(shù)模型后便將實際問題完全轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題，此時需要運用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)計算結(jié)果.當(dāng)然得出結(jié)果并不意味著萬事大吉，需要檢驗結(jié)果是否符合實際情況，并對相關(guān)函數(shù)模型進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，直到得出的結(jié)果符合實際.為使學(xué)習(xí)者更好地認(rèn)識到上述內(nèi)容的重要性，應(yīng)注重結(jié)合具體案例為其做出說明，使其真正地理解.

例如，某養(yǎng)殖場隨著技術(shù)的進步與規(guī)模的擴大，產(chǎn)量不斷增加.對2020 年10 個月的產(chǎn)量進行統(tǒng)計，如表1 所示：

表1

在教學(xué)中通過為學(xué)生列舉具體的實例，使學(xué)生認(rèn)識到構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題時應(yīng)做好相關(guān)模型的分析與優(yōu)化，當(dāng)發(fā)現(xiàn)構(gòu)建的函數(shù)模型和實際情況存在較大偏差時應(yīng)及時修正，如此才能為解決實際問題帶來更為切實可行的參考.

三、展示函數(shù)模型構(gòu)建過程

函數(shù)教學(xué)中融入模型思想時，為使學(xué)生更好地把握函數(shù)建模的過程，體會函數(shù)模型構(gòu)建細(xì)節(jié)，應(yīng)注重結(jié)合學(xué)生所學(xué)的函數(shù)模型做好實際問題情境的篩選，在課堂上為學(xué)生展示函數(shù)模型的構(gòu)建過程，給學(xué)生帶來良好的啟發(fā).不僅如此，為更好地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，授課的過程中應(yīng)注重與學(xué)生積極地互動，促使其主動地思考，激活高中數(shù)學(xué)課堂，使其積累相關(guān)的函數(shù)建模經(jīng)驗.在教學(xué)實踐中可圍繞以下習(xí)題展開教學(xué).

如今汽車智能輔助駕駛已開始得到應(yīng)用，該系統(tǒng)能夠通過雷達判斷車輛與前方障礙物間的距離，并做出相應(yīng)的動作.當(dāng)距離等于報警距離時就會報警提醒，等于危險距離時就會自動剎車.若將報警時間劃分為四段，準(zhǔn)備時間為，人的反應(yīng)時間為，系統(tǒng)反應(yīng)時間為，制動時間為，相應(yīng)的距離分別為，，，，如圖3 所示.并且當(dāng)車速（米秒）∈（0，33.3］時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到表2 給出的數(shù)據(jù)（其中受地面濕滑程度而變化，∈［1，2］）.

圖3

表2

根據(jù)上述情境提出問題：為保證安全，要求無論汽車行駛在何種路面，報警距離均小于50 米，則汽車的速度應(yīng)不超過多少千米小時？

上述問題情境來源于生活，能很好地吸引學(xué)生的注意力.為使學(xué)習(xí)者積極參與到聽課活動中，激活其思維，課堂上可設(shè)計如下問題與學(xué)生進行互動：（1）怎樣計算人的反應(yīng)和系統(tǒng)的反應(yīng)時間內(nèi)汽車移動的距離？（2）怎樣將提出的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題？（3）求解參數(shù)時應(yīng)該注意哪些細(xì)節(jié)？如此能驅(qū)使學(xué)生主動思考，又能指引學(xué)生關(guān)注函數(shù)建模過程中的相關(guān)細(xì)節(jié).在與學(xué)生互動的過程中，為學(xué)生展示數(shù)學(xué)建模的整個過程.

求解出相關(guān)參數(shù)后，將參數(shù)帶入創(chuàng)設(shè)的問題情境以及實際情況中，發(fā)現(xiàn)得出的參數(shù)符合實際情況，表明函數(shù)模型是正確的，因此不需要對模型進行調(diào)整.

四、組織學(xué)生開展建模訓(xùn)練

函數(shù)教學(xué)中融入模型思想時應(yīng)注重明確教學(xué)的目標(biāo)，即使學(xué)生能夠靈活運用所學(xué)，構(gòu)建正確的函數(shù)模型解決實際問題.為實現(xiàn)這一目標(biāo)，在為學(xué)生做好函數(shù)模型構(gòu)建示范后應(yīng)注重組織學(xué)生開展建模訓(xùn)練活動，使學(xué)生親身體會整個建模過程，及時發(fā)現(xiàn)與彌補自身學(xué)習(xí)中的不足，實現(xiàn)函數(shù)建模能力的進一步提升.

眾所周知，高中數(shù)學(xué)習(xí)題較多，質(zhì)量參差不齊，而課堂時間有限且寶貴，因此組織學(xué)生開展建模訓(xùn)練時應(yīng)嚴(yán)把訓(xùn)練習(xí)題關(guān)，保證建模訓(xùn)練質(zhì)量.一方面，要認(rèn)真查閱相關(guān)資料，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容選擇代表性較強的訓(xùn)練習(xí)題.同時，在訓(xùn)練習(xí)題難度上應(yīng)注重遵循由易到難的原則，更好地提高學(xué)生的心理預(yù)期，激發(fā)其參與訓(xùn)練的積極性.另一方面，在訓(xùn)練的過程中要求學(xué)生獨立思考，積極聯(lián)系所學(xué)的函數(shù)知識以及函數(shù)建模理論，規(guī)定訓(xùn)練的時間，使學(xué)生全身心投入到訓(xùn)練活動中.在課堂上可以給出以下習(xí)題，要求學(xué)生思考、作答：

某企業(yè)為進一步擴大經(jīng)營，準(zhǔn)備從、兩種產(chǎn)品中選擇其中一種投資生產(chǎn).其中投資兩種產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)如表3（單位：萬元）：

表3

其中年固定成本不受年生產(chǎn)件數(shù)的影響，為參數(shù)，其值由產(chǎn)品的原材料價格決定，預(yù)計∈［6，8］，另外年銷售件產(chǎn)品需要上交0.05萬元的特別稅費.已知生產(chǎn)出來的產(chǎn)品均能在當(dāng)年銷售出去.

訓(xùn)練時要求學(xué)生認(rèn)真閱讀問題情境，根據(jù)經(jīng)驗提出合理的問題，構(gòu)建相關(guān)的函數(shù)模型解決問題.最終在教師的引導(dǎo)下學(xué)生提出問題：選擇哪一種產(chǎn)品進行投資，能夠獲得最大年利潤？圍繞該問題，需要認(rèn)真分析表格中的數(shù)據(jù)，構(gòu)建模型，分析投資產(chǎn)品和產(chǎn)品分別獲得的最大年利潤，然后進行比較做出判斷.

設(shè)生產(chǎn)，產(chǎn)品獲得的年利潤分別為，，根據(jù)成本、產(chǎn)量、利潤以及題干可構(gòu)建如下函數(shù)模型：

＝10-（20+）＝（10-）-20，0≤≤200 且∈N，

＝18-（40+8）-0.05＝-0.05+10-40，0≤≤120 且∈N，

設(shè)（）＝（）-（），

∵∈［6，8］，10-＞0，則為增函數(shù)，

∵0≤≤200 且∈N，則當(dāng)＝200 時取得最大值為1 980-200

∵＝-0.05+10-40 ＝-0.05（-100）+460，0≤≤120 且∈N，∴當(dāng)＝100 時，取得最大值460.

∴（）＝（）-（）＝1 980-200-460 ＝1 520-200∵∈［6，8］，接下來需要進行分類討論：當(dāng)∈［6，7.6）時，（）＞0，此時投資產(chǎn)品，年生產(chǎn)200 件，可獲得最大利潤；當(dāng)＝7.6 時，（）＝0，此時投資，產(chǎn)品，獲得的年利潤一樣多；當(dāng)∈（7.6，8］時，（）＜0，此時投資產(chǎn)品，年生產(chǎn)100 件，可獲得最大利潤.

該訓(xùn)練習(xí)題質(zhì)量較高，不僅考查學(xué)習(xí)者的函數(shù)建模能力，而且需要學(xué)習(xí)者在求解模型的過程中運用分類討論思想，是一道不可多得的好題.訓(xùn)練的過程中應(yīng)注重觀察學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，走下講臺了解學(xué)生的建模進度，尤其當(dāng)學(xué)生建立正確的模型，得出正確的結(jié)果時應(yīng)注重提出表揚，使其嘗到構(gòu)建函數(shù)模型的成就感，樹立構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的自信心.

五、總 結(jié)

建模思想是一種重要的思想，被納入高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)容中.因此在高中函數(shù)教學(xué)中應(yīng)認(rèn)識到融入建模思想的重要價值，將建模思想融入教學(xué)工作中，認(rèn)真學(xué)習(xí)函數(shù)建模的相關(guān)理論知識，尤其是要結(jié)合高中階段整個函數(shù)部分的教學(xué)做好建模思想融入的規(guī)劃，結(jié)合教學(xué)的具體環(huán)節(jié)，積極采取有針對性的融入策略，使學(xué)生在扎實掌握函數(shù)知識的同時，掌握相關(guān)的函數(shù)建模知識，使學(xué)生函數(shù)建模能力得到有效鍛煉與提升.