大跨人行懸索橋非線性斜風靜力穩定研究

管青海王劍李加武劉健新

(1.山東建筑大學交通工程學院，山東濟南250101；2.長安大學陜西省公路橋梁與隧道重點實驗室，陜西西安710064； 3.天津城建大學 天津市土木建筑結構防護與加固重點實驗室，天津300384；4.長安大學 風洞實驗室，陜西西安710064)

0 引言

風對橋梁的作用一般簡化為靜力作用和動力作用兩類。 其中，動力作用考慮風與橋梁的能量交換過程，而靜力作用只關注靜風壓力作用，靜力作用與動力作用一樣，都可能引起橋梁風致失穩。 橋梁靜風失穩試驗現象最早可追溯到1967 年加拿大Hirai教授的風洞試驗。 對于大跨橋梁靜風穩定性問題，許多學者[1-7]展開了不斷的研究，基本分析了靜風失穩發展過程及作用機理。 近年來，又進一步豐富了橋梁靜風穩定問題的研究，諸如大跨度斜拉橋靜風穩定安全系數的估算方法[8]、基于應變能和動力特性分析了三塔懸索橋氣動失穩模式和破壞機理[9]、不同箱梁形式對雙主跨斜拉橋靜風失穩與顫振發散的競爭關系[10]、非均勻風場(非均勻風速、非均勻風攻角)對大跨度斜拉橋靜風穩定性的影響等研究[11-13]。

橋梁實際風場風向可能多變，法向風也不一定是最不利風荷載，已有研究表明大跨橋梁靜風失穩最不利狀態有可能是小偏角斜風工況[14]。 橋梁斜風靜力荷載可以通過風洞試驗直接獲得斜風作用下的橋梁靜氣動力系數[15-17]，這種方法的實驗裝置復雜；還可以基于計算流體動力學計算不同風偏角下的橋梁三分力系數[18]，其計算精度有待提高。 在小風偏角情況下，忽略斜風姿態相對橋梁斷面帶來的氣動外形的影響，斜風正交分解具有一定的工程精度。 文章基于正交分解方法并計入橋梁三維空間變形的影響，不需試驗獲取斜風靜氣動力系數，直接推導出橋梁斜風非線性靜力荷載計算公式， 研究了420 m主跨人行懸索橋非線性斜風靜力穩定。

1 考慮橋梁三維變形的斜風非線性靜力荷載

靜風荷載與結構變形存在氣動耦合作用，使得靜風荷載存在荷載非線性，正確給出靜風荷載表達式，必須要計入橋梁空間變形的影響。 對于法向風而言，一般只需要計入主梁扭轉變形對有效風攻角的影響，而對于斜風作用，則要綜合考慮主梁的側彎、豎彎與扭轉等3 方向的空間變形。

設主梁任意i節點作用斜風風速V，主梁i節點發生靜風三維空間變形，其中側彎位移會影響初始風偏角從而形成有效風偏角，扭轉角位移會影響初始風攻角從而形成有效風攻角，豎彎位移則影響斜風作用在主梁水平方向的摩擦力。

1.1 有效風偏角與有效風攻角

在靜風作用下，主梁發生側彎變形，相對于主梁初始法線會產生側彎角，側彎角疊加初始風偏角為主梁在此級風速下的有效風偏角。 主梁i節點側彎角φ i( )由式(1)表示為

式中φ i( )為主梁i節點側彎角，rad；UX(i)為主梁i節點背風側邊緣順向位移，m；B為主梁寬度，m。

進而，當前風速下主梁i節點的有效風偏角βe由式(2)表示為

式中βei( )為主梁i節點有效風偏角，rad；β0為初始風偏角，rad。

斜風風攻角來自于斜風法向分量風攻角，在風速作用下，斜風法向分量風攻角并不等于初始風攻角，還要受到有效風偏角的影響，一般而言，斜風法向分量風攻角要大于初始風攻角。 斜風法向分量風攻角由斜風豎平面分量Vsinα0和斜風法平面分量的余弦分量Vcosα0cosβei( )[ ]構成，由式(3)表示為

式中α′ i( ) 為主梁i節點斜風法向分量風攻角，rad；α0為初始風攻角，rad。

有效風攻角角度關系如圖1 所示，斜風法向分量風攻角α′ i( ) 疊加主梁扭轉角ROTXi( ) ，即為斜風作用下主梁i節點的有效風攻角αe(i)由式(4)表示為

圖1 主梁有效風攻角示意圖

式中αe(i)為主梁i節點有效風攻角，rad；ROTX(i)為主梁i節點扭轉角，rad。

1.2 斜風非線性靜力荷載表達式

不計橋梁縱坡影響相鄰主梁節點的初始高差，主梁i節點的豎彎角由式(5)表示為

式中γ i( )為主梁i節點豎彎角，rad；UY(i)為主梁i節點的豎向位移，m；Li為主梁i與i+1 節點間的長度，m。

主梁豎向位移作用下， 斜風水平分量Vcosα0sinβei( )[ ]又產生余弦分量和正弦分量，由于有效風偏角βei( ) 和主梁豎彎角γ i( ) 一般較小，其正弦分量Vcosα0sinβei( )[ ]sinγ i( )[ ]也較小，可忽略不計。 斜風最后分解風速為

式中FD(i)、FL(i) 分別為主梁i節點法向風的單位長度靜氣動阻力、靜氣動升力，N/m；FM(i) 為主梁i節點法向風的單位長度靜氣動升力矩，N；CDαei( )[ ]、CLαei( )[ ]、CMαei( )[ ]分別為主梁i節點有效風攻角下的阻力系數、升力系數和升力矩系數，單位量綱為1；cf是與橋面光滑情況相關的摩擦系數，建議根據JTG/T 3360-01—2018《公路橋梁抗風設計規范》偏安全地取最大值0.04[19]；V為斜風風速，m/s；s為主梁周長，m；H為主梁梁高，m；ρ為空氣密度，kg/m3。

2 非線性斜風靜力穩定理論及數值計算

2.1 非線性斜風靜力穩定理論

材料非線性、幾何非線性和靜風荷載非線性等3 方面是橋梁結構靜風穩定分析的非線性問題。 鋼橋臨界靜風失穩前的材料非線性問題不突出，所以材料非線性問題基本可不考慮。 幾何非線性問題需要通過迭代幾何大變形修正剛度矩陣來實現。 由橋梁位移與風荷載氣動耦合引起的靜風荷載非線性是分析中最核心的非線性問題，對于常規法向風，靜風荷載僅是有效風攻角的函數，斜風靜力荷載表達式(6)～(9)知，斜風靜力荷載不僅是有效風攻角的函數，同時也是有效風偏角的函數，這就要求在斜風靜力荷載迭代計算過程中，不但要求對有效風攻角進行迭代，也要求對有效風偏角同步進行迭代。

大跨橋梁靜風失穩問題，即是求解靜風荷載幾何大變形下的非線性問題，由式(10)表示為

式中左端項[KL(δj-1)]、[Kσj-1(δj-1)]G+W分別為第j-1 迭代步的線彈性剛度矩陣、重力和靜風荷載同步疊加作用下的幾何剛度矩陣，其中 [ Δδj]為第j步迭代結構位移增量矩陣； 方程右端項[Rj(Vi，αj，βj)]、[Rj-1(Vi，αj-1，βj-1)]為斜風風速Vi作用下有效風攻角αj和有效風偏角βj第j迭代步、有效風攻角αj-1和有效風偏角βj-1第j-1 迭代步的斜風靜力荷載，具體計算分別參見式(6)～(9)。

非主梁結構一般不需要計入斜風水平分量風荷載，只需要考慮靜風阻力作用，非零風攻角工況下，將靜風阻力正交分解為法向力和豎向力。

2.2 基于ANSYS 的斜風靜力穩定分析方法

對不同風速下的非線性靜風響應計算，需要采用增量法求解方程式(10)。 首先方程式本身需要迭代計算；其次需要對風速分級逐步增量迭代計算，所以實現非線性靜風穩定全過程分析要選取內外增量雙層迭代范式。

采用有限元軟件ANSYS 參數化設計語言APDL 編制計算分析程序。 風攻角正負取決于風荷載方向和結構扭轉位移方向，設風荷載方向取ANSYS 總體坐標系正方向，根據右手螺旋法則，正向風攻角定義為使結構產生逆時針扭轉位移趨勢的來流風向。 具體分析步驟為

(1) 初始自重狀態求解，在后續風荷載計算中計入自重應力效應；

(2) 根據主梁空間位移得到斜風工況下的有效風攻角和有效風偏角，計算斜風靜力荷載；

(3) 啟用應力剛化，采用NEWTON-RAPSON方法(牛頓-拉弗森迭代)計算該級風速下的非線性響應；

(4) 判斷求解計算斂散性，若發散，則縮短風速步長，返回步驟(2)重新計算，若收斂，則將斜風法向分量風攻角疊加主梁扭轉角得到有效風攻角；

(5) 判定靜風荷載斂散性，判定規則為位移范數或靜氣動力系數范數在規定次數內是否收斂于0，若收斂，則增加風速進行下一級風速計算，如發散，則前一級風速為靜風失穩臨界風速。一般臨近失穩風速時，需縮短風速增量，以求得滿足風速精度的臨界失穩風速。

3 非線性斜風靜力穩定分析

3.1 橋梁概況及有限元模型

3.1.1 橋梁概況

420 m 主跨人行懸索橋位于山東臨沂天蒙景區內，大橋橫跨V 形山谷，最大縱深達143 m，風環境惡劣，風攻角風偏角常年多變。 施工圖設計采用跨徑組合為(38+420+47.5)m 雙塔懸索橋。 主纜采用預制平行鋼絲索股法施工，吊桿間距為3 m，抗風拉索間距為6 m；主梁兩側各設置傾角為35°～53°連續變化抗風纜，出于地形地質條件限制，主梁兩側抗風纜錨固點并不是嚴格對稱；橋塔為門式混凝土結構。

主梁為縱橫型鋼梁混凝土橋面板結構，主梁兩端附有風嘴。 為防護行人安全，欄桿總高度為1.75 m，欄桿立柱附設透風率70%的鋼網，主梁全寬4.0 m，寬跨比為1∶105，該橋屬于寬跨比很小的窄橋，主梁標準橫斷面如圖2 所示。

圖2 主梁標準橫斷面圖/mm

3.1.2 全橋有限元分析模型

依據大橋結構參數，基于ANSYS 有限元軟件建立全橋三維有限元模型。 梁構件采用BEAM4 單元模擬，纜索構件采用LINK10 單元模擬，附屬構件、二期鋪裝等質量構件采用MASS21 單元模擬。 全橋空間有限元模型如圖3 所示，大橋剛度低，基頻僅為0.24 Hz，主梁扭彎頻率比為1.95。

圖3 全橋三維有限元模型圖

3.2 斜風作用下非線性靜風穩定分析

3.2.1 主梁靜三分力系數

對于大跨柔性窄懸索橋來講，高風速下靜風扭轉位移較大。 常規抗風試驗風攻角±10°測試范圍可能難以滿足靜風穩定分析需要，所以文章選取±15°試驗風攻角靜三分力系數，測定風攻角變化步長取1°，在1°范圍內三分力系數取相鄰攻角間線性內插值。

在長安大學CA-1 風洞實驗室中進行主梁靜氣動力系數測定試驗。 剛體節段試驗模型幾何縮尺比為1∶14，其模型長度為866 mm、高度為170 mm、寬度為286 mm，模型制作誤差≤1 mm。 在試驗模型兩端設置橢圓形二元板來保證試驗模型端部二維繞流特性，試驗來流風速為均勻風場15 m/s。 大橋主梁斷面±15°風攻角范圍內的靜三分力系數如圖4 所示。

圖4 主梁靜三分力系數圖

3.2.2 法向風作用下的靜風失穩發展過程

采用文章提出的分析方法進行了0°風攻角法向風(即0°風偏角)來流作用下的靜風穩定性分析，考慮靜陣風系數影響，大橋計算靜風失穩臨界風速為75 m/s。 圖5 給出了法向風作用下全跨主梁靜風位移隨風速的變化過程，受不對稱抗風纜的影響，大橋靜風位移表現出輕微不對稱性；隨著靜風風速的增長，主梁靜風位移增速先慢后快，接近靜風失穩臨界風速時，增速最大，呈現出明顯的靜風位移非線性增長特性；最大靜風位移基本都發生于主跨跨中位置；靜風失穩臨界形態時，主梁扭轉變形占比較大，豎向位移次之，呈現出一種復雜彎扭耦合的三維空間變形狀態。

圖5 主梁靜風位移圖

纜索系統的重力剛度是懸索橋的主要剛度來源，一旦纜索構件發生應力松弛，懸索橋系統剛度則迅速衰減，所以纜索構件應力松弛是靜風失穩發生的先決條件。 從前述分析可知，大橋靜風最大位移發生在跨中位置，所以分析跨中纜索構件的靜風應力變化可以基本解釋靜風失穩的衍變過程。 經計算分析得知，迎風側纜索構件與背風側纜索構件靜風應力變化呈現明顯的不同，迎風側纜索構件應力隨風速的增長而增長，其中迎風側抗風纜增長幅度最大，臨界風速時靜風應力增幅高達170%，這也表明抗風纜對靜風穩定有較大的貢獻；背風側纜索構件靜風應力變化較為復雜，主纜和吊桿應力隨風速增長先降后升，而抗風纜和抗風拉索則一直隨風速增長而降低，臨界風速時，背風側抗風拉索應力降幅達87%，背風側抗風纜應力降幅高達98%，基本上背風側抗風纜接近完全松弛，此時懸索橋殘余剛度已不足以抵抗微小的風速增量，所以大橋靜風失穩是由抗風纜應力松弛卸載導致的。 跨中主纜與抗風纜應力隨風速變化的全過程如圖6 所示。

圖6 跨中主纜與抗風纜靜風應力變化圖

3.2.3 斜風作用下靜風失穩臨界風速

考察斜風對大跨度人行懸索橋靜風穩定性的影響，采用提出的分析方法計算了0°、+3°、-3°、+5°、-5°等風攻角下0°、5°、10°、15°、和20°風偏角的大橋靜風失穩臨界風速，計算結果如圖7 所示。

圖7 靜風失穩臨界風速圖

由計算結果可知，負攻角對大橋靜風穩定有利，正攻角靜風失穩臨界風速遠低于負攻角，最低靜風失穩臨界風速發生在0°初始風偏角，隨著風偏角的增大，靜風失穩臨界風速隨之增大，小角度斜風對該橋靜風失穩臨界風速影響不大。 在一定程度上，斜風降低了法向作用分量，但是同時增加了水平分量，其作用對于橋梁靜風穩定的影響利弊不一，應該因橋而異。 一般來說，如果增加的水平分量作用不足以補償降低的法向分量作用，則最不利靜風工況總是來自于法向風，反之則來自于斜風。

4 結論

文章提出了一種實用的斜風作用下大跨橋梁靜風穩定性分析方法，其可以計入橋梁靜風空間變形對斜風靜力荷載的影響，推導了斜風荷載理論表達式，基于所提出的方法編制了內外兩重迭代的大跨橋梁斜風靜力穩定分析程序，研究了420 m 主跨人行懸索橋斜風靜力失穩發展過程，分析了風偏角對該類橋梁靜風失穩臨界風速的影響，主要得出以下結論:

(1) 斜風靜力荷載表達式是有效風攻角與有效風偏角的函數，精確考慮斜風靜力荷載作用，要求對有效風攻角和有效風偏角同步進行迭代。 基于正交分解方法推導斜風靜力荷載表達式的假設前提為:在小偏角下，忽略橋梁斷面相對于斜風姿態帶來的氣動外形影響。 所以只有小偏角斜風才可以應用文章所推導的斜風靜力荷載理論公式。

(2) 低風速下主梁靜風位移增長相對緩慢，高風速下主梁位移非線性迅速增大，靜風失穩形態以主梁扭轉變形為主，同時豎向位移分量也占有較大比例，是一種復雜的彎曲扭轉耦合的三維空間變形狀態。 在靜風彎扭空間大變形作用下，背風側纜索系統應力大幅卸載，最終背風側抗風纜應力接近完全卸載導致懸索橋整個系統剛度喪失，從而發生了靜風失穩。

(3) 以往某些大跨度公路橋梁靜風失穩最不利工況來自小偏角斜風，而文章分析的大跨度人行懸索橋最不利靜風失穩來自于法向風，小角度斜風對該橋靜風失穩臨界風速影響不大。 對于其他類型的橋梁，該結論有待進一步檢驗。