結合高斯濾波器和骨架的結構光中心提取算法

熊厚旺，陳建政

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

0 引言

線結構光測量技術具有穩定性高、抗干擾性強的特點，在三維圖像處理系統中運用廣泛[1]。其主要工作原理是激光器產生的線結構光束投射在被測工件表面，利用CCD相機拍攝調制后的結構光光帶圖像，再依據光帶中心位置的偏移信息計算求得目標物體的三維幾何參數。其中快速、準確地提取光帶條紋中心的位置是測量技術的關鍵。

常見的光條紋中心提取方法有極值法、曲線擬合法和灰度質心法等。大多數算法經過改進后在精度上能夠滿足測量需求[2-3]，但忽視了對提取速度的分析，而且光條中心提取速度影響著檢測系統的實時性。測量實時效果好才能帶來更好的使用體驗和實際應用價值。如今，采用車載方式進行動態巡檢是現代軌道交通基礎設施檢測及維護的發展趨勢，這需要車載檢測系統能夠迅速處理采集的數據并發送指令至執行端，或將處理好的數據發送至終端，讓相關人員了解檢測對象實時的情況。例如無人駕駛技術需要檢測系統的反饋及時并對周圍環境進行實時的監測。

目前越來越多研究重心放在提高光條中心的提取速度上。雷海軍等[4]提出了一種將閾值法和可變方向模板法相結合的快速檢測結構光光條中心的方法；孫軍華等[5]利用卡爾曼濾波實時預測激光光條所在的區域，使用灰度最大值法和海森矩陣法相結合的方法提取光條中心亞像素坐標，使計算速度顯著提升。Steger算法具有精度高，魯棒性好的優點，其缺點是運算量大，難以實現光條中心的快速提取。

本文將在Steger算法的基礎上進行改進，引入光條骨架，將算法運算區域集中在光條骨架附近，同時利用IIR型高斯濾波器提高海森矩陣的運算效率，求得光條紋各點的法線方向，并在該法線方向尋找光條中心點。

1 Steger算法基本原理

Steger算法是對曲線擬合思想的改進，處理圖像時把圖像按二維函數進行處理，尋找二維函數極值點，把像素點用二次泰勒公式展開，通過計算該多項式極值的方法來尋找光帶中心。

設圖像的任意一點的像素坐標為(x0,y0)，對圖像用二次泰勒公式展開：

(1)

由表達式可知，對圖像采用泰勒公式展開時，需要求解圖像的各項偏導數rx、ry,、rxy、rxx和ryy。圖像偏導數一般采用卷積模板的方法進行求解。由于激光條紋的高斯分布特性，采用高斯函數的各項偏導數作為卷積模板，與圖像r(x,y)進行卷積，得到各項偏導數。

泰勒二次展開公式第三項系數為海森矩陣，如下式所示：

(2)

式中g(x,y)為二維高斯函數。

由海森矩陣的性質可知，H(x,y)的兩個特征值分別對應圖像像素點(x,y)處的二階極大值和極小值，對應特征向量描述了特征值方向。設 (x0,y0)的法線方向為 (nx,ny)，在(nx,ny)所指方向上尋找二階導數大于設定閾值的點即中心特征點，若求得特征點，則法線方向(nx,ny)與H(x0,y0)中最大絕對特征值的特征向量對應，r(x0,y0)在(nx,ny)方向上的二階導數與H(x0,y0)最大絕對特征值對應[6]。

圖像像素點(x0,y0)沿上述法線方向(nx,ny)的泰勒展開可以表示為

(3)

式中：t為像素點(x0,y0)沿法線方向移動尋找特征點的步長系數，(tnx,tny)為像素點在法線方向的偏移量。對于二維圖像r(x,y)，因為結構光截面呈高斯分布，則在光帶中心點處一階導數過0點，可認為在法線方向(nx,ny)上一階導數為0，并且二階導數絕對值極大值所對應點為光帶特征中心點，則將式(3)對t進行一階偏導[6]：

(4)

聯立式(3)、式(4)求取能滿足光帶中心點條件的t：

(5)

則圖像灰度極值點為(px,py)=(x0+tnx,y0+tny)。

通過對Steger算法的原理分析可知，為了得到海森矩陣，該算法需要對圖像各個像素點進行5次二維高斯卷積計算，若圖像大小過大會增加算法的運算量，很難實現中心線的實時提取。因此，需要從兩方面對該算法進行優化：1)光條邊緣部分大多數情況下并不是光條的理論中心位置，可以盡量避免光條的邊緣點參與算法的運算過程；2)若二維高斯模板的大小為n×n，則一次二維卷積的運算量為n2次乘加，圖像和高斯模板越大，卷積運算的運算量就越大，可以針對卷積運算過程進行簡化，以減少運算量。

2 對傳統Steger算法的優化

2.1 引入光條骨架對光條中心區域進行定位

骨架是二維二值目標的重要拓撲描述，它是指圖像中央的骨骼部分，是描述圖像幾何及拓撲性質的重要特征之一，同時具有較高的提取速度。將其應用在結構光中心提取領域，能夠快速地定位光條的中心區域，在對光條各行進行算法運算時，優先對骨架點所對應的光條點進行該點海森矩陣的求取，若所得結果不滿足判斷條件，則對該點相鄰位置的其他像素點進行運算，直至求得滿足條件的光條中心點。

2.2 IIR型高斯濾波器對卷積運算的簡化

LI B C和MA S D[8]提出，任意形狀的濾波器都可以用遞歸的方法實現，文獻[9]分析了高斯濾波器及其微分形式濾波器，并提出各形式濾波器的遞歸算法。這種濾波器稱為IIR(有限長單位沖激響應)型的高斯濾波器，也被稱為遞歸濾波器。本文將該遞歸優化算法應用在對圖像高斯卷積運算的優化上，以提高傳統Steger算法的運算效率。

遞歸高斯濾波是在高斯函數基礎上的一個近似表達式：

(6)

式中a0、a2、a4、a6都是能算出的常數。

由于高斯函數的傅里葉變換仍為高斯函數，用q代替σ，分子用A0代替，則在傅里葉域中，高斯函數的近似表達式為

(7)

用s=jw代入式(7)，即可得拉普拉斯域高斯函數的近似多項式

(8)

將上式進行因式分解并進行Z變換將表達式由s域轉至z域，得到以下兩式：

(9)

(10)

最后利用Z變換的時域特性對式(9)求解差分方程：

?A1X(z)=b0Y(z)-b1z-1Y(z)-b2z-2Y(z)-b3z-3Y(z)

?A1x[n]=b0y[n]-b1y[n-1]-b2y[n-2]-b3y[n-3]

?y[n]=Bx[n]+(b1y[n-1]+b2y[n-2]+b3y[n-3])/b0

(11)

同理由式(10)求解差分方程：

y(n)=Bx(n)+[b1y(n+1)+b2y(n+2)+b3y(n+3)]/b0

(12)

式中B=1-(b1+b2+b3)/b0

式(11)為高斯濾波的前項遞歸輸出，式(12)為后項遞歸輸出。對圖像先后進行這兩個差分方程計算就能實現高斯濾波。由于對圖像的高斯濾波就是利用高斯濾波器對圖像進行高斯卷積的結果，假設輸入圖像為Pin[n]，在對圖像進行前向遞歸得w[n]，再進行后向遞歸后，得到高斯卷積結果Pout[n]為

(13)

式中：

b0=1.578 25+2.444 13q+1.428 1q2+0.422 205q3

b1=(2.444 13q+2.856 19q2+1.266 61q3)

b2=-(1.428 1q2+1.266 61q3)

b3=0.422 205q3

對圖像高斯卷積的一階微分、二階微分前項遞歸輸出和后項遞歸輸出為：

通過分析高斯卷積及其微分形式的遞歸式可發現，該方法相對于傳統Steger算法，受高斯核σ的影響減小，傳統Steger法的卷積模板大小與高斯核取值有關，而高斯核的取值又與光條寬度有關，高斯核增大會造成高斯卷積模板增大，最終導致運算量的增加。而在本文方法中σ僅用于定義q值，b0、b1、b2、b3和B為與q有關的值，在對某一行光條進行中心點提取時只被計算一次。因此高斯卷積結果求解過程的計算量固定，且本次的輸出結果能作為下一點計算的輸入值，這使得海森矩陣的計算效率大大提升，能有效提高結構光中心提取速度。

2.3 結構光中心提取步驟

對于一張光條圖像，用本文所介紹方法進行中心線快速提取需進行如下步驟：

1)提取光條骨架上一點p，并定位該點在光條圖像中的對應點P；

2)得到點P所在行的光條寬度w，以w的值確定高斯核σ，再以高斯核σ確定遞歸算法的系數q、b0、b1、b2、b3和B；

3)利用高斯卷積及其微分形式的遞歸表達式計算各項偏導數rx、ry,、rxy、rxx和ryy；

4)求解點P海森矩陣的特征值和特征向量，得到P點的法線方向；

5)判斷法線方向一個像素范圍內是否存在滿足條件的特征點。若存在，則該特征點為光條中心點，取骨架下一行點，重復步驟1)，若不存在，則取點P相鄰點，重復步驟3)。

在提取完所有光條骨架點后，結構光中心線提取流程結束。

3 實驗分析

為驗證改進方法的可靠性，分別從提取效率、提取效果以及提取精度3個方面對改進算法進行實驗分析。實驗基于三角測量法的線結構光測量系統，模擬實際應用場景，選取地鐵接觸軌測試模型作為測量對象，利用接觸軌檢測裝置對模型進行試驗。實驗拍攝到的光帶圖像如圖1所示。由于相機拍攝角度問題以及被測物拍攝面存在深度差，導致4幅圖中光帶存在不同程度的偏折甚至斷連現象。骨架的提取采用ZHANG Z并行快速細化法[10]，提取效果如圖2所示。

圖1 相機拍攝所得光條

圖2 光條細化所得骨架

3.1 提取效率分析

由于Steger算法運算量大，將在該方法上所耗費的時間作為影響提取效率的指標，比較傳統Steger算法和本文改進Steger算法運算時間，在Steger算法函數開始和結尾處增加計時函數，記錄運行時間，改進方法除了記錄遞歸算法運行時間外，還需記錄骨架細化的時間。在針對Steger法的優化上使得運算量越小，運算時間越短，實時性就越好。表1為兩種算法對4種光條圖像進行多次中心線提取所耗費的平均時間。

表1 兩種算法提取4幅圖像中心線所耗費時間對比 單位：ms

從表1可以看出，引入骨架后，在Steger法上所耗費的時長有了明顯的縮減，提取光條1和2的中心線所花費時間減少了58.6%和57.1%；提取光條3和4中心線時間減少更為明顯，分別減少了70.6%和76.9%。這主要是因為光條3和4像素點個數更多，在利用骨架對光條中心區域定位后，避免了邊緣位置的像素點參與到運算當中，減少了計算量。為了驗證骨架的定位效果，對兩組遞歸算法進行運算次數的統計，其中一組引入骨架，另外一組不引入骨架，統計結果如表2所示。在引入骨架后，像素點參與運算的次數大幅減少，且光條3和光條4原本運算次數較多，在算法改進后，運算次數的減少尤為顯著，因此在時間優化上的提升也更突出。

表2 4種光條像素點在兩種算法中參與運算的次數 單位：次

3.2 提取效果分析

光條2、光條3中心線提取結果如圖3所示。因為兩種方法本質上都是利用海森矩陣在法線方向求取光條中心，可見除上下端部及中間偏折位置有明顯區別外，其余區域無明顯區別。為了進一步驗證改進方法不僅能較少運算量，還能保證中心線的提取與原方法相同，采用圖像相減法驗證。

圖3 新老方法提取結果對比圖

圖4為經過相減函數得到的結果圖，二者的區別主要表現在端部和光條有明顯中斷的位置。中斷處存在差別是因為原圖像偏折位置存在中斷導致骨架存在中斷，中斷位置無法提取中心點，所以改進方法更符合實際情況；端部位置則是由于該處結構光離散度大，傳統算法會提取出多個符合條件的中心點，這也是傳統算法存在的一個問題。此外端部和中斷位置點都不是檢測后續轉換計算的目標點，因此改進方法所求中心線符合提取要求。

圖4 新老方法結果相減圖

3.3 提取精度分析

以光條3在兩種方法處理下得到的光條中心線為分析對象，在中心線不同位置提取10組對應點，分析改進方法的提取精度，對應點的坐標值及誤差值如表3所示。

表3 兩種算法所提取10組對應點的坐標值及誤差 單位：像素

通過觀察表3可發現，10組對應點在x或y方向坐標差值在0.1像素左右。計算后求得x方向的RMS誤差為0.085，y方向的RMS誤差為0.063，說明改進方法在利用高斯濾波器簡化運算過程中并未造成嚴重的精度損失，兩種方法提取精度接近。

4 結語

在地鐵接觸軌與運行軌幾何參數檢測的實際應用中，針對檢測需滿足實時性的要求，提出結合IIR高斯濾波和定位骨架方法，對現有仍存在運算量大的自適應線寬的Steger法進行改進。該算法先利用光條骨架對光條中心區域進行定位，再利用高斯濾波器的遞歸算法簡化傳統Steger算法的高斯卷積運算，實現光條中心線的快速提取。實驗結果表明：該算法能有效減少Steger法的運算時間，同時能提取得到與原方法相同的光帶中心，具有良好的測量精度，能夠幫助檢測系統實現實時檢測的功能。