含軸承內環間隙的轉子非線性動力學建模

何奧迪，王曉偉

(南京航空航天大學 能源與動力學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

在航空發動機軸承設計中，為補償熱膨脹而提供的間隙通常是轉子-軸承-底座系統的振動源，并導致非線性動力學行為。一般來說，間隙可存在于滾動軸承和軸頸之間、滾動軸承或軸承外圈和底座之間或者就是軸承的游隙。

YAMAMOTO T將軸承間隙的非線性引入轉子-軸承系統的Jeffcott方程。結果表明：隨著軸承間隙的增大，臨界轉速的最大振幅和臨界轉速的值將減小[1]。SAITO S[2]研究了含徑滾珠軸承支承水平Jeffcott轉子的非線性不平衡響應[2]。雖然上述兩項研究僅涉及諧波響應分析，但CHOI Y S等采用諧波平衡法和離散傅里葉變換方法分析了轉子-軸承模型中的超諧波和次諧波的相干性[3]。ISHIDA Y研究了軸承外環與殼體之間存在徑向間隙的柔性轉子系統中的振動問題，并通過豎直偏置盤轉子振動實驗，發現在大于主臨界轉速的大范圍轉速內，正渦動的自激振動振幅幾乎保持不變，但是在某些特定的轉速下，自激振動消失，取而代之的是非線性振動現象。這種現象被稱為夾帶現象，這些非線性振動為次諧波振動超次諧波振動和組合振動[4-5]。ISHIDA Y通過諧波平衡法(HBM)分析了非線性動力學模型的周期解，從理論上證實了這些非線性振動現象的存在，也證明了次諧波振動時夾帶現象的存在[6]。KAPPAGANTHU K等提出了一種考慮軸承內游隙和波紋度影響的球軸承支承轉子系統五自由度動力學模型。在此基礎上，研究了轉子-軸承系統的穩定性和動態特性[7]。陳誠等通過建立在軸承氣膜力和箔片摩擦力共同作用下的轉子局部受力模型，分析了轉速對轉子非線性動力學性能的影響[8]。

目前關于軸承內環與軸頸之間存在間隙的轉子動力學研究文章較少。本文針對某航空發動機設計過程中的軸承內環間隙設計問題，設計了一個試驗器，建立了盤-軸頸二自由度間隙支承轉子非線性動力學模型，研究轉子軸頸與軸承內環的配合間隙對轉子動力學特性的影響規律。

1 軸承內環間隙支承轉子非線性動力學建模

在某航空發動機中，軸承內環與軸頸之間采用間隙配合，為了研究軸承內環間隙對轉子動力學的影響，設計了如圖1所示的偏執單盤轉子系統。在轉子右端支承處，采用了含軸承內環間隙的裝配方式，右端軸頸可以在間隙中移動。

圖1 內環間隙配合轉子系統示意圖

在非線性動力學建模過程中，引入如下假設：1)軸承無游隙，軸承外環和軸承座無間隙，軸承內環支承在彈性支承上，可自由轉動；2)在不平衡力作用下軸頸一直沿軸承內環內表面運動；3)軸承內環與軸徑不發生打滑。

將內環間隙配合轉子系統簡化為盤-軸頸二自由度間隙支承轉子非線性碰撞模型，簡化準則為：保留右端軸頸的質量，忽略軸的質量，只考慮軸的剛度。簡化后的內環間隙轉子二自由度模型如圖2所示。

圖2 二自由度內環間隙轉子模型

為了保持固有頻率隨轉速的變化，添加陀螺力矩項，轉盤、軸頸在轉子模型位置如圖3所示。

圖3 轉盤、軸頸在轉子模型位置

二自由度內環間隙轉子動力學方程如下：

(1)

傳感網絡技術是由傳感器組成的網絡，主要包括數據處理單位部件、傳感器和通信部件等，在其工作過程中，能夠隨機分布在需要采集并傳輸信息的領域中，且不同點之間相互聯系，共同組成一個網絡結構。在傳感器中存在大量的節點，這些點分布較為隨機，節點密集，具有較強的環境適應性，因而需要其具有一定的能量存儲功能，這樣才能保證傳感器的正常運行。傳感器在物聯網技術中發揮著重要作用，從某種角度上說，傳感器是物聯網技術的核心，能夠實現其應用層、傳輸層和信息感知層之間的連接，從而最終實現人與物、人與人之間的信息傳輸和交換。

x=[x1y1x2y2]T；

式中：m1和m2分別為轉盤和右軸頸的質量；x1、y1和x2、y2分別為圓盤和右軸頸在xy平面上的位移；c1、c2分別為轉盤和右軸頸的阻尼系數；ipω和-ipω為陀螺力矩項；f0為模擬軸承裝配誤差引起的橫向靜載荷；e為偏心距；ω為轉子轉速；t為時間；ks1和ks2分別為轉軸的彈性系數，可以由式(2)得到：

(2)

式中：Es是轉子的彈性模量；Is是轉子橫截面積的慣性矩。

式(1)中不含軸徑碰撞項。為了使方程更接近實際情況，將添加軸頸和軸承內環之間的碰撞模型。模型采用文獻[6]的模型進行描述，碰撞模型如圖 4所示。

圖4 軸徑軸承碰撞模型

在圖4中，為了便于解釋，軸頸相對于軸承內環略圖較小，r2是軸頸的徑向位移，vn和vt分別是軸頸在法向和切向方向上的速度分量。在數值仿真中，軸承軌跡由一系列離散點給出。P2+假設軸徑沿軸承內環壁移動，P1是碰撞前一步的離散點。離散點P2-為內環壁外的投影點，假設軸頸在P12位置發生碰撞，然后被反彈至位置P2+。P2+處軸頸的速度和徑向位移表示如下：

(3)

因為在動力學方程中很難表述圖 4所示的碰撞模型，所以采用等效彈簧和阻尼來模擬軸頸與軸承內環的碰撞，將碰撞轉換為瞬時黏彈性變形。當軸頸與軸承內環發生碰撞時，在碰撞點軸頸會受到一個徑向的碰撞力，該碰撞力Fn表示為

(4)

式中kbn、cbn分別為彈簧和阻尼系數，θ=tan-1(y2/x2)。

(5)

構建如下等式：

(6)

通過式(6)對式(1)進行無量綱處理。在式(6)中，設d0為轉子系統的單位長度。為了方便表述，將處理后無量綱公式中的 ' 略去，最終得到帶碰撞邊界條件的轉子間隙支承系統的無量綱動力學方程為

(7)

式中：

2 間隙支承轉子非線性動力學仿真

在上節建立了二自由度間隙支承轉子非線性碰撞模型，分析間隙的大小對轉子振動特性的影響，采用MATLAB中的ODE45求解器求解，單盤轉子系統參數如表 1所示。

表1 單盤轉子系統參數

因為轉子系統前期為不穩定狀態，所以取后1/5時間段內的振動響應曲線來代表系統的動力學特性，如圖 5所示。

圖5 圓盤在x和y方向上的位移時域圖

通過數值仿真得到該轉子系統的Bode圖。可以觀察到隨著轉速的增加，圓盤的振幅出現了許多峰值點，用圓圈標出。可以確定，在這些峰值點附近轉子系統發生了非線性振動，研究這些振幅峰值轉速下轉子間隙支承系統的動力學特性，得到圖 6所示的一系列曲線。

圖6 轉子系統的Bode圖

為了方便理解，將無量綱轉速ω替換為頻率比λ。圖 7(a)為組合振動[pf-pb]。[]表示當頻率比為λ=pf-pb附近時發生的組合振動類型。當發生這類組合振動時，因為pf/pb為無理數，所以此時圓盤的運動軌跡為非周期性。圖 7(c)為1/2階次諧波振動。從頻譜圖可以看出，除了存在頻率比為λ=+1的諧波振動外，還分別存在振動頻率為+(1/2)正進動頻率，圓盤的振動為諧波振動與次諧波振動疊加后的強迫振動。因為這些次諧波振動頻率與諧波振動頻率之間為特殊的整數倍比例關系，所以圓盤的軌道圖為周期的簡單閉環，軸頸是貼著軸承內環滑動的。圖 7(d)為+(2/5)超次諧波振動。因為超次諧波振動頻率與諧波振動頻率之間關系的特殊性，所以當發生超次諧波振動時，圓盤的軌道圖由周期且較復雜的閉環組成，軸頸與軸承內環反復碰撞。

圖7 特定轉速下轉子系統的時域圖、頻譜圖和軌道圖

改變軸承內環間隙大小，圓盤不同共振類型振幅如表2所示，不同間隙下圓盤Bode圖如圖8所示。

表2 不同間隙大小時不同共振類型的振幅

圖8 不同間隙下圓盤Bode圖

從表2可以看出，隨著軸承內環與軸頸的間隙不斷增大，組合振動[pf-pb]的振幅幾乎不變，其他組合振動和次諧波振動的振幅呈增大的趨勢。同時可以看出，伴隨著軸承內環間隙的增大，轉子系統會出現一些新的非線性振動，例如，當軸承內環間隙δ=0.10時，在4倍轉速左右出現了振幅較小的3/10階的超次諧波振動。當軸承內環間隙δ=0.15時，出現2/7階的超次諧波振動。當軸承內環間隙δ=0.20時，新出現了2/5階的超次諧波振動現象。由此可以得出結論，軸承內環間隙越大，間隙支承系統的非線性振動越為復雜，會出現一系列非線性振動，所以減小軸承內環間隙能有效地抑制轉子支承系統的非線性振動。

3 結語

本文以航空發動機轉子間隙支承結構為研究對象，建立了考慮軸頸和軸承內環間存在碰撞的動力學模型，并通過數值仿真研究了間隙支承結構的非線性振動現象，并得到以下結論：

1)間隙支承系統在超臨界狀態下會出現一系列非線性振動，包括自激振動、次諧波振動、組合振動和超次諧波振動；

2)間隙支承系統發生次諧波振動時，軸頸貼著軸承內環滑動，圓盤軌跡為周期性的簡單圓環。發生超次諧波振動時和組合振動時，軸頸與軸承內環不斷碰撞；

3)研究了間隙和支承剛度這些因素對轉子間隙支承系統動力學特性的影響規律。軸承內環間隙對轉子動力學特性有一定影響，減小軸承內環與軸頸的間隙大小能減弱轉子的非線性振動特性。