基于帶前瞻性信息的氣溫建模和天氣衍生品定價—以鄭州市為例

李 鵬， 牛智康， 仲偉周

(1. 華北水利水電大學數學與統計學院，鄭州 450046;2. 西安交通大學經濟與金融學院，西安 710061; 3. 陜西社會主義學院，西安 710061)

0 引言

近二十年來，國際衍生品市場已見使用天氣衍生品對沖由天氣誘發的風險，以實現對天氣風險的有效管理。但是天氣衍生品定價卻是金融衍生品定價理論中的一個復雜的問題，原因主要來自兩個方面：首先，天氣指數(溫度、降雨等)在市場中是不可交易的。因此，天氣衍生品市場是一個典型的不完備金融市場；其次，目前并無行業統一認可的決定天氣指數的隨機動力學模式。因此，沒有統一的定價物理模型基礎。天氣衍生品定價自天氣衍生品誕生起，一直是困擾金融衍生品學術領域的一個難題。為了對天氣衍生品準確定價并有效地管理天氣風險，人們從天氣衍生品出現開始就提出了不同的模型和方法，譬如：基于隨機動力學特性的計量經濟模型[1]、風險中性定價模型[2]、效用均衡模型[3]、效用無差異定價模型[4]、指數模擬和燃燒分析[5]。關于氣溫衍生品的定價，比較而言得到更廣泛應用的是Alaton 等人[6]提出的均值回復Ornstein-Uhlenbeck(O-U)模型。在我國，天氣衍生品定價的研究工作都是基于氣溫的O-U 模型。周善偉[7]指出以溫度為標的資產的氣溫衍生品最為常見，并基于長沙市的溫度O-U 模型進行了氣溫衍生品定價。Wang 等人[8]首次為鄭州市建立了單隨機因子均值回復的O-U 模型，用于鄭州市氣溫衍生產品的定價。然而，這些傳統的天氣衍生品定價模型中存在一個共同的問題：即都沒有考慮前瞻性信息對定價結果的影響。這顯然并沒有完全考慮市場上可用的天氣預報信息，而這些信息在很大程度上影響著天氣衍生產品的價格。鑒于此，Hell 和Meyer-Brandis[9]提出了納入前瞻信息的一致雙因子溫度理論模型。Groll 等人[10]進一步通過對紐約和柏林的溫度數據進行實證分析并估計了這些城市氣溫的一致雙因子模型，證明了就紐約和柏林地區溫度模擬，帶前瞻性信息的溫度模型比傳統的溫度模型更加準確。關于前瞻性信息在電力衍生品定價中也有研究，譬如：F¨uss 等[11]考慮了一種基于電力價格預測信息的電力價格模型，并應用這一模型獲得電力衍生產品準確定價。從理論上講，一致雙因子模型利用了市場中的前瞻性天氣預報信息，模型自然更切合市場中的實際情況。因此，可以用于天氣衍生品的更為準確的定價。但是由于全球氣候的多變性，在為不同地區建立一致雙因子模型用于天氣衍生品定價的同時，同時需要在這些地區驗證模型的可行性。所以，本文的主要目標是建立納入前瞻性信息的天氣模型，并基于歷史氣溫數據和天氣預報數據進行一致雙因子模型應用于氣溫衍生品定價的實證研究，并探討一種基于氣溫和氣溫預測信息的更準確的定價策略。

本文選取鄭州市作為研究對象。河南省是我國的農業大省，冬季的雨雪天氣和寒冷氣候會對全省糧食產量帶去損失，糧食供給鏈上的廠商也會遭受利益損害。而鄭州是河南省的省會，是我國重要的交通樞紐和農業中心城市，這里的糧食產量和交通情況對全省乃至全國至關重要。因此，鄭州所面臨的天氣風險將非常容易地波及到全國。同時，極端天氣可能導致鄭州交通秩序混亂，給市場上的眾多公司帶來損失，所以我國的電力公司或是能源公司等一些自身利益與天氣有密切聯系的公司都可以通過購買氣溫衍生品來對沖可能由極端天氣帶來的公司損失。因此，研究基于鄭州的天氣衍生品定價模型和方法，不僅具有理論價值，同時也對我國不同行業領域的天氣風險管理具有重要的社會意義。

近幾年，天氣衍生品定價領域幾項新的工作主要是關于偏微分方程方法以及氣溫模型的校準。Li 等[12–14]提出了單向有限差分格式去計算天氣衍生品價格所滿足的偏微分方程；Alexandridis 等[15]用基于小波分析的神經網絡校準了氣溫模型中的參數。這些工作更好地運用天氣衍生品市場上的信息，構建更為準確的天氣模型并用穩定和高效的計算格式對天氣衍生品進行定價。

此外，天氣衍生品定價還需要考慮市場的因素，即天氣衍生品市場的不完備性。這種不完備性主要來自天氣指數的不可交易性。給天氣衍生品準確定價，我們首先需要確定模型中風險的市場價格。最直接的方法是通過市場價格數據去擬合風險市場價格。但是這種方法存在的問題在于，當參與者還不了解天氣衍生品價格的形成機制時，我們事實上無法信賴市場給出的價格。這一方法更多的是在假定市場有效的前提下尋找市場價格的一個折中點，但是當市場不完備時，我們并沒有充分的理由去這么做。

在本文中，我們將探討風險市場價格的形成機制。文獻[16—17]構建了一個和天氣衍生品部分相關的最小方差風險資產組合去確定風險市場價格；另一種方法從經濟學角度出發，通過未來期貨合約買賣雙方達到效用均衡的效用無差異方法來確定風險市場價格[13，18]。比較這兩種方法：第一種方法依賴于特定的證券，并且主要適用于場內交易；而效用無差異定價從市場效用均衡的角度出發，具有直觀的經濟學意義，尤其適用于大量在場外市場交易的天氣衍生品定價問題。因此，本文將采取符合經濟學理論的第二種方法。我們將在建立一致雙因子模型的基礎上，對交易者進行效用無差異分析，并通過期貨合約買賣雙方之間效用平衡來確定雙因子模型中的風險市場價格。

本文分為兩部分，第1 部分對鄭州氣溫預測數據進行全面的描述性統計，并根據分析結果建立鄭州氣溫的一致雙因子模型。第2 部分在一致雙因子模型的基礎上，利用效用無差異均衡分析得到風險市場價格，并推導出寒冷地區基于一致雙因子模型的近似定價公式，最后，應用蒙特卡羅模擬計算基于鄭州溫度數據的制熱指數(HDD)氣溫期權價格并與近似定價公式價格進行比較。

1 鄭州溫度預測曲線的統計分析

我們將分析鄭州歷史溫度預測曲線的無偏性，并對去季節和趨勢的氣溫預測曲線進行正態性、自相關性和平穩性檢驗，為鄭州建立一致雙因子氣溫模型提供數據支撐。

1.1 數據

本文收集了來自www.worldweatheronline.com 的鄭州市自2018 年11 月22 日至2019年9 月25 日的每日平均溫度預測曲線共307 條，每條預測曲線的預測周期為未來13 天，以及自2008 年1 月1 日至2017 年12 月31 日的歷史日平均氣溫。

1.2 預測的無偏性

應用天氣預測信息的核心問題就是如何確定預測曲線的模型來描述市場上可用的前瞻性信息。

我們假設預測信息是無偏的，即對于給定的濾波概率空間(Ω，F，Ft，P)，假設在時間t的天氣預測f(t;T)是T時刻的真實溫度τ(T)的無偏估計

其中N表示可用的預測曲線的條數，本文中N= 307，fti;ti+x是預測溫度，fti+x;ti+x是未來第x天的真實溫度，計算結果如表1 所示。

如表1 所示，鄭州溫度預測曲線略低于真實溫度，且當預測周期變大時，ˉDx通常會變大，但總體來說，預測誤差較小并接近于零，這說明預測溫度可以作為真實溫度的期望，預測曲線是近似無偏的。

表1 鄭州預測數據誤差表

1.3 去季節和趨勢的預測曲線

根據文獻[19]，因為全球變暖和季節的周期性，假設氣溫服從包含周期季節變化和趨勢變化的函數為

圖1 顯示了鄭州2008 年1 月1 日至2017 年12 月31 日的日平均溫度的時間序列歷史數據(點)。我們基于鄭州歷史日平均氣溫，通過非線性最小二乘法擬合出這一季節性和趨勢變化函數(實線)。

圖1 帶季節性因素的鄭州歷史日平均溫度的10 年變化趨勢

去除鄭州日平均歷史溫度和歷史氣溫預測曲線中的季節性和趨勢性因子，即將鄭州日平均歷史溫度和預測曲線分別減去(2)式。去趨勢和季節的曲線分別如圖2 和圖3 所示，其中圖3 中為隨機選取的鄭州3 個日期(2018 年12 月6 日、2019 年4 月20 日、2019 年9 月24 日，顏色由深到淺)的氣溫預測曲線和去季節化的預測曲線。

圖2 和圖3 表明，歷史氣溫時間序列和每條預測溫度時間序列經過減去季節性和趨勢變化函數，已經變成平穩的時間序列，在零值附近上下波動。

圖2 帶季節性和去季節性因素的鄭州歷史日平均溫度的變化趨勢對比

圖3 選取的3 個日期預測曲線及其去季節化曲線

1.4 去季節化氣溫數據的分布屬性

假設去季節化的鄭州歷史溫度時間序列和預測溫度時間序列服從正態分布。對鄭州數據，我們使用鄭州的歷史溫度和預測周期為6 日的預測溫度的QQ 圖驗證其正態性，見圖4。對14 個時間序列(真實溫度時間序列和對應的1～13 天預測溫度時間序列)進行Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗，P值見表2，檢驗在顯著性水平α= 0.05 下與正態性差異不顯著，所以接受原假設。即去季節趨勢的歷史氣溫和歷史氣溫預測數據服從正態分布，正態性假設成立。

圖4 鄭州去季節化趨勢溫度時間序列QQ 圖

表2 K-S 檢驗的P 值

1.5 平穩性和自相關性

接下來，檢驗去季節化的鄭州歷史溫度時間序列和歷史預測溫度時間序列的自相關性和平穩性。偏自相關圖表明鄭州歷史溫度時間序列(即預測周期為0 的溫度時間序列)和預測周期為6 的預測溫度時間序列存在顯著自相關性，見圖5。進一步，對鄭州歷史溫度和預測溫度時間序列的Dickey-Fuller 檢驗證實了真實溫度時間序列和預測周期分別為1，2，···，13 的溫度時間序列是平穩的；并且在顯著性水平α= 0.01 下，拒絕時間序列中有單位根原假設。這一結果與文獻[10]中紐約的情況相同。事實上，當觀察鄭州市和紐約市的地理位置時，可以發現這兩個城市具有相近的緯度。因此，不難理解二者的氣溫數據會具有相似的統計特性。

圖5 鄭州溫度時間序列的偏自相關圖

1.6 函數型主成分分析

本節我們分析鄭州去季節化的氣溫預測曲線的特征，并討論氣溫預測曲線的主要驅動因子。

首先，應用文獻[20]中的懲罰基函數方法，將鄭州的氣溫預測曲線轉化為平滑的函數型數據。圖6 顯示了鄭州去季節化的氣溫預測數據以及相應的平滑預測曲線(灰色)及其平均值(黑色)。可以看到，平滑預測曲線的均值接近于零，說明季節化趨勢基本已經去除。

圖6 鄭州去季節化氣溫預測數據、平滑預測曲線及其均值

然后，對平滑的預測曲線進行函數型主成分分析，如圖7 所示，顯示了鄭州平滑預測曲線均值和其加上(+)和減去(－)前兩個加權函數的適當倍數(指以前兩個函數型主成分作為基的函數逼近預測曲線函數時的權重系數)對鄭州溫度變化的影響，結果表明前兩個函數型成分說明了鄭州氣溫數據總變差的80.6%。

圖7 前兩個函數型成分對鄭州溫度變化的影響

以上實證結果驗證了在描述鄭州溫度變化過程的模型中考慮14 天前瞻性信息的合理性，以及使用雙因子模型的可行性。

2 一致雙因子模型

2.1 模型建立

根據歷史溫度信息和預測曲線信息，我們使用如下從時間t時刻預測t+x時刻的溫度的溫度預測曲線模型

在上式中令x= 0，則第二項會消失。此時，可見第一個因子Z1(t)模擬了去季節化的當天溫度Z1(t) = ?f(t;t) =τ(t)－X(t)。我們通過去季節化的當天溫度的指數均值回歸Z1(t)e-λx來體現在t時刻的歷史溫度對預測曲線的貢獻。第二個因子Z2(t)則描述了溫度的前瞻性信息帶來的影響。在時間t時，因子Z2(t)對預測曲線中間段產生

2.2 模型估計

對于給定去季節化的預測時間序列?ft:t+x，t= 1，2，···，n，根據模型的一致性要求，我們應用一個兩步算法來估計模型參數。理論細節詳見文獻[9—10]，本文將不再贅述，這里僅給出計算過程。具體而言，算法對以下兩個步驟進行迭代，直到模型參數收斂。

第1 步 構建一個二維時間序列(?Z1(t)， ?Z2(t))，t=1，2，···，n，其中隨機因子Z1(t)代表去季節化的當天溫度，?Z1(t)是可觀察的。這一步的關鍵是估計時間序列?Z2(t)，t=1，2，···，n。

對于每一條預測曲線(5)，在t= 1，2，···，307 時，用加權最小二乘法計算?Z2(t)，即對于t=1，2，···，307，計算如下優化問題

第2 步 根據第1 步得到的時間序列(?Z1(t)， ?Z2(t))，t=1，2，···，n，用極大似然估計來估計模型中的參數ρ、λ、σ2和σ1(t)。

可以通過差分進化算法(Differential Evolution Algorithm， DE)獲得因子Z2(t)和參數ρ、λ合理的初始估計值。DE 算法可用于有效估計模型[22]。而對于σ2的初值，可以根據Z2(t)初值的AR(1)模型得到。

對于σ1(t)的估計，根據式(9)，需要先估計函數ψ2(t)，這里ψ2(t)=ψ2t，t+1，t ≥0。我們用一個AR(1)模型來擬合去季節化的歷史日平均氣溫，并計算出相應的平方殘差，以及每天的平均平方殘差?e2(t)。假設?e2(t)的3 階傅里葉近似為

第3 步 重復第1 步和第2 步直到迭代收斂。

對比圖8(黑色實線)，我們用向量γ作為?ψ(t)的傅里葉展開系數的初值。圖9 是迭代收斂后基于最優傅里葉級數?γ的?ψ(t)。

圖8 前兩個函數型成分對鄭州溫度變化的影響

圖9 基于參數?γ 的最終?ψ(t)估計

如圖10 所示，平方殘差的ACF 圖并沒有一個指數衰減現象，可以看出一個確定的周期波動率函數σ1(t)足以解釋歷史氣溫數據的變化[23]。

圖10 AR(1)模型的平方殘差的自回歸函數

最后，我們得到基于鄭州歷史氣溫和歷史氣溫預測數據的一致雙因子模型，模型參數估計見表3，其中由?γ可以計算得到?ψ(t)，再根據式(9)，我們可以得到波動率函數?σ1(t)的分段常數近似的變化區間為[1.039，2.956]。

表3 鄭州市氣溫的一致雙因子模型參數

預測曲線的最終擬合結果如圖11 所示，其中我們給出了擬合曲線和6 個選定日期的去季節化的預測數據對比。結果表明，雙因子模型雖然同樣在預測周期變大時擬合效果變差，但是在整體上擬合鄭州未來溫度的能力要明顯優于O-U 過程。這也表明了基于鄭州數據的一致雙因子模型能夠更準確和完全地利用了市場中的信息。

圖11 估算的雙因子模型(黑色實線)和簡單O-U 過程(灰色虛線)的預測曲線，以及鄭州6 個選定日期的去季節化預測數據

3 天氣衍生品的定價

90 年代后期，芝加哥商品交易所開始交易天氣衍生品，用以對沖企業面臨的天氣風險。交易所交易的天氣衍生品大多是給定時期[T1，T2]上某種溫度指數I[T1，T2]的期貨或期權。本節中，我們應用效用無差異分析導出合理的風險市場價格，然后得到雙因子近似期權定價公式，最后用蒙特卡羅模擬方法計算鄭州市氣溫期權的價格。

3.1 HDD 和CDD 指數

市場中最常用的氣溫指數為：制熱日指數(HDD)和制冷日指數(CDD)，分別對日平均氣溫進行如下計算

這里τu代表日平均氣溫，測量周期通常以標準月份或季節衡量，C是溫度閾值(一般是18℃)。一般HDD 合約是在11 月、12 月、1 月、2 月、3 月、4 月有效，而CDD 合約是在5 月、6 月、7 月、8 月、9 月、10 月有效。

3.2 效用無差異分析

令去趨勢化隨機氣溫因子Z(t) = (Z1(t)，Z2(t))的風險市場價格為θ= (θ1，θ2)，則根據哥薩諾夫定理，在風險中性測度Q下，物理過程(6)和(7)變換為

理論上，不完備的金融市場中的風險市場價格θ= (θ1，θ2)并不唯一，可以存在多種選擇。但是我們可以根據市場中的主導風險偏好之間的均衡關系來推斷風險市場價格。效用無差異定價是一種重要的經濟均衡定價原則，Yamada[18]引入效用無差異均衡定價，用于計算場外市場的期貨合約價格。這里我們將應用效用無差異均衡關系，探討基于一致雙因子模型市場風險的定價。

這里我們考慮一個單一時段以月平均氣溫為標的資產的簡單期貨合約情形。這個合約在第n月結束時執行，這個合約標的物為月平均溫度Hn。假設市場上有兩位投資者，他們分別在期貨市場上進行相反頭寸的交易，令

這里δl是期貨的賣出數量。

上式即為風險市場價格(θ1，θ2)所滿足的積分方程。但是很明顯可以看出滿足該積分方程的θ1和θ2并不唯一，這同時說明了風險市場價格不是唯一的。為簡單起見，我們假設風險市場價格是確定的常數，θ1(u) =θ1，θ2(u) =θ2，因為上式中σ1(t)是一個按日分段常數函數，于是上式可以簡化為

因為θ2為隨機預測因子Z2的風險市場價格，我們可以近似地假設投資者對該隨機因子所代表的風險在物理世界和中性世界中具有同樣的風險偏好，即不因為承擔氣溫預測隨機性風險而要求超額回報，即θ2=0。

我們對于這一近似的經濟學解釋為：預測因子來源于研究機構的天氣預報，具有科學性基礎。因此，我們可以近似的認為，盡管市場參與者認為預測風險客觀存在，但是風險是可控的，所以天氣衍生品的市場參與者不因為證券中包含這種類型風險要求額外的收益補償；投資者認為他們面臨的真正需要補償的風險來自于真實氣溫的變化的隨機性。

根據以上分析，我們現在只需根據式(19)校準來自真實氣溫變化的風險市場價格θ1。事實上，根據Groll 等人[10]應用來自于芝加哥商品交易所的期貨價格數據進行的實證研究，即使在沒有θ2= 0 的假設下，直接對模型進行參數校準，結果也表明了θ2≈0?θ1。

此時，有

如果假設場外市場上買賣雙方的風險規避系數αs= 0.1，αl= 0.2(代表一種期權買方有更強的風險規避意愿情形，一般地αs，αl ∈[0，+∞])，多頭方收益率的波動率σy=0.1，以及收益和月總和溫度的相關系數ρxy=1。

如果假設市場風險價格在每個月都是常數，考慮2018 年12 月、2019 年1 月、2 月、3 月和4 月的五個合約類，進行效用均衡分析，我們得到市場風險價格結果如表4。

表4 效用無差異確定的市場風險價格

3.3 基準近似定價公式

對于氣候寒冷地區，文獻[6]給出了基于O-U 過程的HDD 看漲期權和看跌期權的近似定價公式分別為

這里s指合約開始的日期。

注意到，上式是在max(18－Tti，0)≈18－Tti的近似下才能成立的。因此，式(24)同樣只適用于溫度相對較低的冬季或是寒冷地區。

由于鄭州屬于溫帶氣候，夏季炎熱，冬季寒冷時間并不長，近似公式一般會有較大的誤差，所以本文氣溫期權定價主要使用蒙特卡羅模擬方法。

3.4 數值模擬

蒙特卡羅模擬是金融衍生品定價領域期權定價的重要方法之一，其實質就是運用隨機抽樣的樣本均值來近似替代隨機分布的總體期望。盡管蒙特卡羅方法有收斂速度慢、計算量大等缺陷，但是對于某些復雜問題，尤其是多個因子影響的衍生品定價問題并且精度要求不高的前提下，卻總是最為有效的。

下面給出基于一致雙因子模型天氣衍生品定價的具體蒙特卡羅方法的計算過程。

在風險中性測度Q下，[T1，T2]時間區間上，關于HDD 看漲和看跌期權的理論結果為

由于雙因子氣溫模型影響天氣衍生品價格的隨機因子有兩個，所以本文的蒙特卡羅方法需要模擬一個二維馬爾科夫隨機過程。

實際上，對于一個合約市場，風險價格應該只有一個。因為如果在衍生品市場出現不同的市場風險價格，市場中就會存在套利機會：交易者可以通過買入風險價格高的合約同時賣出風險價格低的合約獲得套利。由于效用無差異關系是市場中買方和賣方之間能夠達成成交價格的主導關系，我們選擇使用效用無差異均衡所對應的風險市場價格作為這一風險市場價格的近似，并對HDD 期權合約定價。這里我們用期貨的市場風險價格平均值MPR=0.000 32 近似HDD 期權合約的市場風險價格。

利用方程(11)對隨機因子Z1和Z2的路徑進行模擬，再通過Z1，根據式(25)對HDD期權定價。模擬從一個確定的(Z1，Z2)點開始，根據3σi(i= 1，2)原則選取Z1和Z2初值取[－6:2:6]×[－15:5:15]所構成的二維網格點。模擬7×7 條路徑，每條路徑模擬1 000 次，三維模擬結果如圖12 所示。

圖12 基于雙因子Z1 和Z2 的HDD 期權價格的蒙特卡羅模擬結果

圖13 顯示當固定一個因子初值不變，另一個因子對定價結果的影響。可以看出一致雙因子模型中，預測因子Z2對期權定價起到很大作用，這是由于因子Z1對溫度過程的影響一部分被預報因子Z2代替。因此，造成Z1對定價結果造成的影響并不十分明顯。這對于鄭州市基于一致雙因子模型的定價模擬結果揭示了天氣預報對天氣衍生品價格有重要影響，因為隨著當今預報技術的成熟，溫度預報愈加準確，所以一個能夠正確預測溫度未來變化的天氣預報勢必同樣會決定氣溫衍生品的價格。在實際生活中，為了對沖溫度不確定性對交易市場上投資者造成的利益損害，投資者可以主要從天氣預報信息中得到一個可以參考的未來氣溫衍生品價格，從而進行套期保值有效減小不利天氣的負面影響。

圖13 歷史因子(左)和預測因子(右)分別對HDD 看跌期權價格的影響

我們比較2 月份鄭州修正的近似公式結果和蒙特卡羅模擬結果。根據鄭州的歷史氣溫和歷史氣溫預測數據，我們得到了Z1和Z2的值，選取其中溫度較低的一段時間(2019 年2 月6 日至2019 年2 月11 日)所對應的6 個Z1、Z2，見表5，作為蒙特卡羅模擬計算的初值，模擬計算了6 天的天氣衍生品價格的變化，每個價格模擬1 000 次。

表5 蒙特卡羅模擬的初值點

我們將雙因子模型和近似公式對比結果和單因子O-U 模型和近似公式對比結果進行比較。這里雙因子模型使用的是修正的近似公式(22)和(24)，而單因子O-U 模型使用的是文獻[6]的近似公式(22)和(23)。為了衡量對比結果，我們引入對比差

其中e1表示單因子O-U 模型和近似公式的對比差，e2表示雙因子模型和近似公式的對比差；Pm1為單因子O-U 模型蒙特卡羅模擬的定價結果，Pm2為雙因子模型蒙特卡羅模擬的定價結果；?P1為文獻[6]近似公式定價結果，?P2為修正后的近似公式定價結果。

如圖14 所示，由于2 月份鄭州的溫度較低，可以看到修正近似公式(24)計算得到HDD 看跌期權價格和蒙特卡羅模擬結果接近，而單因子O-U 模型的得到的結果與修正前定價公式結果差別較大。從而驗證了，在使用近似公式定價時，考慮因素更多的雙因子近似定價公式比傳統單因子近似定價公式結果更加準確。

圖14 雙因子模型與單因子O-U 模型分別與近似公式對比結果

表6 表明，HDD 看跌期權的雙因子模型蒙特卡羅模擬定價結果整體低于單因子模型。這是因為在使用帶有前瞻性信息的雙因子模型時，使用了更多的有價值的前瞻性信息，從而減少了未來的不確定性，需要期權對沖的未來風險減少，從而期權的價值降低。

表6 HDD 看跌期權定價結果對比

3.5 一致雙因子模型的一般定價過程

假設已知2018 年11 月22 日鄭州真實的平均溫度為13℃，和未來13 天的預測溫度分別為：11.5℃、12.5℃、12.5℃、17.5℃、14℃、12℃、14℃、12℃、10℃、10℃、15℃、8℃、5℃。

假定期權合約的執行價格為K= 1 300，合約名義價值tick = 1，無風險利率為0.05，隨機因子Z1的風險市場價格是0.08，隨機因子Z2的風險市場價格是0。

本節我們討論基于一致雙因子模型進行衍生品定價完整過程，以HDD 看跌期權為例，定價計算過程如下：

步驟1Z1的確定，即確定去季節化的當日溫度。將日平均氣溫和預測曲線減去根據由鄭州10 年歷史日平均氣溫估計的季節趨勢函數(2)，計算得到Z1= 5.64 和去季節化的預測序列(5.64，4.31，5.49，5.66，10.83，7.50，5.67，7.83，5.99，4.14，4.30，9.45，2.60，－0.25)；

步驟2Z2的確定，由步驟1 中計算得到的13 個去季節化的預測溫度，根據式(6)和式(7)中的模型參數?ρ、?λ，由式(10)得到預測因子Z2的估計值為16.1；

步驟3 期權定價，將(Z1，Z2)的值(5.64，16.1)作為蒙特卡羅模擬的初始點，通過風險中性定價公式(12)進行蒙特卡羅模擬，計算得到基于鄭州2018 年11 月22 日平均氣溫和氣溫預測信息的HDD 看跌期權(K=1 300)價格為989.197 6。

4 結論

本文對鄭州歷史氣溫和歷史氣溫預測數據進行統計分析，建立了適用于鄭州市天氣衍生品定價的更為準確的隨機一致雙因子氣溫模型，并通過效用無差異均衡關系推導出一致雙因子模型中兩個隨機因子的風險市場價格。提出了可用于對寒冷地區氣溫衍生品進行快速定價的近似定價公式。最后，討論了基于一致雙因子模型的HDD 看跌期權的一般蒙特卡羅模擬定價的具體過程。

在Groll 等人對紐約和柏林數據分析的基礎上，本文從實證的角度證明了Alaton 等人指出的使用天氣預報信息為天氣衍生品更準確定價這一論述的合理性。數值實驗中也驗證了使用前瞻性天氣預報信息的一致雙因子模型對天氣衍生品定價會得到一個相對于O-U 模型低一些的價格。這些實證分析充分表明了，在天氣衍生品定價中，恰當的使用前瞻性信息，可以得到更為合理和準確的天氣衍生品定價模型。因此，基于前瞻性信息的一致雙因子模型是天氣衍生品定價更科學和合理的模型。

圍繞一致雙因子模型，未來仍然有多項工作有待開展：可考查一致雙因子的偏微分方程定價方法，建立有效的高維定價模型的有限差分數值計算格式；由于大數據和人工智能技術的發展，使得更準確地運用包括天氣預測信息的更全面的信息成為可能。因此，可以通過神經網絡實現非線性函數映射關系，更準確地校準一致雙因子模型中的參數，或者建立非參數模型，以期獲得更準確的天氣指數模型并進而對天氣衍生產品定價。

關于市場方面，有待于在我國天氣衍生品市場正式建立后，對真實市場數據進行實證分析的基礎上，并從理論角度研究真實市場參與者的風險偏好和效用均衡關系，探討適用于我國天氣衍生品市場特點的定價模式。