具有一般傳染率的SIRS 年齡結構模型的分支研究

張素霞， 劉艷娜， 徐霞霞

(西安理工大學理學院，西安 710048)

0 引言

傳染病動力學模型是根據疾病發生、發展及環境變化等情況對傳染病發病機理、傳播規律及預防控制等問題進行研究的一種有效方法[1]。現實生活中，許多傳染病的感染和發病過程都與年齡因素相關，如對一些疾病而言，機體清除病毒的能力與感染時的年齡有重要關系，使之成為影響疾病慢性化的主要因素(乙肝、丙肝等)；一些疾病只在一定年齡階段的人群之間傳染(手足口病等)，且不同年齡階段的感染率、恢復率和死亡率不同；一些疾病傳染力隨染病年齡的長短而有明顯區別(霍亂、艾滋等)。因此，年齡是傳染病流行過程中一個不可忽略的影響因素。近年來，年齡結構傳染病模型被廣泛利用和研究，以更準確地描述疾病發展和傳播的客觀情況，取得了豐富的研究成果[2—7]。

免疫對疾病的感染和傳播過程有很大的影響。在某些疾病的流行期間，由于宿主的免疫能力并不具有永久性，因而有些病人康復后只有暫時的免疫力，隨著時間的推移，康復者會喪失免疫而被再次感染，如流感。在傳染病模型中，依據環境條件、病人的活動能力及病菌的毒力等因素，不同的發生率函數被用來刻畫不同情況下疾病的傳染能力[1]，常用的如標準發生率、雙線性發生率和飽和發生率。Beddington-DeAngelis 發生率、Crowley-Martin 發生率以及更一般的發生率形式也被用來分析傳染病模型的動力學性態[8—10]。本文針對康復者具有免疫喪失的情況，利用一般發生率函數，建立具有年齡結構的SIRS 傳染病模型，分析模型的穩定性和產生分支的條件，所建模型豐富和推廣了文獻[6—7]中的模型形式。

1 模型與預備知識

1.1 模型的建立

1.2 解的存在性

首先，將模型(1)改寫為抽象柯西問題[4，11]，并考慮到邊界條件，將狀態空間擴大，引入記號

其中u0=(S0，I0，R0，0(a))T，則由文獻[12]中定理2 和定理3 有如下結論。

定理1 對任意u(0)=u0∈X+0，系統(2)存在唯一的解半流U(t):X+0→X+0。

于是系統(1)存在唯一的解，進一步易知，對任意t ≥0，具有非負初值的系統(1)的解非負且一致有界。

2 平衡點與線性化

3 穩定性與Hopf 分支

3.1 E0 的穩定性

考慮式(7)如下形式的解

3.2 E*的穩定性

為了尋找E*處的特征方程，令

利用Routh-Hurwitz 判據，有以下定理。

定理5 如果τ=0，則當R0＞1 時，地方病平衡點E*局部漸近穩定。

當τ增加時，若特征方程(12)具有正實部的特征根，此時，特征根穿過虛軸進入右半平面，該情況下會出現Hopf 分支，接下來考慮可能的分支情況。

3.3 Hopf 分支

4 數值模擬

圖1 當f(I)= ， τ =3.5 時，地方病平衡點E*漸近穩定

圖2 當f(I)= ， τ =4 時，地方病平衡點E*不穩定，出現周期解

圖3 當f(I)= ， τ =3.5 和τ =4 時康復者年齡分布

圖4 當f(I)= ， τ =3 時，地方病平衡點E*漸近穩定

圖5 當f(I)= ， τ =10 時，地方病平衡點E*不穩定，出現周期解

圖6 當f(I)= ， τ =3 和τ =10 時康復者年齡分布

5 結束語