基于倒向隨機微分方程理論的可分離債券定價

苗 杰

(廣東第二師范學院數學學院，廣州 510303)

0 引言

可分離債券的全稱叫做認股權和債券分離交易的可轉換公司債券，它是指上市公司在發行公司債券的同時附有認股權證，是公司債券加上認股權證的組合產品，但同時具有債券和認股權證可分離交易的特性。2006 年11 月13 日，馬鋼股份公司發行了我國第一只可分離債券，隨后，武鋼、唐鋼等幾十家上市公司紛紛發行了可分離債券。因此，可分離債券成為時下“有實力”上市公司重要的再融資方式之一，這充分表明了可分離債券是金融市場中不容忽視的一種新型金融工具。對于發行者和投資者來說，最關心的是可分離債券的定價問題。國內很多學者對可分離債券的定價進行了研究，例如：魯欣[1]、朱丹[2]、苗杰和師恪[3]用Black-Scholes(B-S)期權定價加債券的方式得到了可分離債券的定價模型。隨后，考慮到可分離債券上市后被分為認股權證和債券，對股權具有稀釋作用，李少華等[4]用稀釋效應的B-S 模型對可分離債券進行了定價。由于非系統風險的影響，股價會發生不平常的跳躍。于是，苗杰等[5–6]研究了跳擴散模型下的可分離債券的定價。為了捕捉資產價格的長期相關、尖峰后尾等性質，陳飛躍[7–8]分別在分數布朗運動和雙分數布朗運動下得到了可分離債券更一般的定價公式。考慮到股價的不連續波動性及長期依賴性，戴海望[9]在分數擴散模型和Ornstein-Uhlenback 過程模型下研究了可分離債券的定價。由于國內市場長期以來存在著不同程度的投資組合約束，使得可分離債券與可轉債在價格差異上更明顯。因此，胡昌生等[10]在投資組合約束下，從結構化模型角度對可分離債券進行定價。上述這些方法都是以隨機分析中的鞅表示定理和Gisanov 定理作為研究工具，利用到期現金流折現的方法來實現的，盡管它們有著很多的優點，然而模型的缺陷也是眾所周知的。近年來，隨著倒向隨機微分方程理論的迅速發展，Pardoux 和Peng[11]首先研究了倒向隨機微分方程的適應解。Peng[12]通過倒向隨機微分方程得到了非線性Feynman-Kac 公式。接著，Karoui 等[13]研究了倒向隨機微分方程的各種性質，并把它們用到金融中，從而為金融產品的定價開辟了一條新的途徑[14–15]。因此，本文從一個全新的角度出發，用倒向隨機微分方程的理論來研究可分離債券的定價，并得到可分離債券的定價模型。

1 基本假設

2 定價模型

我們把(16)式帶入(15)式，得到(14)式，由倒向隨機微分方程的唯一性可得Vt=u(St，t)，于是可分離債券在0 時刻的價格V0=u(S0，0)。

N(·)表示一維標準正態分布函數，具體證明參見文獻[3]。

3 實證分析

在定理4 中，我們得到了可分離債券的定價模型。為了驗證此模型的優越性，我們以馬鋼可分離債券為例進行實證分析，基本信息如表1 所示。

表1 馬鋼可分離債券的基本信息

從表1 得到模型(23)中的部分參數值分別為S0=3.32，a=23，b=1，T1=2，T2=5，K= 3.4，h= 0.014。由于認股權證和債券的期限不同，所以我們分別采用2006 年銀行兩年期定期存款利率r1= 0.030 6，和五年期定期存款利率r2= 0.041 4。為了估計模型(23)中的股票波動率，我們采用從2004 年11 月1 日至2006 年11 月12 日馬鋼股票每個交易日的收盤價格，共448 個數據(數據來源于國泰安數據中心)，計算其歷史波動率。方法如下，設

從表2 可以看出，模型(23)得到的可分離債券的理論價值比文獻[1，3]得到的更接近于實際價值。因此，本文得到的可分離債券的定價模型(23)更合理。

表2 馬鋼可分離債券的價值

4 結論

倒向隨機微分方程在金融市場上具有很重要的價值，它為金融產品的定價開辟了一條新的路徑。以往的文獻對可分離債券的定價都是以隨機分析中的鞅表示定理和Gisanov 定理作為研究工具，利用到期現金流折現的方法來實現的。而本文用倒向隨機微分方程理論研究了可分離債券的定價，利用Feynman-Kac 公式，得到了可分離債券在當前時刻的價格就是所滿足的倒向隨機微分方程的解。