基于直覺模糊張量的決策方法及其應(yīng)用

鄧勝岳， 譚金桃， 宋玉琴， 申 靜

(1. 湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，株洲 412007; 2. 湖南工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，株洲 412007)

0 引言

多屬性決策是在考慮多個屬性的前提下，選擇最優(yōu)的備選方案或?qū)溥x方案進(jìn)行排序的決策問題[1]。作為現(xiàn)代決策科學(xué)的一個重要組成部分，多屬性決策的理論和方法廣泛應(yīng)用在工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、控制和軍事等諸多領(lǐng)域中。信息集成不僅是決策理論中的關(guān)鍵問題之一，而且也是目前處理多屬性決策問題的主要方法之一。因此，針對多屬性決策信息集成問題，國內(nèi)外許多專家展開了系統(tǒng)深入的研究，取得了一系列的研究成果。自Atanassov[2]提出了直覺模糊集以來，基于直覺模糊集的多屬性群決策受到了學(xué)術(shù)界廣泛的關(guān)注，特別是對于直覺模糊多屬性決策信息集成問題，Xu 等[1，3—10]先后定義了直覺模糊有序加權(quán)平均算子、模糊加權(quán)幾何算子、直覺模糊有序加權(quán)算子、直覺模糊有序加權(quán)幾何算子、直覺模糊混合算子和直覺模糊混合幾何算子、直覺模糊集相似度并提出了對應(yīng)的直覺模糊多屬性決策方法；Li[11]提出了廣義直覺模糊有序加權(quán)平均算子；Zhao 等[12]給出了廣義直覺模糊混合平均算子和廣義直覺模糊加權(quán)平均算子；Xia 和Xu[13]根據(jù)熵的概念及性質(zhì)，提出了關(guān)于直覺模糊多屬性決策熵和交叉熵的方法。然而，隨著決策系統(tǒng)的日益復(fù)雜化，影響決策的因素越來越多，獲取的決策數(shù)據(jù)的維數(shù)與量級越來越大，導(dǎo)致了原有基于矩陣?yán)碚摰臎Q策方法難以有效地處理具有高維數(shù)據(jù)特征的復(fù)雜決策系統(tǒng)問題。

隨著Qi[14]和Lim[15]于2005 年分別獨(dú)立提出了張量特征值和張量特征向量的概念，相關(guān)研究成果在國內(nèi)外學(xué)術(shù)界引起熱烈反響，吸引了一大批學(xué)者從事張量理論及其應(yīng)用的研究[16—20]。目前，學(xué)術(shù)界對張量的研究主要集中在張量譜理論、張量計算、張量的分類以及應(yīng)用等方向，僅有幾篇文獻(xiàn)涉及到模糊張量的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用的研究，其中Chen 等[21—23]定義了模糊張量特殊形式(即維數(shù)相等)，并將3 階模糊張量應(yīng)用到普安古樹茶的分類問題等；Deng 等[24—25]定義了模糊張量的一般形式(維數(shù)可以不相等，也可以相等)，并將模糊張量成功應(yīng)用于決策理論與實(shí)踐中。

由于具有高階多維特征的模糊張量恰好能從理論上解決具有高維數(shù)據(jù)特征的復(fù)雜決策系統(tǒng)的建模、計算與綜合集成問題。因此，針對直覺模糊環(huán)境下具有高維數(shù)據(jù)特征的復(fù)雜決策問題，在我們已有研究成果的基礎(chǔ)上[24—25]，定義了直覺模糊張量的一般形式，建立了基于直覺模糊張量的廣義直覺模糊加權(quán)平均算子，提出了基于直覺模糊張量的決策方法，設(shè)計了基于直覺模糊張量的算法，通過具有四維數(shù)據(jù)特征的動態(tài)多屬性群決策算例，驗(yàn)證了本文所提模型及方法的有效性和可行性。

1 基礎(chǔ)知識

本節(jié)簡要介紹直覺模糊集和直覺模糊信息集成理論的基礎(chǔ)知識，以及說明本文中所要涉及到的符號，具體如下。

則函數(shù)GIFWA 是廣義直覺模糊加權(quán)平均算子。

2 基于直覺模糊張量的廣義直覺模糊加權(quán)平均算子

由于直覺模糊信息集成理論有助于處理直覺模糊多屬性決策問題，因此，本節(jié)將利用基于模糊張量的廣義模糊綜合評價方法[24]，推導(dǎo)出廣義直覺模糊加權(quán)平均(GIFWA)算子，提出了基于直覺模糊張量的決策方法，為設(shè)計算法奠定理論基礎(chǔ)。

定理1 設(shè)～AIF∈TIF(m，n1×n2×···×nm)是m階直覺模糊張量，即～AIF=(ai1i2···im)n1×n2×···×nm，其中ai1i2···im= (μi1i2···im，νi1i2···im)，則等式(1)的集成值表達(dá)式為

可得

因此，定理1 的計算結(jié)果是n1維直覺模糊(IF)向量。

3 算法

4 應(yīng)用

為了說明基于直覺模糊張量的決策方法能夠解決具有高維數(shù)據(jù)特征的決策問題，本節(jié)將以動態(tài)多屬性群決策問題為例。該算例是對文獻(xiàn)[1]中的例題6.3.1，以及文獻(xiàn)[7]中的案例做了適當(dāng)?shù)男薷模唧w如下。

算例1 考慮湖北省農(nóng)業(yè)生態(tài)區(qū)排序問題。根據(jù)環(huán)境與自然資源的區(qū)別和差異，湖北省可大致劃分為7 個農(nóng)業(yè)生態(tài)區(qū)：Y1—武漢—鄂州—黃岡；Y2—湖北東北部；Y3—湖北東南部；Y4—江漢地區(qū)；Y5—湖北北部；Y6—湖北西北部；Y7—湖北西南部。為了考慮這些農(nóng)業(yè)生態(tài)區(qū)Yi(i= 1，2，···，7)的綜合功能，成立了一個由三位專家組成的委員會El(l= 1，2，3)，該委員會根據(jù)三個不同的屬性Gj(j= 1，2，3)在2004 年至2006 年對7 個農(nóng)業(yè)生態(tài)區(qū)Yi(i=1，2，···，7)進(jìn)行評價。其中三個不同的屬性分別是：

1)G1是生態(tài)效益； 2)G2是經(jīng)濟(jì)效益； 3)G3是社會效益。

令ω= (1/6，2/6，3/6)T是年份tlk(k= 1，2，3)的權(quán)重向量，λ= (0.5，0.2，0.3)T是決策者El(l= 1，2，3)的權(quán)重向量，ξ= (0.3，0.4，0.3)T是屬性Gj(j= 1，2，3)的權(quán)重向量，并且R(tlk)(l，k= 1，2，3)是標(biāo)準(zhǔn)化個體直覺模糊決策矩陣(此處tl1表示“2004”年，tl2表示“2005”年，tl3表示“2006”年)，詳見表1 至表9。

表1 直覺模糊決策矩陣R(t11)

表2 直覺模糊決策矩陣R(t21)

表3 直覺模糊決策矩陣R(t31)

表4 直覺模糊決策矩陣R(t12)

表5 直覺模糊決策矩陣R(t22)

表6 直覺模糊決策矩陣R(t32)

表9 直覺模糊決策矩陣R(t33)

表7 直覺模糊決策矩陣R(t13)

表8 直覺模糊決策矩陣R(t23)

即

步驟4根據(jù)得分函數(shù)s(Yi1)的結(jié)果，7 個農(nóng)業(yè)區(qū)域的排序?yàn)閅1?Y4?Y2?Y5?Y3?Y7?Y6。因此，功能最全面的農(nóng)業(yè)生態(tài)區(qū)是Y1—武漢—鄂州—黃岡。

與其他方法的比較：文獻(xiàn)[1]中的例題6.3.1 以及文獻(xiàn)[7]中的案例利用動態(tài)直覺模糊加權(quán)平均算子只能解決具有三維數(shù)據(jù)特征的動態(tài)多屬性決策問題，并且本文提出的基于直覺模糊張量的廣義直覺模糊加權(quán)平均算子是動態(tài)直覺模糊加權(quán)平均算子的一般形式。通過分析上述算例，本文提出的基于直覺模糊張量的決策方法不僅能夠解決具有四維數(shù)據(jù)特征的動態(tài)多屬性群決策問題，而且也可以處理具有三維數(shù)據(jù)特征的多屬性群決策問題或者具有更高維數(shù)據(jù)的實(shí)際復(fù)雜決策問題。因此，與其他方法相比，本文所提出的方法具有廣泛的適用性。

5 結(jié)論

為了解決具有高維數(shù)據(jù)特征的直覺模糊決策問題，本文定義了直覺模糊張量及其運(yùn)算法則，建立了基于直覺模糊張量的廣義直覺模糊加權(quán)平均算子，設(shè)計了基于直覺模糊張量的直覺模糊決策算法，該算法能有效解決以動態(tài)多屬性群決策為代表的高維數(shù)據(jù)特征的復(fù)雜決策問題。最后，通過算例驗(yàn)證了本文所提方法的可行性和有效性。