含兩時滯企業競爭與合作模型的全局吸引性

艾合麥提·麥麥提阿吉

(新疆大學數學與系統科學學院，烏魯木齊 830017)

0 引言

值得注意的是，種群在生物系統中的生存是生物數學中最基本、最重要的問題之一，而共存是實現物種生存的一個重要途徑。然而，在現實世界中共存不僅存在于生物種群中，而且存在于企業集群中。因此，成為我們社會中最普遍的現象之一。近年來，國內外一些學者提出了基于生態學理論的各種類型企業集群模型[1–15]，這引起了許多學者對應用生態學和動力系統理論方法研究企業集群的興趣。例如，田秀華等[3]研究了以下無時滯自治兩企業競爭動力學模型

應用重合度理論和微分不等式理論，徐昌進[8]得到了一組系統(4)周期解存在的充分條件。隨后，艾合麥提·麥麥提阿吉和穆沙江·努熱吉[9]考慮了系統(4)，利用微分方程比較原理和構造Lyapunov 泛函，得到了系統(4)的有界性、持久性、滅絕性和全局吸引性的一些新的充分條件。

此外，在自然界中，種群的棲息地環境會隨著時間而變化，這會導致這些種群的生長特征發生變化。同樣，企業集群里的各個因素也會隨著時間而變化。然而，自治系統(1)～(3)中作者不考慮這隨著時間而變化的變化，且自治系統(1)～(3)在數學建模方面存在一定的局限性。因此，我們研究兩個企業競爭與合作模型時，應該考慮這種隨著時間而變化的情況。基于上述的研究工作[1–9]，分析和原因，本文考慮以下的兩時滯非自治企業競爭與合作模型

據我們所知，企業集群的一個重要問題是企業集群的共存性和共存的穩定性。而更好地解決這個問題的方法就是研究企業集群模型的全局吸引性。因此，本文的主要目的是建立系統(5)的最終有界性和全局吸引性的一些新的充分條件。另外，作為本文主要結果的應用，我們還研究系統(1)～(3)的上述動力學行為。

在系統(5)中，xi(t)(i= 1，2)分別表示企業A和企業B在t時刻的產量；ri(t)(i=1，2)表示企業A和企業B在t時刻的產出內在增長率；τi ＞0(i=1，2)分別是常數。在本文中，需要以下基本假設：

(H1)ri(t)(i=1，2)、ai(t)(i=1，2)、bi(t)(i=1，2)和ci(t)(i=1，2)在區間[0，+∞)上有界、連續的正函數；

1 主要結果

注3 由于模型(1)～(4)可看作模型(5)的特殊情況。因此，本文建立的模型和研究得到的結論補充和推廣了目前已有的關于兩企業競爭與合作動力學模型方面的工作[1–9]。

2 數值實例

圖1 系統(16)的全局吸引性

顯然，定理2 的條件不成立。從圖2 可以看出，系統(17)非全局吸引的.

圖2 系統(17)的非全局吸引性

注4 從以上兩個例子中，可以看到時滯τ1、τ2對系統全局吸引性的影響。本文的結果表明，時滯的大小會影響系統的全局吸引性，在某些情況下，對于本時滯系統而言，比較小的時滯可以保持模型的全局吸引性，但比較大的時滯會破壞模型的全局吸引性。

3 總結

在前人工作的基礎上，研究了一類具有兩離散時滯的非自治兩企業競爭與合作模型。利用不等式技巧和構造多重Lyapunov 泛函，得到了模型(5)最終有界性和全局吸引性的充分條件。此外，還建立了模型(1)～(3)的有界性和全局吸引性的充分條件。從定理1、定理2 和上述兩個數值實例可以得到，離散時滯τ1和τ2影響模型全局吸引性的結論。