基于“兩個過程”的初中數學拓展性課程教學實踐與思考
——以“怎樣把彎路改直”為例

王思凱

(華東師范大學教師教育學院 200062)

葉立軍

(杭州師范大學基礎教育發展中心 311121)

1 問題的提出

數學拓展性課程作為基礎性課程的延伸和補充，堅持“以生為本，個性發展”原則，對于學生認知結構的完善、學習能力的提升等具有重要意義，是新時代深化教育改革的必然需求．拓展性課程定位于對基礎性課程中有關學生核心素養發展方面的延伸與不足之處的補充，為學生核心素養的發展提供充分的支持．面對新時期教育教學變革凸顯素養本位的時代要求，數學拓展性課程的教學應以學生數學核心素養的發展為旨歸，促使學生在經歷數學知識的概念性理解中獲得個性化的成長．

然而在實際教學中，數學拓展性課程的實施效果卻不佳，表現出課堂“以練代學”而異化為基礎課程教學內容的鞏固與加深、重知識習得輕過程建構而忽視學生的思維發展等問題，從而難以在課堂中有效落實核心素養的培養．核心素養的發展以知識掌握為前提，回歸學生本體，從數學知識發生發展過程和學生認知過程設計教學過程是落實數學學科核心素養的關鍵．是以數學拓展性課程的教學應立足學生的基礎設計教學活動，強調數學知識發生發展的合理性，體現學生數學思維的發展過程．本文以“怎樣把彎路改直”教學內容為例，闡述如何基于“兩個過程”實施初中數學拓展性課程的教學，以期為教師在實踐中開展拓展性課程教學提供借鑒與參考．

2 教學內容解析

“怎樣把彎路改直”教學內容選自浙江教育出版社出版的由許芬英、葉立軍、張宗余主編的數學拓展性課程系列教學用書《義務教育拓展性課程 數學新探索》七年級下冊第1章第1.4節，由教師B于“學為中心”的初中數學拓展性課程名師課堂教學觀摩與研討活動中執教．本節課以等積變形為主題，以平行線這一基本圖形為前提，通過尋找和構造平行線以實現三角形的等積轉化．平行線作為初中平面幾何中的基本圖形之一，主要表現為兩個功能：一是遷移角，通過“兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補”進行不同角之間的互相轉換，已呈現在基礎性課程中；二是遷移面積，通過“平行線等積變形”求圖形的面積，并未正式出現于基礎性課程，這也是本節數學拓展課所要體現的．

幾何源于圖形面積的測量，求圖形的面積是平面幾何中的基本問題之一．等積變形是指當一個圖形的形狀發生了變化，而其面積始終保持不變，因而常用于計算圖形面積，尤其是求解不規則圖形的面積．本節課是在學完基礎性課程中的平行線及圖形的平移后開設的一節拓展課，由“兩條平行線間的距離處處相等”的性質發現“等底等高”“同底等高”“同高等底”三種等積變形類型是教學的關鍵．

3 基于“兩個過程”理念的拓展課教學實踐

為避免等積變形的教學異化為基礎性課程中求圖形面積的一節習題課，教師B以培養學生基于數學建模過程解決實際問題的思維作為本節課教學的落腳點，按照數學建模的基本流程設計教學活動，采用生活中“怎樣把彎路改直”的實際問題引入，將之抽象為數學問題引出教學主題，在尋找并建立數學模型從而解決實際問題的過程中展開等積變形內容的教學．

實際情境 如圖1所示，要把一片農田中的折線型道路改成一條直路，使道路兩邊的農田面積保持不變，且道路經過端點

A

，應該怎樣改？請你畫出示意圖，并說明理由．

圖1 圖2

3.1 析取關鍵要素，抽象數學問題

教師B從實際問題的條件背景出發，設計問題鏈引導學生析取圖1中的關鍵要素“折線型道路”，將之數學化為幾何圖形“折線”，然后用數學語言表達實際問題，即在圖2中經過點

A

畫直線

l

，使得直線

l

兩側的面積與原來相同．

設問1：你能從實際情境中得到哪些信息？

設問2：圖1中的道路可以抽象為什么圖形？

設問3：把這一條折線改為直線的前提條件是什么？

3.2 聯系先驗知識，建立數學模型

圖形的面積是建立本節課數學模型的知識起點，教師B從學生已有的知識經驗(幾何圖形的面積公式)出發，設計問題鏈引導學生觀察圖形的面積公式，鼓勵學生充分表達自己的想法，在數學地思考三角形和平行四邊形兩者的面積關系的過程中初步認識等積變形．

設問1：要解決的問題涉及什么數學知識？

設問2：我們已經學習過哪些關于面積的知識？

設問3：如圖3所示，為什么平行四邊形的面積公式比三角形的少了系數？

圖3

接著，教師B將平行四邊形的一組對邊引申為兩條平行線，設計在平行線之間畫三角形并將不同三角形進行歸類的探究活動，讓學生親自動手畫圖，經歷基本類型的發現過程，實現在做中學數學．同時借助幾何畫板動態演示在平行線上取點畫三角形，實現知識呈現的動態化與直觀化，促進學生對等積變形類型的概念性理解．

探究活動 如圖4所示，在一組平行線

m

,

n

上畫點，并與點

A

,

B

,

C

中的任意兩點相連，使得構成的三角形面積與△

ABC

的面積相等，這樣的三角形有多少個？

圖4 圖5

根據從幾何畫板演示的動畫中抽象的圖形，教師B設計問題引導學生回歸平行線之間三角形面積關系的研究，讓學生尋找圖5中面積相等的三角形，歸納得到如圖6所示的等積變形的基本模型．

圖6 等積變形的數學模型

3.3 解決實際問題，滲透建模思想

圖7

學生通過思考交流運用“等積變形”的基本模型解決彎路改直路的問題，總結得到如圖7所示的解決方案，即連結

AB

，過點

C

作

AB

的平行線，交底邊于點

P

，連結

AP

得到直線

l

即為所求，進一步感悟數學的現實應用性．

圖8 數學建模的一般步驟

在解決實際問題之后，教師B引導學生回顧之前的研究過程：將實際問題轉化為數學問題，通過尋求問題涉及的知識起點建立模型，然后應用模型解決實際問題，歸納得到圖8所示的數學建模的一般步驟，讓學生再次體會數學建模的重要作用，加深對建模思想的理解．

3.4 深化模型理解，促進深度學習

應用數學模型解決數學問題亦是加深學生理解模型的重要途徑之一，教師B按照“有平行線，尋找平行線；無平行線，構造平行線”的原則設計練習引導學生借助平行線定邊移點發現面積相等的三角形，從具體情境中析取一般化的數學解題方法，促進學生加深對等積變形是建立在平行線基礎之上的理解．

圖9

教師B呈現含有平行線的幾何圖形(圖9)，讓學生在五邊形

ABCDE

中根據條件

AB

∥

EC

尋找與△

ABC

面積相等的三角形，檢驗學生直接應用模型的能力．然后通過變式增加條件，發展學生有序思考數學問題的習慣．同時借助思考回顧知識應用過程，歸納得到“定邊移點”運用模型的經驗，達到“做一題、會一類、通一片”的效果．

圖10

在此基礎上，教師B呈現沒有已知平行線存在的圖形(圖10)，讓學生在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，尋找格點

P

，使得△

BCP

的面積等于△

ABC

的面積，啟發學生借助網格點構造平行線，達到靈活應用知識的目的，感悟轉化與化歸的數學思想方法．

變式

若在圖9中添加條件

BC

∥

AD

，

BD

∥

AE

，與△

ABC

面積相等的三角形有幾個？

思考

我們可以從尋找面積相等的三角形的過程中總結出一條什么樣的經驗？

4 總結與思考

數學拓展性課程的教學要指向學生數學核心素養的培育，其教學活動的設計應當也必須要基于數學知識發生發展的過程和學生的思維認知特點．本節課中教師B從問題涉及的知識起點出發激發學生的數學思考，通過等積變形的教學揭示一類知識學習的思維過程．

4.1 注重經歷數學對象獲得、研究及應用的完整過程，幫助學生學會數學地學習

拓展性課程從分析與綜合、比較與分類、抽象和概括這三個思維培育維度出發，讓學生深度思考知識的產生、發展以及與其他事物的聯系．教師先通過三角形到平行四邊形的圖形面積變化引發思考，再借助在平行線中畫三角形的方式探究歸納等積變形的三種類型，讓學生在歸納概括事物本質中獲得并深化對數學模型的理解,經歷數學思維發展的過程，通過再創造的方式提煉基本模型．另外，基于幫助學生學會學習和學會思考的考慮，教師把學生基于數學建模解決實際問題這一數學思維的形成作為教學的出發點，并未安排過多的例習題讓學生反復操練從而熟悉應用模型，而是注重學生完整建模過程的經歷和感悟，強調在理解基礎上的應用，進而發展數學建模素養．

4.2 強調以認知邏輯為起點設計并實施教學活動，促進學生學會主動地學習

學習是學習者在其原有的知識經驗基礎上的知識意義生成和建構理解．數學拓展課的教學需踐行“學為中心”理念，強調在順應學生的認知心理需求的基礎上增強學生的知識體驗與理解．教師以圖形的面積作為本節拓展課內容的知識起點，從學生熟知的圖形面積公式入手創設問題情境，引發學生探索等底等高圖形的面積關系，從而開始等積變形模型的探究過程．七年級的學生在生活中已經獲得對“兩條平行線之間的距離處處相等”的直觀感受，教師并未安排這一定理的推導、幾何語言的書寫等活動，而是通過呈現定理的具體內容并結合實例讓學生調動已有的生活經驗，保證初步應用即可．另外，教師根據學生的認知發展規律，從直接尋找平行線過渡到構造平行線，遵循先易后難的順序安排課堂鞏固環節，促進學生在變式應用的基礎上實現深度學習．總之，數學拓展性課程給予學生更大的學習自主權和學習空間，需要教師在理解學生的基礎上設計教學．