基于雙側(cè)破壞模式的臨坡地基承載力簡化分析方法

彭文哲，陳玖穎，趙明華

（湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙 410082）

我國山區(qū)面積占國土面積的2/3，在公路和鐵路等交通基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)不斷推進的過程中，時常會遇到在山區(qū)修筑路基的工況.邊坡的存在將導(dǎo)致地基承載力大幅降低［1-2］，直接影響著山區(qū)道路工程的安全性和經(jīng)濟性，若因承載力不足引起滑坡、崩塌等重大事故，將導(dǎo)致巨大的生命和財產(chǎn)損失.現(xiàn)行規(guī)范尚無明確針對臨坡地基承載力的計算方法，在實際工程中，或?qū)⑵涞刃槠降氐鼗幚?，或依?jù)工程經(jīng)驗對其承載力進行折減，導(dǎo)致計算結(jié)果可能偏于危險或過于保守.因此，探究臨坡地基的承載力問題具有相當(dāng)重要的工程意義.

目前，常用的地基承載力分析方法主要有極限平衡法、滑移線法和極限分析法等.其中，極限分析法在分析地基承載力時無須精確確定破壞機構(gòu)內(nèi)部的應(yīng)力分布，適用于各類復(fù)雜巖土工程問題的求解.Meyerhof［3］在經(jīng)典Terzaghi 地基承載力公式的基礎(chǔ)上，較早地提出了考慮邊坡影響的臨坡地基承載力計算方法；陳祖煜［1］建立了由對稱主動區(qū)、過渡區(qū)和被動區(qū)三滑塊組成的臨坡地基單側(cè)破壞模式，有效考慮了臨坡距對臨坡地基承載力的影響；王紅雨等［2］基于極限平衡法，討論了臨坡地基滑移面的幾何形狀，提出了臨坡地基滑移模式，進而推導(dǎo)出相應(yīng)的承載力估算公式；楊峰等［4］假定臨坡地基單側(cè)滑塊在破壞區(qū)域的過渡區(qū)內(nèi)形成網(wǎng)格狀滑塊，進而引入優(yōu)化變量，推導(dǎo)出地基承載力系數(shù)上限解；胡衛(wèi)東等［5］深入分析臨坡地基破壞機理，引進滑移線場理論，構(gòu)建出考慮臨坡地基破壞非對稱性的單側(cè)破壞模式，并基于極限分析上限定理，提出了臨坡地基承載力計算方法.上述研究均采用單側(cè)破壞模式，雖然考慮了臨坡地基土體應(yīng)力非對稱引起的滑塊非對稱性，但一些臨坡地基承載力試驗［6-8］和數(shù)值模擬［9-15］研究表明，單側(cè)破壞模式未能考慮遠(yuǎn)離坡面一側(cè)的地基土體對地基承載力的貢獻(xiàn)，其結(jié)果往往偏于保守.尉學(xué)勇等［16］基于極限平衡法和極限分析法，提出了可反映臨坡地基破壞雙側(cè)性的破壞模式.在此基礎(chǔ)上，胡衛(wèi)東等建立了考慮臨坡距的臨坡地基承載力計算模型，分別采用極限平衡法［17］、極限分析法［18］和滑移線法［19］等對其進行分析，進而采用優(yōu)化分析方法，提出了臨坡地基承載力的計算方法.此外，蔣洋等［20］基于滑移線法，建立了斜坡地基破壞模型，并根據(jù)塑性邊界條件，推導(dǎo)出無重土斜坡地基極限承載力解析公式，進而通過離心試驗驗證其合理性.然而，上述研究在考慮遠(yuǎn)離坡面一側(cè)地基土的強度發(fā)揮時，計算過程過于繁瑣.

鑒于此，本文將考慮臨坡地基破壞模式的雙側(cè)性，基于極限分析上限定理，構(gòu)造符合機動許可速度場的破壞機構(gòu)，并引入強度發(fā)揮系數(shù)，表征遠(yuǎn)離坡面一側(cè)地基土的強度發(fā)揮程度，進而通過某工程實例驗證本文理論模型及計算方法的合理性，并提出強度發(fā)揮系數(shù)的合理取值，以期完善臨坡地基承載力分析的理論與方法.

1 臨坡地基雙側(cè)破壞模式

由于單側(cè)破壞模式未考慮遠(yuǎn)離坡面一側(cè)地基土強度對其承載力的影響，故其計算結(jié)果可能相對保守，基于雙側(cè)破壞模式的承載力計算結(jié)果應(yīng)更為貼近實際值.

為此，在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，考慮臨坡地基破壞模式的雙側(cè)性，建立了相應(yīng)的破壞模式（圖1）：

圖1 臨坡地基雙側(cè)破壞模式Fig.1 Bilateral failure mode of foundation near slope crest

1）主動區(qū)非對稱剛性滑塊Ⅰ，即路基荷載正下方的非對稱三角形楔體ABC，其底角α（α=45°+φ/2）和αm（αm=45°+φm/2）不相等，αm隨路基荷載、土體性質(zhì)及邊坡坡度等變化，φm的變化范圍為φm∈［0，φ］.

2）彈塑性過渡輻射剪切區(qū)滑塊Ⅱ和Ⅳ，即三角形楔體ABC兩側(cè)的楔體BCD和ACG，滑塊Ⅱ和Ⅳ將分別沿滑移線CD和CG（對數(shù)螺旋線）向兩側(cè)發(fā)生滑動破壞，其楔體輻射區(qū)頂角分別為θ和θm，滑塊Ⅱ和Ⅳ的幾何尺寸也能有效反映臨坡地基破壞模式的非對稱性.

3）被動區(qū)滑塊Ⅲ和Ⅴ，即過渡輻射剪切區(qū)楔體BCD和ACG兩側(cè)的楔體BDEF和AGH，二者分別沿對數(shù)螺旋線CD和CG的切線方向發(fā)生平移滑動，形成連續(xù)滑動面，也表現(xiàn)出幾何尺寸和形狀的非對稱性.

圖1中L1為路基荷載外邊緣與坡面的距離，L2為路基荷載內(nèi)邊緣到破壞線邊緣的距離，L1、L2可分別表示為：

式中：a為臨坡距系數(shù).

鑒于極限分析上限解是一個關(guān)于多變量（α、αm、θ和θm）的優(yōu)化問題，并不便于工程設(shè)計人員直接應(yīng)用和初步設(shè)計，故引入強度發(fā)揮系數(shù)m的概念，假定間斷線ACGH上各點應(yīng)力狀態(tài)滿足破壞準(zhǔn)則fm=0，如圖2及式（3）所示.

圖2 地基土強度發(fā)揮程度Fig.2 Mobilization of foundation soil

綜上，可構(gòu)建出臨坡地基雙側(cè)破壞模式，該模式較好地反映了地基沿兩側(cè)的滑動破壞及兩側(cè)滑塊幾何尺寸和形狀的非對稱性，其分析模型主要受強度發(fā)揮系數(shù)控制.

2 速度場分析

首先作出基本假定如下：

1）路基荷載正下方剛性滑塊以速度vP垂直向下運動；

2）主動區(qū)Ⅰ、被動區(qū)Ⅲ和Ⅴ均為剛體；

3）過渡區(qū)Ⅱ與Ⅳ均為理想塑性體，滿足Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則與關(guān)聯(lián)流動法則.

結(jié)合機動允許速度場和速度間斷面的相容關(guān)系（圖3），可推導(dǎo)出各速度間斷面的速度.

圖3 破壞模式對應(yīng)速度場Fig.3 Velocity field corresponding to failure mode

由Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則和關(guān)聯(lián)流動法則可知，間斷面AC上各質(zhì)點速度v1與間斷面AC之間的夾角為φm，v1大小為：

間斷面BC上各質(zhì)點速度v2與間斷面BC之間的夾角為φ，v2大小為：

射線BC上各質(zhì)點速度v3與間斷面BC垂直，v3大小為：

間斷面CD上各質(zhì)點速度vCD的大小為：

楔體BCD中，由射線BC至BD，間斷面CD上各點的速度大小及方向都在改變，但其方向一直和間斷面CD的切向成夾角φ，且垂直于經(jīng)B點射線.其中，射線BD垂直于D點間斷速度v4，v4大小為：

射線AC上各質(zhì)點速度v6與間斷面AC垂直，v6大小為：

間斷面CG上各質(zhì)點速度vCG的大小為：

同樣地，間斷面CG上各點速度的方向和大小也在改變，速度方向一直同間斷面CG的切向成夾角φm，并垂直于經(jīng)A點射線.其中，G點間斷速度v7方向垂直于射線AG，v7大小為：

假定滑塊Ⅲ速度為v5，由于破壞面DE下方土體不發(fā)生運動，則速度間斷面DE上真實間斷速度為v5.間斷線BD上各點速度v4與間斷線BD垂直，v4為間斷面CD上的實際間斷速度，和間斷線CD在D點切向之間夾角為φ，滑動面ACDE為連續(xù)破壞面，對數(shù)螺旋線CD在D點的切線為DE，故v4和v5在方向上保持相同，v5的方向也與BD線垂直.此外，v5和v4在間斷線BD垂直方向上的分量一致，則速度v5和v4大小均可表示為：

綜上，v5與v4大小相等，方向相同，面BD兩側(cè)的速度連續(xù)，并不是速度間斷面，故無能量耗散發(fā)生.

同理，間斷面GH真實的間斷速度v8和v7大小相等，方向相同，故v8與間斷面GH之間的夾角為φm，v8和v7大小為：

面AG兩側(cè)的速度連續(xù)，并不是速度間斷面，故無能量耗散發(fā)生.

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3 臨坡地基承載力上限解

3.1 外力功率

外力功率主要包括路基荷載Qu的外力功率Wu及各滑塊自重的外力功率WⅠ、WⅡ、WⅢ、WⅣ和WⅤ.

路基荷載Qu的外力功率Wu為：

滑塊Ⅰ和Ⅲ自重外力功率WⅠ和WⅢ分別為：

式中：γ為地基土重度；SABC和SBDEF分別為滑塊Ⅰ與Ⅲ的面積，可通過幾何形狀計算而得.于是，滑塊Ⅰ與Ⅲ的自重外力功率WⅠ和WⅢ分別為：

滑塊Ⅱ與Ⅳ自重產(chǎn)生的外力功率WⅡ與WⅣ分別為：

滑塊Ⅴ自重外力功率WⅤ為：

式中：SAGH為滑塊Ⅴ的面積，其大小為：

滑塊V因自重引起的外力功率WV亦可表示為：

于是，總外力功率W為：

3.2 內(nèi)能耗散率

內(nèi)能耗散率主要包括速度間斷面及楔體內(nèi)部的能量耗散率，前者為間斷速度與黏聚力c或cm的點積，后者為塑性應(yīng)變率與應(yīng)力之積.

間斷面AC上的能量耗散率DAC為：

間斷面BC上的能量耗散率DBC為：

間斷面DE上的能量耗散率DDE為：

間斷面CD和CG上的能量耗散率DCD和DCG分別為：

楔體BCD和ACG塑性能耗散率DBCD和DACG分別為：

綜上，內(nèi)能耗散率總和D可表示為：

3.3 上限解

由極限分析上限定理可知，內(nèi)能耗散率應(yīng)與外力功率一致，則：

整理可得Qu的Terzaghi承載力形式如下：

式中：Nc和Nγ均為臨坡地基承載力系數(shù)，分別受黏聚力c和重度γ控制.

Nc可通過與黏聚力c相關(guān)的能量耗散公式（25）～（32）推導(dǎo)，并通過合并同類項表示為f7至f11的函數(shù).其中，f7可通過聯(lián)立式（25）和（26）推導(dǎo)，f8、f9、f10和f11可分別通過式（29）（30）（27）和（28）變換而得.

式中：

Nγ可通過與重度γ相關(guān)的自重外力功率公式（17）～（20）和式（23）推導(dǎo)，并通過合并同類項表示為f12至f16的函數(shù)，f12、f13、f14、f15和f16可分別通過式（17）（19）（20）（18）和（23）變換而得.

4 工程實例

湖南省某高速公路路段為雙向四車道，路面寬度為15 m，邊坡坡率為1∶1.5.路面車輛荷載分布根據(jù)《公路路基設(shè)計規(guī)范》（JTG D30—2015）［21］，取為2 m.在現(xiàn)場施工時，擬采用兩種改性花崗巖作為路堤填料，其黏聚力和內(nèi)摩擦角如表1 所示.將根據(jù)本文理論方法獲得的不同臨坡距下地基承載力計算結(jié)果與有限元極限分析軟件的數(shù)值結(jié)果進行對比，如表2所示.

表1 兩種路堤填料材料強度參數(shù)Tab.1 Strength parameters of two kinds of embankment filling materials

由表2 可知，地基承載力隨著黏聚力和內(nèi)摩擦角、臨坡距及發(fā)揮系數(shù)m的增加而增加.當(dāng)m=0 時，雙側(cè)破壞模式退化為單側(cè)破壞模式，在不同工況下均會低估極限承載力.大多數(shù)工況下，m=0.3 時，理論計算結(jié)果更接近數(shù)值計算結(jié)果.綜上可知，采用本文理論計算方法預(yù)測臨坡地基承載力是可行的，尤其是在工程初步設(shè)計階段，選擇合適的強度發(fā)揮系數(shù)即可較為快速準(zhǔn)確地判斷極限承載力的大小.

表2 路堤承載力計算結(jié)果Tab.2 Calculation results of embankment bearing capacity

5 結(jié)論

考慮臨坡地基各滑塊幾何尺寸和形狀的非對稱性，建立了臨坡地基雙側(cè)破壞的簡化分析模型，通過引入土體強度發(fā)揮系數(shù)考慮遠(yuǎn)離坡面一側(cè)的土體強度發(fā)揮程度，提出了臨坡地基承載力的簡化分析方法，得出如下結(jié)論：

1）邊坡的存在導(dǎo)致臨坡地基的破壞模式與平地地基存在一定的差異，在設(shè)計計算時通常采用單側(cè)破壞模式或雙側(cè)破壞模式進行分析.其中，雙側(cè)破壞模式可以有效體現(xiàn)路基荷載兩側(cè)滑塊幾何形狀及大小非對稱的雙重特性，二者滿足某種條件時，將退化為平地地基破壞模式.

2）基于臨坡地基雙側(cè)破壞模式，結(jié)合極限分析上限定理，提出了可考慮地基破壞模式雙側(cè)性的臨坡地基承載力簡化分析方法.

3）通過工程實例的參數(shù)及相應(yīng)的數(shù)值計算結(jié)果，驗證了本文理論模型及計算方法的可行性.

4）引入強度發(fā)揮系數(shù)表征遠(yuǎn)離坡面一側(cè)地基土的強度發(fā)揮程度，將多參量優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為簡單的強度發(fā)揮系數(shù)選取問題并給出了建議取值，便于工程設(shè)計人員的應(yīng)用和初步設(shè)計.