下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層極限承載力計算方法

雷勇，譚豪，李鵬甲，胡偉

（巖土工程穩定控制與健康監測湖南省重點實驗室（湖南科技大學），湖南湘潭 411201）

隨著國家基礎建設不斷推進，越來越多的大型橋梁樁基建設時難以避免遇到溶洞或采空區，樁基設計施工時難度增大，成本提高.現有研究表明，當空洞頂板具有一定厚度時，可利用其自承能力將樁基置于空洞頂板上，做到同時滿足上部結構豎向承載力及空洞頂板穩定性要求［1-3］.這種設計處理方法不僅降低了施工難度，還可節約成本，較多學者對下伏空洞樁基問題進行了研究和探討.

在試驗研究方面，李炳行等［4］進行了深井靜載荷試驗，認為結構完整并處于樁端應力影響范圍內的巖體臨空面具備一定穩定性；黃生根等［5］通過大直徑下伏溶洞人工挖孔灌注樁的靜載荷試驗，研究了在樁端巖溶影響下樁基承載特性；張慧樂等［6-7］基于下伏球形或橢球形空洞樁基的室內模型試驗，研究了空洞頂板厚度及偏移等因素對承載能力和破壞模式的影響；雷勇等［8］進行了巖溶區下伏空洞樁端巖層極限承載力破壞模型試驗，研究了荷載偏移位置與空洞頂板厚度對下伏空洞樁端基巖的極限承載力和相應破壞模式的影響；Fattah 等［9］開展了下伏空洞地基中樁基模型試驗，研究了樁基偏心、空洞埋深和空洞直徑的變化對樁基荷載和沉降的影響.在理論研究方面，趙明華等綜合考慮了樁端持力巖層的抗沖切、抗剪切和抗彎拉破壞，基于極限平衡法提出樁端巖層安全厚度確定方法［1］，之后在溶洞頂板抗沖切、抗剪驗算中分別引入格里菲斯判據和莫爾判據，分析了抗剪驗算中樁端巖層剪切破壞的2 種破壞模式［10］.Fraldi 等［11］基于Hoek-Brown 強度準則采用極限分析法對樁下空洞頂板的破壞模式進行了分析；龔先兵等［12］采用非概率可靠性分析方法對樁端下伏溶洞頂板穩定性進行分析；雷勇等［13-14］將試驗得到的空洞頂板沖切破壞模式與極限分析理論相結合，推導出空洞頂板承載力表達式；柏華軍［15］通過對溶洞頂板持力層模型的合理簡化，提出了可以考慮有效寬度、自重等影響因素的單向板及雙向板抗拉彎破壞溶洞頂板持力層厚度公式.

上述研究主要針對下伏空洞單樁相關問題進行，現有對下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層極限承載力的研究極少.在實際工程中橋梁較多采用一柱一樁基礎形式，在橫向形成單排樁，由于橋幅有限，單幅基樁數量一般為2～3 根，樁間距一般不大.當樁間距較小時，各樁樁端巖層發生沖切破壞時產生的沖切體可能存在重疊現象，使整體承載力降低，影響橋梁上部結構安全，故有必要針對該問題作進一步研究.

本文根據室內模型試驗所得的現象假設下伏空洞橋梁雙樁及三樁基礎樁端巖層破壞模式，在通過極限分析上限法［16］推導得到下伏空洞單樁樁端巖層極限承載力計算方法的基礎上，采用空間曲面積分方法計算排樁各樁下沖切體重疊部分側面積，進一步考慮重疊面積與樁端巖層承載力折減之間的關系，推導排樁極限承載力的計算方法；將理論計算與試驗得到的極限承載力結果進行比較，驗證了理論方法的合理性；最后，通過數值模擬與理論計算分析不同樁間距時橋梁單排樁基礎樁端基巖極限承載力的變化規律.

1 模型試驗研究

為研究下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層的破壞模式，設計并進行了三組室內模型試驗.考慮室內試驗條件，采用圓形鋼柱模擬樁基，鋼柱直徑d取30 mm，雙樁及三樁情況下樁間距L均取90 mm.采用水泥、砂、石膏和紅黏土作為模擬基巖的材料［17］，材料的配合比如表1 所示，測得其單軸抗壓強度標準值為1.8 MPa.

表1 基巖配合比（質量分數）Tab.1 Rock mixture ratio（mass fraction）

文獻［18］提出以巖溶頂板承載能力控制為主、變形控制為輔的原則開展穩定性評價，并規定：巖溶區橋梁的樁基、樁底高程應設置在一定厚度的巖溶頂板上.巖溶頂板厚度不宜小于3倍樁徑.考慮最不利情況，將頂板厚度設置為3 倍樁徑90 mm.室內模型為中空圓柱式頂板全固支空洞模型，內部圓柱直徑600 mm，洞高210 mm，圓柱外部直徑1 000 mm，高度300 mm.采用門式框架作為反力加載裝置，使用反力梁配合千斤頂加載，反力梁下依次安裝千斤頂、傳感器、墊塊以及模擬樁基鋼柱，整體為一自平衡系統.分別在模型頂板進行單樁、雙樁以及三樁的極限承載力試驗，試驗加載系統及模型試驗如圖1 所示.

圖1 加載系統及模型試驗Fig.1 The loading system and model test

試驗采用分級加載，每級荷載為1.0 kN，三組試驗中樁基的荷載沉降曲線如圖2 所示.根據文獻［19］巖石地基極限承載力與承載力特征值確定的規定：對于陡降型P-s曲線，以明顯陡降點為極限荷載.由此得到單樁、雙樁與三樁情況下樁端巖層極限荷載分別為11.0 kN、18.0 kN和24.0 kN.

圖2 不同樁數的荷載沉降曲線Fig.2 The Load settlement curves of different pile numbers

試驗加載完成后取出三組試驗得到的沖切體如圖3～圖5 所示，單樁樁端巖層沖切破壞體形狀近似母線為螺旋線的旋轉體，而雙樁及三樁樁端巖層沖切破壞體形狀近似各樁下沖切體重疊復合體.

圖3 單樁沖切破壞體Fig.3 The single pile destroy punching shear

圖4 雙樁沖切破壞體Fig.4 The double piles destroy punching shear

圖5 三樁沖切破壞體Fig.5 The three piles damaged punching shear

2 下伏空洞單樁基礎樁端巖層極限承載力計算方法

2.1 基本假定

為方便后續下伏空洞排樁樁端巖層承載力和破壞模式研究，先對單樁情況下樁端基巖破壞模式進行推導.根據極限分析及相關理論，對單樁沖切破壞理論模型作如下假設：

1）溶洞頂板為一水平面且四周邊界條件全為固支，頂板厚度h為樁底到空洞臨空區頂部的距離.

2）下伏空洞樁端巖層破壞時產生的沖切體為中心對稱的旋轉體，形態函數為f（x），如圖6 所示.在達到極限狀態時分為內部巖和外部巖層兩個剛性區以及厚度為δ的塑性區［20］.圖中h表示下伏空洞巖層頂板厚度，d表示樁徑，表示沖切破壞時沉降速率，D表示沖切體底面直徑.

圖6 沖切體破壞模式圖Fig.6 The failure mode of punching-shear cone

3）巖體為理想的剛塑性材料，符合Hoek-Brown強度準則以及相關的流動法則.

2.2 下伏空洞單樁樁端巖層極限承載力計算

根據極限分析上限法原理，極限狀態下外荷載功率與內部耗損功率，滿足能量守恒定律.文獻［15］研究表明，巖體自重做功對總體能量消耗占比極小，可不考慮巖體自重對總體承載力的影響，得到沖切體功率耗散方程如下：

式中：Pb1為隨著樁基礎傳遞到樁端基巖的荷載；D′、V分別為塑性區發生塑性破壞時單位體積內能損耗率與沖切體塑性區體積，計算公式如下：

式中：為法向應變率；為切向應變率；τn為實際破壞面上的剪應力；σn為實際破壞面上的法向應力；S′表示沖切體側面積.

在以剪應力形式表示的Hoek-Brown 準則［21］中有：

式中：為無量綱的剪應力；為無量綱的法向應力；σc為完整巖塊無側限抗壓強度；β為強度模數；ζ為巖體抗拉強度系數；m0為巖體類型參數；ρ為瞬時摩擦角；GSI為巖體地質力學分類指標.

聯立式（8）（9），可得采用拋物線模型模擬Hoek-Brown強度準則表達形式為：

其塑性勢為：

相應的塑性應變率可表示為：

式中：A、B為待定擬合參數；λ＞0為比例系數.

聯立式（6）～（9）及式（12）（14）（15）可得：

將式（6）（7）（16）（17）代入式（5）可得：

聯立式（1）～（4）及式（18）可得：

通過變分原理轉化式（19），令：

由歐拉方程：

將式（20）代入式（21），化簡可得：

式中：C1為待求參數.

為簡化理論計算，根據文獻［14］，將B值取為0.5，式（22）可化為：

式中：C2、C3為待求參數，由邊界條件f（d/2）=0、f（D/2）=h可求得：

將式（24）（25）代入式（23）可得：

將式（26）、B=0.5代入式（19）可得：

將式（27）對D求偏導，通過?Pb1/?D=0，推導出底部直徑D的表達式為：

式中：LambertW表示函數f（w）=wew的反函數，稱為朗伯函數［22］.

將式（28）代入式（26）可得單樁沖切體在豎直平面中的形態函數：

3 下伏空洞橋梁單排樁基礎樁端基巖極限承載力計算

3.1 下伏空洞橋梁雙樁樁端巖層極限承載力計算

根據模型試驗結果，當樁間距較小時，各樁下沖切破壞體發生重疊，下伏空洞橋梁雙樁沖切體理論模型如圖7所示.

圖7 雙樁沖切體理論模型示意圖Fig.7 Schematic diagram of theoretical model for punching shear of double piles

根據極限分析理論，聯立式（1）～（4）可得：

由式（30）可知，空洞頂板極限承載力與沖切破壞體的側面積線性相關，可通過空間曲面積分來計算兩沖切體重疊部分減少的側面積，從而計算雙樁基礎總承載力的減少部分，過程如下.

如圖7 所示，以單個沖切體底部中心為原點建立三維坐標系，由式（29）可得此坐標系中沖切體曲面Z的表達式為：

對式（31）進行空間曲面積分，可得到沖切曲面Z對xOy平面投影部分積分后側表面積S′的表達式：

式中：θ1、r1、r2為以一樁下沖切體底面圓心為原點的極坐標積分區域.

令r/C4=t并代入式（32）可得：

為明確沖切曲面Z在xOy平面的積分區域，將雙樁沖切體重疊部分進行俯視投影如圖8 所示.θ0表示重疊區域在沖切體底面投影弧度的1/2；S表示完整單樁沖切體的側面積；S1為每根單樁因重疊減少的側面積，可以通過空間曲面Z對扇形投影積分面積減去三角形投影△OAB積分面積的方法計算.

圖8 雙樁沖切體重疊投影圖Fig.8 The overlapping projection of double-pile punching shear

將明確的積分區域代入式（33）可得重疊面積S1表達式為：

如圖8所示，r1與樁間距l的幾何關系如下：

同樣得到未考慮重疊時完整單個沖切體側表面積S為：

由式（30）（34）（36）可得極限破壞時橋梁樁基雙樁情況下巖層頂板總極限承載力Pb2與完整單樁頂板極限承載力Pb1間關系式為：

令λ1=2S1/2S并代入式（37），可化簡得到沖切體重疊造成橋梁雙樁樁端基巖總承載力相對于不考慮沖切體疊加時雙樁樁端巖層總承載力的折減系數η1的表達式：

3.2 下伏空洞橋梁三樁樁端巖層極限承載力計算

下伏空洞橋梁三樁基礎樁端巖層的總承載力折減與沖切體重疊情況與雙樁類似，區別在于極限破壞時三樁基礎的中樁下巖層的沖切體可能存在兩個重疊部分，導致承載力折減得更多.三樁沖切體理論模型如圖9所示.

圖9 三樁沖切體理論模型示意圖Fig.9 Schematic diagram of theoretical model of punching shear of three piles

三樁中左右兩根樁的承載力折減與前文所述雙樁情況一致，中樁由于重疊而減少的側表面積S2可表示為：

式中：SL與SR分別表示中樁與左右兩樁沖切體重疊減少的側面積.

由式（34）（35）可知左樁與中樁重疊面積SL表達式為：

式中：lL表示左樁距中樁的距離；θL0為左樁與中樁重疊部分在底面投影的弧度的1/2.

同理可求得右樁與中樁重疊面積SR的表達式.由式（30）（36）（39）可得極限破壞時橋梁樁基三樁樁端巖層總極限承載力Pb3與完整單樁樁端巖層極限承載力Pb1間關系式為：

令λ2=2S2/3S，可化簡得到沖切體重疊造成橋梁三樁樁端巖層總承載力相對于不考慮沖切體疊加時三樁樁端巖層總承載力的折減系數η2的表達式：

3.3 試驗與理論計算結果對比

為驗證理論的正確性，將模型試驗與理論計算結果進行對比，相關巖體材料參數按以下原則取值：根據文獻［23］采用Hoek-Brown 強度準則對巖體進行分類，對于完整巖塊試樣，考慮試驗試件的尺寸以及試件無節理，巖體地質力學分類指標GSI 取100，巖體的類型參數m0取15，然后將其代入式（10）和式（11）可得強度模數β為3.375，巖體的抗拉強度系數ζ為0.036.A為擬合參數，根據試驗所采用的模擬巖體材料，經擬合，A值取0.56 時較為合理.參數匯總見表2，理論計算結果與模型試驗實測值見表3.

表2 巖溶模型相關參數Tab.2 The related parameters of karst model

表3 空洞頂板極限承載力Tab.3 The ultimate bearing capacity of cavity roof

通過模型試驗和理論計算得到的極限承載力與模擬橋梁樁基數量的關系曲線如圖10 所示.在樁間距為3d的情況下，考慮沖切體重疊效應計算得到的下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層極限承載力與模型試驗結果較為吻合.

圖10 Pb的理論計算與試驗結果對比曲線圖Fig.10 Comparison curve of theoretical calculation and experimental results of Pb

4 參數分析

為進一步研究下伏空洞橋梁樁基雙樁及三樁情況下樁端巖層極限承載力的變化規律，使用極限分析有限元法對下伏空洞橋梁樁基礎不同樁間距情況進行模擬.

在有限元材料庫中無Hoek-Brown 材料，考慮到對同一巖體而言，無論采用哪一種破壞準則進行分析，只要與巖體本身實際物理力學性質一致，得到的分析結果就相同.在軟件中選擇以M-C 材料作為模擬巖體，相關參數采用通過室內材料力學參數實驗測得的數據，巖體試塊黏聚力c=500 kPa，內摩擦角φ=25°，系統默認重度γ=25 kN/m3.數值模擬中構建與室內試驗尺寸相同的中空圓柱形分析域，其內部空洞直徑600 mm，洞高210 mm，模型外部直徑1 000 mm，高度300 mm，頂板厚度為90 mm（3d）.考慮計算機計算能力設置初始節點數為10 000 點，選擇自適應網格劃分進行3 次迭代.由于在數值分析中樁基變形對樁端巖層極限承載力的影響可忽略不計，故將模擬樁基設置為直徑d=3 cm、高h=6 cm 的圓柱形剛體.在樁基布置方式中除單樁情況外分別設置雙樁與三樁樁間距為2d、2.5d、3d、3.5d、4d、4.5d、5d、5.5d、6d的18 種工況，其中樁間距為4d時雙樁及三樁模型極限破壞時的剪切耗散圖如圖11 和圖12 所示.由圖可知在極限荷載作用下雙樁及三樁均發生沖切破壞，其破壞模式為各樁下沖切體局部出現重疊現象，與理論假定破壞模式一致.

圖11 雙樁沖切破壞時剪切耗散圖Fig.11 The shear dissipation diagram of 1/2 section in punching shear failure of double piles

圖12 三樁沖切破壞時剪切耗散圖Fig.12 The shear dissipation diagram of 1/2 section in punching shear failure of three piles

有限元法運算得到單樁時極限承載力為10.8 kN，利用單樁沖切理論計算得到的承載力為10.4 kN，室內模型試驗結果為11.0 kN，三者較為吻合，說明采用數值模擬方法計算下伏空洞樁端巖層極限承載力具有可行性.采用本文理論和數值模擬計算的不同樁間距下雙樁及三樁樁端基巖承載力值見表4.

表4 理論與數值模擬計算承載力結果Tab.4 The comparison curve of theoretical and numerical simulation calculation results of Pb

由表4 可知，橋梁樁基雙樁情況下采用沖切體重疊面積計算折減后總承載力的方法與數值模擬結果匹配較好，誤差均小于3%.雙樁不同樁間距下數值模擬與理論計算極限承載力結果如圖13 所示.當樁間距較小時，雙樁承載力折減系數隨著樁間距增大呈非線性增長；當樁間距為2d時橋梁雙樁的總承載力為不考慮疊加效應時總承載力的75%；樁間距逐漸增大到5d左右時，橋梁雙樁基礎的總承載力達到不考慮重疊效應時總承載力的99%，并往后接近100%.

圖13 雙樁情況下理論計算與數值模擬結果對比Fig.13 The comparison of theoretical calculation and numerical simulation of double piles

在三樁情況下理論計算得到的承載力結果與數值模擬結果也極為接近，如圖14 所示.由于試驗中單樁測試值較理論值偏大而三樁測試時較理論值偏小，故圖中三樁試驗所得承載力系數小于理論計算值.橋梁三樁基礎間距為2d時樁端巖層承載力為不考慮疊加效應時總承載力的67%，相比于完整三根單樁總承載力減少了33%，之后樁基的極限承載力隨樁間距增大而逐漸增大，當樁間距達到5d時變為不考慮疊加效應時三樁總承載力的99%，樁間距繼續增大后接近100%.

圖14 三樁情況下理論計算與數值模擬結果對比Fig.14 The comparison of theoretical calculation and numerical simulation of three piles

需要說明的是，以上關于下伏空洞單排樁極限承載能力的研究與試驗均建立在下伏空洞頂板寬度L較大且頂板厚度h較小的情況.

在空洞頂板厚度方面，根據文獻［8］、［13］，當空洞頂板厚度小于3 倍樁徑時，空洞地基樁端巖層破壞模式為沖切破壞；當空洞頂板厚度為4 倍樁徑時，樁端巖層極限破壞模式為沖切與剪切復合式破壞；當頂板厚度大于5 倍樁徑時，空洞地基與完整地基承載能力接近，可不考慮下伏空洞對地基承載力的影響.考慮空洞頂板厚度較小而單樁承載能力無法滿足要求的情況，本文研究并推導了下伏空洞排樁樁端巖層極限承載力的計算方法，并使用數值模擬軟件構建不同空洞頂板厚度模型與理論計算對比，結果如表5 所示.在頂板厚度大于3 倍樁徑的情況下，空洞頂板的破壞模式不再是單純沖切破壞，本文理論與數值結果誤差較大，不再適用.

表5 雙樁空洞頂板極限承載力Tab.5 Ultimate bearing capacity of cavity roof under double piles

在空洞大小方面，主要考慮溶洞頂部臨空面寬度，本文已通過理論、數值模擬、試驗對比驗證得到影響排樁極限承載能力的臨界樁間距lmax為5 倍樁徑.本文所有推導都是建立在空洞頂板寬度L足夠大的前提下（如圖15（a）所示），即在雙樁情況下要求=D+5d；當空洞頂板寬度L＜D+5d時（如圖15（b）所示），破壞面底面寬度被限定為L，此時沖切破壞體的形態函數較為復雜，沖切體重疊理論不再適用，三樁情況同理.

圖15 不同空洞大小下沖切體形態函數差異Fig.15 The difference of punching shape function under different cavity sizes

5 結論

本文提出了一種計算下伏空洞頂橋梁單排樁基礎樁端巖層極限承載力的計算方法，并進行了室內試驗以及數值模擬研究，得到如下結論：

1）下伏空洞橋梁單排雙樁及三樁基礎發生沖切破壞的破壞模式為各樁下沖切體相互影響的形式，具體表現為在樁間距較小的情況下存在沖切體局部重疊，導致總體承載能力降低.

2）下伏空洞橋梁單排雙樁基礎雙樁與三樁情況在下伏空洞地基上發生的承載力折減量與其沖切破壞時沖切體側表面積重疊部分大小呈正相關，在同一樁端巖層中，樁間距的大小直接決定了此重疊面積的大小.當樁間距為2d時橋梁雙樁與三樁基礎樁端巖層的總承載力分別為不考慮疊加效應時總承載力的75%與67%；當樁間距逐漸增大到5d左右時，橋梁雙樁與三樁基礎樁端巖層的總承載力達到不考慮重疊效應時總承載力的99%并往后無限接近于100%；在樁間距大于5d時，可不考慮下伏空洞橋梁單排樁基樁端巖層承載力的折減情況.