新工科背景下高等數值分析課程教學改革的思考

唐玲艷，文 軍

（國防科技大學 理學院，湖南 長沙 410072）

一、新工科建設與高等數值分析課程

為主動應對新一輪科技革命與產業變革，支撐服務創新驅動發展、“中國制造2025”等一系列國家戰略，2017 年2 月以來，教育部積極推進新工科建設，先后形成了“復旦共識”“天大行動”和“北京指南”，全力探索高等教育的新模式。在新工科背景下，所有能夠數字化的對象都將被數字化，所有能夠自動化的流程都將被自動化，海量的數據和信息極大地改變了人們的工作方式和專業技能，也使得信息處理、定量推理和數據決策成為理工科研究生應該具備的核心能力，而數值分析正是應用以上能力的數理基礎。

高等數值分析是數學系為理工科研究生開設的一門公共選修課程，其理論體系介于純數學和工程應用之間，具有鮮明的特征。從教學內容來看，該課程主要介紹計算機上常用的數值計算公式、數值方法的構造原理及適用范圍，為學生使用計算機有效解決實際問題打下基礎。從能力培養來看，學生通過該課程的學習將達到以下要求：（1）掌握數值分析的基本思想、基本原理和基本方法，具備利用計算機進行科學計算的能力；（2）具有運用標準算法通過編程解決實際問題的能力；（3）了解數值分析的歷史、現狀和最新應用情況。

二、課程教學中存在的問題

隨著計算機技術的迅速發展，科學計算已成為繼實驗方法和理論方法之后的第三種科學研究手段，是數學及計算機實現在高科技領域應用的必不可少的紐帶和工具。高等數值分析作為數學系為理工科研究生開設的一門公共選修課程，內容包括數值逼近、數值積分、求解線性代數方程組的直接法和迭代法、非線性方程組的計算方法、矩陣特征值與特征向量的計算、最優化方法、常微分方程數值計算等，覆蓋面比較廣，涉及到的背景知識也比較多，是數學與計算機結合解決實際問題的重要理論支撐。

新工科建設的核心是培養適應時代發展的創新型工程科技人才，新工科背景下的課程建設強調“以學生為核心，以成果為導向”，即根據學生最終獲得的能力反向推演，制訂課程教學方案、教學內容和教學模式。對照上述要求，當前的高等數值分析課程教學存在如下問題。

1.教學模式以講授為主，學生處于被動接受狀態，課堂參與度低。作為一門數學類公共基礎課程，高等數值分析的教學一直面臨“課程學時短、知識面跨度大、學生基礎參差不齊”等問題。傳統的教學模式以教師講授為主，這種方式效率高、成本低，不受學生基礎的限制，能夠保證教學任務有計劃、有組織地達成。然而，課堂講授只是一種單向的知識傳輸方式，對于高等數值分析這樣一門與工程應用和上機實踐結合非常緊密的課程，單純地講授顯得過于空泛，不能有效吸引學生的興趣和注意力，不利于啟發學生的思維和想象，難以培養學生的科學計算能力。

2.教學內容側重算法理論，忽視上機實踐。數值分析是聯系數學理論和計算機實現的紐帶和工具，它有嚴謹而抽象的理論體系，又有很強的實踐性，要求學生不僅要會數值算法理論，還要具備一定的實踐應用能力。在傳統的教學過程中，教師往往更加注重算法公式和理論推導，上機實踐只是作為課堂教學的補充，使得教學內容偏向抽象的理論分析，忽視了上機實踐與理論知識之間的聯系，降低了對實踐動手能力的培養和鍛煉。在此模式下，學生雖然學到了算法原理和典型的數值計算方法，卻很難運用到實踐中去，很難獨立完成算法設計。

3.考核內容過窄，考核方式單一。傳統的高等數值分析考核沿用了應試教育模式，以閉卷考試為主（占比70%）、上機實踐為輔（占比30%）。試題基本來自教材和課件，由“概念-定理-例題-習題”組成。這種考核模式無法衡量學生的創新能力與實踐能力，往往衍生出一種怪象，即反復刷題的學生通常會獲得高分，而他們可能只會紙上談兵，并不具備應用數學軟件解決科學計算具體問題的能力。新工科背景下的課程教學高度重視“實用性”和“應用性”，科學考核學生對所學知識的掌握程度，需要對現行高等數值分析課程的考核方式進行改進。

4.教學案例陳舊、簡單，無法適應新工科人才培養的需求。新工科教育注重跨學科協同和工程思想的培養，而傳統實驗設計主要來自編制的數據或一些簡單實際問題，從方法到方法，具有行業背景的實踐教學案例十分稀少，無法鍛煉學生處理實際問題的能力。

三、新工科背景下關于課程改革的幾點思考

針對前述課程教學中的問題，本文就高等數值分析的課程定位、教學內容、教學模式、考核方式等問題開展如下思考，期望獲得較好的教學效果。

（一）轉變教學理念，重塑課程目標

傳統的數學課程教學強調知識的嚴謹性和抽象性，忽略了數學理論的應用性，在一定程度上會帶來思維定式的弊端。新工科建設要求學生的知識和技能具有寬廣性、可遷移性和可持續發展性，促使我們轉變教學理念，重塑高等數值分析的課程教學目標。除抽象思維和邏輯推理能力的培養之外，高等數值分析課程的教學目標還應包括計算思維和工程思維的培養。其中，計算思維是由美國卡內基梅隆大學計算機科學系主任周以真教授于2006 年提出的，指運用計算機科學的基礎概念進行問題求解、系統設計以及人類行為理解等涵蓋計算機科學之廣度的一系列思維活動。在新工科背景下，如何引導非計算機專業的學生學習、理解、掌握和應用計算思維是一個重要的問題。通過重組高等數值分析課程的教學內容，可培養學生的數學建模能力、算法設計能力和數據分析能力等，幫助非計算機專業的工科學生形成計算思維。工程思維是人類在改造自然界、構建人工自然的活動中形成的思維方式，也是新工科學生所應具備的一項核心素質。它包括解決問題所必需的工程背景知識、交流能力、批判性思維、決策能力、實踐能力和創新能力等，通過設置應用教學案例、課堂研討和課后實踐等內容，可在高等數值分析課程中訓練學生的工程思維。

（二）適應能力培養，重組教學內容

如圖1 所示，根據課程教學目標，重新梳理高等數值分析的理論基礎及知識點的相互聯系，采用“一類一例”的形式組織教學內容，突出數值分析理論與各工科專業應用的交叉融合。在開課之初，將學生按所屬專業分為航空航天類、信息科學類、氣象海洋類、電子技術類、智能與指揮控制類五個大類，每大類設置一個貫穿全程的實踐案例。實踐案例來源于實際應用問題，涉及課程的一個或多個知識點。為了引導學生了解實踐目標，教師需制作相應的導學卡，內容包括案例背景、數學模型與方法、涉及到的課程知識點、測試算例和參考資料目錄等。例如，對于航空航天類學生，可選取基于有限元方法的飛機機翼應力分析問題作為實踐案例，該案例涉及到分片多項式插值、數值積分、大型稀疏線性方程組求解、常微分方程數值解和偏微分方程數值解等內容。這樣的案例更貼近學生的專業需求，比課后習題復雜，且貫穿課程學習全過程，幫助學生將所學知識串聯起來去解決一個較為復雜的工程問題，既激發了學生對本課程的學習興趣，又能培養他們的實踐動手能力。

圖1 新工科高等數值分析課程體系建設圖

（三）加強師生互動，創新教學模式

新工科背景下，學生成為課堂的主導，教與學的關系變得越來越微妙。考慮到研究生的培養目標之一是培養具有創新精神和從事科學研究、教學、管理或獨立擔負專門技術工作能力的高級專門人才，有必要在高等數值分析課堂上采用以探究式為主、其他教學法為輔的教學模式。

1.創建民主的課堂環境。自由寬松的課堂環境容易讓人的個性得到充分發揮，有利于創新意識的激發和創新能力的培養。教師與學生要建立積極的互動關系，教師不再是至高無上的權威，他與學生的關系是平等的，主要組織學生以探究的方式開展學習。為加強學生的主體意識，教師要鼓勵學生積極發表意見，對于學生觀點中的有效部分要善加保護和總結。

2.按照“問題-假設-推理-驗證-總結提高”的過程組織教學。探究式教學源自蘇格拉底的“產婆術”，他要求教師以討論問答的方式引導學生得出答案，而不直接教授給學生相關的知識。這種方式能發揮學生的主動性，有利于培養創新意識和創新思想。以理查森外推法的教學為例，理查森外推法是一種由低階公式加權以提升迭代序列收斂速度的加速方法，在數值微分、數值積分以及微分方程數值解等方面都有重要應用。常規的講法是由應用案例引入（如圓周率的計算），給出算法的思想和基本過程，用其解決案例問題，形成“從問題到理論再到問題”的教學閉環。但由于該算法構思過于巧妙，學生通常很難理解，教學效果較差。為此，可采用探究式教學法，仍從應用案例引入，首先啟發學生觀察計算的結果，總結出加權系數的選取規律，再進行推廣，得出算法的一般思想和過程。實踐證明，后一種方式更能啟發學生主動思考，加深理解，把知識轉化為能力。

3.加強計算思維的培養，重視上機實踐。算法若僅停留在理論推導層面無疑于紙上談兵，產生不了任何應用價值，因此，數值實驗對于高等數值分析的學習至關重要。通過綜合性學習和實踐性學習，使學生致力于解決現實問題，能夠激發學生的學習興趣，培養計算思維。教師在教學過程中可輔以Matlab 數值實驗，通過數據和圖形展示算法效果，加深學生印象。按照教學計劃的安排，學生需要完成一個綜合性實踐案例，它涉及本課程的若干知識點。在此過程中，學生需要閱讀文獻資料、建立數學模型、設計出合適的算法、編寫計算機程序并完成測試算例，對所學知識活學活用，從中積累寶貴經驗。

（四）改革考核機制，注重過程評價

考核機制是提升學生學習效果的重要抓手，新工科背景下的課程考核不應局限于解題能力的考察，而應綜合運用形成性評價和終結性評價。2015-2019 年以來形成性評價在高等數值分析課程考核中的比重逐漸增加，從最初的30%，修改為2018 年的近60%。考核形式從單一的上機實踐，轉變為習題解答、撰寫論文、課堂報告和編程實踐等多種方式，考核次數由最初的1 次，轉變為如今的4～5 次。這樣不僅考察了學員對課程內容的掌握程度，更培養了他們的開拓創新能力。在評價過程中，教師需要注意兩個方面的問題。

1.反饋的及時性。形成性評價與教學是同步進行的。在完成相關知識點的教學之后，教師要及時批改和反饋階段性作業。這種方式不但能夠使學生發現自身存在的問題，教師也能及時掌握學生的學習情況，采取相應的措施調整教學策略。

2.過程的持續性。形成性評價是一個逐漸揭示學生學習和認知的過程，需要不間斷地進行。高等數值分析的階段性考核有兩種類型，一是課后習題，注重公式推導、證明，是點對點的訓練；二是綜合實踐，需要上機實踐、撰寫報告，是進階式的訓練。兩類考核貫穿課程學習全過程，具有一定的持續性。

（五）挖據思政元素，提升教學效果

研究生教育的根本是為社會主義建設培養高素質接班人，課程思政從育人維度考慮課程價值，是新時代課程改革的重要方向。在新工科背景下，充分挖掘高等數值分析課程的思政元素，將專業課堂與思想政治教育有機融合，能破解課程知識過于抽象的問題，有助于提升課程的育人效果。結合教學內容，高等數值分析的課程思政可以從三個方面入手。

1.介紹中國古代“算”文化，培養學生的愛國情懷。我國是數學大國，古代的數學家們在算法領域有許多輝煌成就。例如，南宋時期的秦九韶早于西方提出一種多項式簡化算法，將一元n 次多項式的求值問題轉化為n個一次式的計算，大大簡化了計算過程，即使在現代利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優的算法。南北朝時期杰出的數學家、天文學家祖沖之利用加速策略首次將“圓周率”精算到小數點后第七位，該結果領先于世界至少一千年。

2.挖掘算法中蘊含的哲學思想，培養學生的馬克思主義世界觀和價值觀。例如，“迭代”是數值分析中的常用方法，對于大型線性方程組來說，只要迭代法收斂，無論初值如何選取，都可以通過多次迭代，逐漸逼近精確解。這恰好說明了在人生中，只要方法得當，就可以通過不懈努力取得成功。“誤差”是影響數值計算結果的重要因素，數值不穩定的算法會將輸入值的誤差無限放大，這又是差之毫厘，謬以千里的最好例證。

3.穿插工程應用案例，提高學習積極性，激發創新熱情。隨著計算機軟硬件的飛速發展和大數據時代的到來，數值計算方法在科學與工程中的應用愈加廣泛，在許多實際問題的求解中都起著不可替代的作用。例如，精準的GPS 定位涉及大量的插值與擬合；網頁的分級與排序需要求解大規模矩陣的特征值；數值天氣預報的關鍵問題是求解一組非線性偏微分方程。在課程教學和實踐環節中適當引入上述應用案例，不僅能讓學生了解高等數值分析的重要性，還能激發他們的學習興趣，使其從“要我學”向“我要學”轉變。

四、結束語

新工科建設是基于國家戰略發展新需求、國際競爭新形勢、立德樹人新要求而提出的一項重大發展戰略。本文將新工科理念融入研究生課程高等數值分析的課程教學中，分析了新工科背景下研究生課程教學中存在的問題，針對研究生計算思維和工程思維的培養，提出重塑課程能力培養目標，結合實踐案例重組教學內容，創新以探究式為主、其他教學方法為輔的教學模式，綜合運用形成性考核與終結性考核，將課程思政融入專業課教學等課程改革措施中。這些改革措施有助于激發學生學習高等數值分析課程的興趣，培養學生的計算思維和工程思維，提高其解決具體問題的能力。