小學數學畢業總復習指導

牛玉娟，鄭彬彬，王 英，黃 靜，梁海珍，趙艷麗，李連民，李立軍，楊惠英，崔 穎0

（1.秦皇島市教育科學研究所，河北 秦皇島 066000；2.秦皇島市北戴河區教師發展中心，河北 秦皇島 066100；3.秦皇島市山海關區教育和體育局，河北 秦皇島 066200；4.秦皇島市青龍縣教師發展中心，河北 秦皇島 066500；5.秦皇島市撫寧區教師發展中心，河北 秦皇島 066399；6.昌黎縣教師發展中心，河北 秦皇島 066600；7.盧龍縣教育和體育局，河北 秦皇島 066400；8.秦皇島市山海關區戶遠寨小學，河北 秦皇島 066200；9.秦皇島市北戴河區海寧路小學，河北 秦皇島 066100；10.秦皇島市海港區石門寨學區石門寨小學，河北 秦皇島 066000）

第一部分 數與代數

一、總體目標

1.復習有關數的認識的知識，讓學生經歷回顧、整理和反思的學習過程，結合具體情境，進一步理解整數、小數、分數、百分數、負數的意義，掌握數的讀寫、大小比較、性質及改寫的方法，體會各類數之間的聯系與適用情況的區別，形成數的認識的知識結構，培養學生初步的歸納整理能力、抽象能力，感受數形結合、一一對應思想，發展學生的應用意識。

2.復習有關數的運算的知識，使學生進一步理解四則運算的意義及四則運算之間的關系，掌握運算的法則并能熟練地進行整數、小數和分數的四則運算及混合運算，提高學生的運算能力。

3.復習有關式與方程的知識，使學生熟練掌握用字母表示公式、計算法則和常見的數量關系，理解用字母表示數的優越性；理解并區別方程的意義、方程的解和解方程的概念，會解簡單的方程，會用方程解決簡單的實際問題；初步體會化歸思想和數學建模，發展學生的抽象能力和代數思想。

4.復習比和比例的有關知識，使學生在自主梳理、比較辨析中進一步理解比和比例的相關意義，會判斷兩個相關聯量之間的關系，會用比和比例的相關知識解決實際問題，并使學生掌握一些整理知識的方法，培養整理復習能力，使所學知識系統化、網絡化，發展學生的推理能力和應用意識，進一步感受模型思想和函數思想。

5.經歷問題解決的過程，理解常見的數量關系，會利用這些數量關系解決實際問題，積累解決問題的經驗，獲得一些解決問題的策略與方法，體會合情推理、統籌優化、一一對應、模型等數學思想，提高學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力。

二、知識結構

（一）數的認識

1.知識結構

2.知識要點

①整數

【自然數】表示物體個數的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11……都是自然數。一個物體也沒有，用0 表示，0 也是自然數。

【正數與負數】為了表示兩種相反意義的量，如零上溫度和零下溫度、收入與支出等，需要用兩種數。一種是我們以前學過的數，如3、500、4.7、38，這些數是正數；另一種是在這些數的前面添上負號“-”的數，如-3、-500、-4.7、-38 等，這些數是負數。

【計數單位】一（個）、十、百、千、萬……億都是計數單位。每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。

【整數數位順序表】在用數字表示數的時候，這些計數單位要按照一定的順序排列起來，他們所占的位置叫做數位。按照我國的計數習慣，整數部分從右邊起，每四個數位是一級，分別為個級、萬級、億級……稱為數級。數級、數位、計數單位可以用數位順序表表示出來。

【因數和倍數】在整數除法中，如果商是整數而沒有余數，我們就說被除數是除數的倍數，除數是被除數的因數。因數與倍數是相互依存的。

【奇數與偶數】整數中，是2 的倍數的數叫做偶數（0 也是偶數）；不是2 的倍數的數叫做奇數。一個自然數不是奇數就是偶數。

【質數與合數】一個數，如果只有1 和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）；一個數，如果除了1 和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。1 不是質數也不是合數。

【公因數、最大公因數】幾個數公有的因數叫做這幾個數的公因數；其中最大的一個叫做這幾個數的最大公因數。

【公倍數、最小公倍數】幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個叫做這幾個數的最小公倍數。

②分數、百分數

【分數的意義】一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體。把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或者幾份都可以用分數來表示。一個整體可以用自然數1 來表示，我們通常把它叫做單位“1”。分數既可以表示一個具體的數，也可以表示兩個量之間的關系。

【分數單位】把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數叫分數單位。

【真分數、假分數、帶分數】分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于1。分子比分母大或者分子和分母相等的分數叫做假分數。假分數大于1 或等于1。像……這樣由整數與真分數合成的數叫做帶分數。

【百分數】像14%、65.5%、120%……這樣的數叫做百分數。百分數也叫做百分率或百分比。

③小數

【小數的意義】分母是10、100、1000……的分數可以用小數表示。小數的計數單位是十分之一、百分之一、千分之一……分別寫作0.1、0.01、0.001……每相鄰的兩個計數單位之間的進率是10。

【小數數位順序表】

3.復習建議

①完善認知結構，培養學生數感

課前布置學生閱讀課本，結合教材的提示和搜集到的各種數的信息及已有的知識經驗，對“數的認識”板塊進行分類整理，主要從數的意義、數的表示、讀寫、大小比較、分類、性質、數和數之間的關系、數的應用等方面展開。通過多種渠道感知不同的數在生活中的應用，透徹理解數的概念，培養應用數學的意識，發展數感，感悟數形結合思想。

②創新復習方式，發展數學思維

創設豐富的課堂活動情境，激發學生復習的興趣。注重課后內容的鞏固提升，布置有針對性的、實踐性的活動。以生活中的數學帶動學生學習的興趣，使數學問題生活化，生活問題數學化，把“數的認識”貫穿到學生的生活中，逐漸培養學生的數學意識，發展數學思維。

③注重系統建構，突破學習難點

教師要給學生提供建構的方法，提供必要的表征工具，讓學生充分的經歷比較、分析、歸納、概括等活動，在交流互動中不斷完善思考過程，深入理解“數”的內涵，理解“數”之間的關系，了解“數”的產生和發展，深入理解“數”的特點和價值，從而建立知識網絡，理清來龍去脈，突破學習難點。

④注重“瞻前顧后”，做好小初銜接

學習“數的認識”是學生建立數感的重要途徑。在三個學段的學習中，對“數的認識”有不同的目標要求，但都要關注數的意義，也就是數的概念的建立。因此，在第一、二學段教學中要運用多種形式幫助學生建立數的概念，加深對數的感知，使抽象的數和具體的量有機的結合起來，培養學生的數感、量感和符號意識，為第三學段進一步學習奠定基礎，積累經驗。

（二）數的運算

1.知識結構

2.知識要點

【四則運算的意義】

【混合運算】

①在同一個算式中，含有加減乘除四種運算中的任意兩種或兩種以上的運算，叫做四則混合運算。在數的運算中，加法與減法稱為第一級運算；乘法與除法稱為第二級運算。

②運算順序：在沒有括號的算式里，如果只含有同級運算，按照從左往右的順序進行計算；如果既有加減法又有乘除法，要先算乘除法，再算加減法；在含有括號的算式里，先計算括號內的運算（先算小括號，再算中括號）。

3.復習建議

①感悟數學思想，培養運算能力

在數的運算中，學生通過觀察、實踐、對比，找到不同知識間的內在聯系，對問題形式進行變換，將抽象的問題變得具體，讓復雜的問題變得簡單，使數形結合思想方法和轉化思想在加、減、乘、除法的計算中都有廣泛應用。學生掌握算理和算法，在解決問題的實踐過程中，根據法則和運算律正確地進行運算，提升運算能力和解題速度，提高靈活運用知識的能力。

②重視聯系比較，厘清知識實質

提供自主梳理知識的時間和空間，指導學生利用表格或結構圖對計算知識進行梳理，厘清計算的實質。復習不同的知識點要選取不同的活動，突出知識的特點：

a.復習四則運算的意義時，要結合身邊具體情境，讓學生體會在不同情況下要用不同的方法計算；

b.復習運算方法時，要通過具體實例進行分類比較，根據知識間的內在聯系概括規律；

c.復習四則混合運算和運算定律時，一方面強化運算順序，另一方面要舉出實例授之以法。

③加強針對訓練，突破易錯難關

在實際學習過程中數的運算部分是最容易出錯的。針對學生的易錯點教師要心中有數，在安排技能訓練時要有精度、準度和限度，不可千篇一律。既要強化基本知識的訓練，有的放矢，如對算理算法、運算定律的理解掌握，抓住重點；還要加強靈活性和綜合性的練習，例如與解決問題相結合等，以此突破難點；同時也要注重良好習慣的培養，如正確認真書寫的習慣，細心準確計算的習慣，即時檢查驗算的習慣等，提高運算能力。

④注重“瞻前顧后”，做好小初銜接

《義務教育數學課程標準（2011 版）》（以下簡稱《課標》）中，對各學段的運算提出了明確的要求。其中第三學段“數的運算”的學習由第一、二學段的“算術數發展到有理數”，運算的內容更加豐富多彩，但運算順序和運算律不變。因此第一、二學段“數的運算”的學習是基礎，在教學中要關注四則運算中蘊含的數學思想，強化四則運算的意義、運算順序和運算律，提升學生運用數學思想方法的能力，達到融會貫通的目的。

（三）式與方程

1.知識結構

2.知識要點

【用字母表示數】

用字母表示數的寫法：數字和字母，字母和字母相乘時，中間的乘號可以記作“·”，也可以省略不寫。省略乘號時，一般把數字要寫在字母的前面；當“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。

【等式的性質】

性質1：等式的兩邊同時加上或減去同一個數，左右兩邊仍然相等。

性質2：等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0 的數，左右兩邊仍然相等。

【方程的意義】含有未知數的等式就是方程。方程一定是等式，等式不一定是方程。

【方程的解】使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。

【解方程】求方程的解的過程叫做解方程。

3.復習建議

①學會“化歸”方法，領悟“建模”思想

教師要把整理復習的機會還給學生，引導學生經歷回憶、溝通、討論、整理、歸納等過程來梳理“式與方程”相關的內容，關注知識間的縱橫聯系。學會“化歸”方法，領悟“建模”思想，實現由逆向思維向順向思維的轉變，感受“式與方程”在解決問題中的價值，培養學生初步的代數思想和抽象、推理能力，從而提升解決問題的能力。

②抓住概念理解，有效突破難點

加強對“式與方程”概念的理解，通過設計多種練習，引導學生重溫方程的概念，重溫用方程解決問題的過程，交流用方程解決實際問題的經驗，有效突破式與方程的學習難點。

③做好小初銜接，樹立“大課程觀”

方程教學是小學數學教學中的重點內容，也是代數學的核心內容，對初中方程教學具有重要意義。在第二學段已經對方程進行了初步的研究，在第三學段，《課標》對方程與方程組規定了比較系統和全面的學習容。因此，在復習中通過具體活動讓學生體驗“由數到式”的拓展，挖掘數量關系中的等量關系，建立方程模型，培養學生的邏輯思維。

（四）比和比例

1.知識結構

2.知識要點

①關于比

【比的意義】兩個數的比表示兩個數相除。“∶”是比號。

【比與分數、除法的關系】

【最簡整數比】比的前項和后項是互質數的比叫最簡整數比。

【求比值、化簡比的區別】

②關于比例

【比例的意義】表示兩個比相等的式子叫比例。比例表示兩個比的關系。例如：3∶5=6∶10。

【比和比例的聯系與區別】

③正比例和反比例

【正比例】兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。如果用字母y、x 表示兩種相關聯的量，用k 表示它們的比值（一定），正比例關系可以用式子表示：=k（一定）。

【反比例】兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。如果用字母x、y 表示兩種相關聯的量，用k 表示它們的積（一定），反比例關系可以用式子表示：xy=k（一定）。

【正比例、反比例的異同】

④比例尺

【比例尺】一幅圖的圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。為了計算方便，一般把比例尺寫成前項或后項是“1”的形式。

3.復習建議

①鼓勵自主整理，培養整理和復習能力

“比和比例”這部分內容概念比較多，可以鼓勵學生自主整理，一方面讓學生回顧所學的知識，同時培養學生整理和復習的能力。學生整理的可能不夠準確和全面，但在學生對復習內容有準備與思考的基礎上交流點撥，往往能加深學生的印象，而且在整理的過程中，整理和復習能力也能得到培養。

②加強關聯比較，把握概念本質

在學生自主整理的基礎上，教師要對相近概念進行關聯與比較，以便學生在辨析中了解概念的異同，把握概念的本質。

③一題多變，克服思維定勢

鞏固練習題不在多，而在精。題海戰術往往會使學生產生厭煩情緒，程式化的題目還容易讓學生產生思維定勢，導致錯誤發生。教師可以精心設計習題，充分發揮一道題的價值，一題多變，在不變與多變中，引導學生克服思維定勢，掌握解決問題的思路。

④多角度理解正、反比例，做好小初銜接

學習正比例和反比例，一是使學生對數量關系（兩個變量之間相互依存的關系）的認識和理解更加豐富；二是為第三學段進一步學習正比例函數、反比例函數，以及學習一般的函數知識做準備。教學中可通過繪圖、估計值、找實例交流等教學活動，幫助學生體會、理解兩個變量之間相互依存的關系，豐富學生關于變量的體驗。初步認識函數的多種表示——數值表示（表格）、圖像表示、解析表示（關系式），體會變化與對應思想、數形結合思想和模型思想。

（五）常見的量

1.知識結構

2.知識要點

【計量】把一個量同一個作為標準的同類量進行比較的過程叫做計量。例如，用千克作為計量單位去測量物品質量的過程就是計量。

【計量單位】用來作為計量標準的量叫做計量單位。例如：克、千克等。計量某一個量就是看這個量里含有幾個這樣的計量單位。如一個小朋友的體重里含有40 個1 千克，他的體重就是40千克。

【確定閏年的方法】在公歷紀年法中，年份是4 的倍數的一般都是閏年，但公歷年份是100 的倍數時，必須是400 的倍數才是閏年。

【24 時計時法與普通計時法的區別】

①在24 時計時法中，當時針走第一圈時，鐘面上的時數與普通計時法相同；當時針走第二圈時，相當于鐘面上的時數加12，這樣下午1 時就是13 時，下午2 時就是14 時……

②用普通計時法表示時刻，前面要加上“凌晨、早上、上午、中午、下午、晚上”等限定詞，用24時計時法表示時刻則不用。

③普通計時法一般用于日常生活，24 時計時法一般用于鐵路、郵政、電信等。

3.復習建議

①喚醒計量單位表象，培養學生的“量感”

在復習階段，可以通過喚醒學生的學習和生活經驗，幫助學生鞏固計量單位的表象。可以開展一些估測活動，應用建立的表象去估測，再通過實際測量驗證、調整估測結果，更好地發展學生的“量感”。

②在比較中梳理，掌握各計量單位的進率

借助表格或思維導圖等，分類整理“常見的量”，理清常見的各種量相鄰單位之間的進率，加強相關聯量的計量單位的比較，建立清晰的知識結構。形成良好的知識結構才便于學生應用提取知識解決問題。

③形成度量意識，做好小初銜接

“量與計量”既是生活的需要，也是第三學段學習的重要內容，小學階段要為后續學習新的量打好基礎。要在現實情境中，讓學生體會建立計量“標準”的必要性、重要性。使學生認識到：任何事物的量化，都必須有一個標準，而且標準必須統一，計量就是累加計量單位，為后續學習新的量提供思想方法，滲透數學中的“單位”思想，培養學生的應用意識。

（六）探索規律

1.知識結構

2.知識要點

【找規律】規律就是事物之間的聯系，探索給定的圖形或數字中隱含的簡單排列規律，體現了合情推理的思想。

【擺列組合】體育中的比賽場次設定、密碼箱中密碼的排列數、郵政編碼等各種編碼中都要用到排列與組合。

【邏輯推理】借助一定的方式整理信息，通過觀察、猜測、嘗試、調整等活動，推出結論的過程。

【集合問題】用集合圈（維恩圖）準確地分類，直觀形象地解決簡單的實際問題。集合問題的教學使學生初步感受集合內元素的確定性、無序性、互異性，培養學生的集合思想。

【優化問題】在多種解決問題策略中尋求最優方案。如沏茶、烙餅、田忌賽馬等問題，培養學生全面思考的意識和統籌思想。

【雞兔同籠】類似已知雞和兔一共的頭數與腿數，求雞和兔的只數的問題。經歷探索“雞兔同籠”問題解決的過程，培養學生用“列表、嘗試、假設”策略解決問題的能力。

【植樹問題】研究在一定的路線上植樹，不同要求下，植樹棵樹與路線被分成段數（間隔數）的關系。滲透簡單的化歸、數形結合、一一對應和模型等思想，引導學生用畫圖的方法解決植樹問題，如生活中的“公共汽車站”“敲鐘問題”“鋸木頭”等問題。

【找次品】有n 個外表相同的零件，其中一個是次品，次品比合格品重（或輕）一些。假設用沒有法碼的天平秤，最少稱幾次就能保證找出次品。探索找次品方法的過程能培養學生的推理能力和優化思想。

【數與形】把數與形結合起來解決問題，使復雜的問題變得更簡單，使抽象的問題變得更直觀，培養學生用數形結合的方法解決問題的能力。

【鴿巢問題】即“抽屜原理”，把多于kn 個元素放入n 個集合，總有一個集合里至少有（k+1）個元素。學生經歷“抽屜原理”的探究過程，在初步了解“抽屜原理”后，會用“抽屜原理”解決一些簡單的實際問題，能增強學生對邏輯推理、模型思想的體驗。

3.復習建議

①提供充足的探索時間，加強推理能力的培養

“探索規律”的內容重在培養學生的推理能力，探索圖形和數的排列規律、排列組合、雞兔同籠等內容，要讓學生體會觀察、枚舉、歸納等合情推理的思想，培養學生合情推理的能力。而邏輯推理、鴿巢問題、等量代換、簡單的幾何證明都滲透演繹推理的思想。在復習中，要結合具體問題，給學生充足的探索時間，讓學生經歷推理的過程，并鼓勵學生把推理過程用語言、文字或圖畫表示出來，使學生在推理方面得到更多地訓練，進一步發展學生的邏輯推理能力和解決問題能力。

②深化對解決問題方法的感悟，幫助學生獲得解決問題的策略

“探索規律”內容的復習中，教師要注意幫助學生提煉并獲得解決問題的策略。教師要深化學生對解決問題方法的感悟，理解并掌握方法的本質，舉一反三，提高解決問題的能力。在邏輯推理中，可以用列表的方法逐一排除，推出結論。使學生認識到全面有序思考、借助畫圖、列表、假設等策略解決問題事半功倍。

③嘗試用字母式表示規律，做好小初銜接

六年級的學生很快將進入初中，代數內容將成為主要學習內容，因此，在小學的整理和復習階段，對于一些探索出來的規律，可以讓學生用字母來表示數量關系和變化的規律，如“n 個點能連多少條線段”“一個n 邊形的內角和是多少度”“擺n 個圖形需要用多少根小棒”等，讓學生嘗試以更加抽象的方式來刻畫規律，為發展代數思想做準備。

第二部分 圖形與幾何

一、總體目標

1.復習圖形認識的有關知識，讓學生進一步掌握各種平面圖形和立體圖形的特征，溝通圖形之間的內在聯系，體會線與面、面與體、體與體之間的關系，逐步發展學生的空間觀念。

2.復習圖形測量的有關知識，讓學生進一步理解周長、面積、體積的意義，掌握長度、角度、面積、體積的度量本質，溝通平面圖形面積計算公式、立體圖形體積計算公式之間的聯系，并能利用公式計算平面圖形的周長、面積以及立體圖形的表面積和體積。在整理過程中逐步培養學生自主整理能力、操作能力和解決問題的能力，體會轉化、類比、數形結合等數學思想。

3.復習圖形運動的有關知識，讓學生進一步掌握平移、旋轉、軸對稱、圖形的放大與縮小等圖形變換的性質，會用平移、旋轉、軸對稱、圖形的放大與縮小等方式進行圖形變換、設計圖案。

4.復習圖形位置的有關知識，讓學生了解比例尺的有關知識，掌握用方向和距離確定物體位置，能描述簡單的線路圖和在方格紙上用數對表示位置。

二、知識結構

（一）圖形的認識

1.知識結構

2.知識要點

【線】線段有兩個端點，射線有一個端點，直線沒有端點。在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。當兩條直線相交成直角時，這兩條直線就互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線。這兩條直線的交點叫做垂足。

【角】一點和從這一點出發的兩條射線所組成的圖形叫做角。角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形。常見的角有銳角、直角、鈍角、平角、周角。三角形按角可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；按邊可以分為等腰三角形和等邊三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形。

【長方形和正方形】長方形有四條邊，兩組對邊分別平行且長度相等，四個角都是直角。正方形兩組對邊分別平行，四條邊長度相等，四個角都是直角。

【平行四邊形】兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

【梯形】只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

【圓】圓是定點距離等于定長的點的集合。

【扇形】扇形是由兩條半徑和圓上的一段曲線圍成的。由圓心和兩條半徑組成的角叫圓心角。

【長方體】長方體一般是由六個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。正方體是由6 個正方形圍成的立體圖形，所有的棱長度相等。正方體是長、寬、高都相等的長方體。

【圓柱】圓柱是由3 個面圍成的，上、下兩個面叫做底面，周圍的面（上、下底面除外）叫做側面。兩個底面之間的距離就是圓柱的高，圓柱有無數條高。側面沿著高剪開后，是一個長方形或正方形。

【圓錐】有一個圓形底面和一個側面（曲面）組成。頂點到底面圓心的距離就是圓錐的高。圓錐只有一條高。圓錐側面展開是一個扇形。

3.復習建議

①重視思想方法的滲透，有效落實核心素養的培養

“圖形的認識”部分重點讓學生體會分類思想和集合思想的應用，重點培養學生的幾何直觀的能力，空間觀念以及推理的能力。“根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體”的過程，是三維圖形與二維圖形的相互轉換的基本表現形式，這是一個充滿觀察、想象、比較推理和抽象的過程，是培養學生空間觀念的主要途徑。

②注意關聯比較，把握概念本質，建立知識結構，形成知識體系

圖形的認識實際就是點、線、面、體的學習，也就是一維、二維、三維空間的學習，而它們之間又相互聯系，相互影響，在復習過程中注意引導學生通過分類、比較、辨析，認識圖形之間的聯系和區別，形成較清晰的知識網絡。這不僅能促使學生對空間與圖形知識的理解，還能培養學生的邏輯思維能力，有利于學生良好習慣的養成和學習能力的提高。

③關注易錯問題，有針對性突破

對于三維立體和二維平面之間的轉化和溝通是學生學習的難點也是易錯點。在整理和復習形體知識時，應充分利用圖形的直觀呈現方式，將畫圖、觀察與思考結合起來，并注意組織必要的動手操作活動，促進思考、分析，借助直觀解決問題，進一步提升學生的空間觀念。比如在教學“立體圖形的認識總復習”時，可以設計用“三視圖”“表面展開圖”“從重要的線想起”“圖形的運動”等不同的方式描述和想象立體圖形，從多種角度幫助學生進一步深化對立體圖形特征的認識，溝通相關圖形知識之間的內在聯系，實現二維和三維的轉化，發展空間觀念。

④著眼未來發展，做好小初銜接

空間觀念在各個學段的目標不同，第一學段是在從物體中抽象出幾何圖形、想象圖形的運動和位置的過程中，發展空間觀念；第二學段初步形成空間觀念，感受幾何直觀的作用；第三學段在研究圖形性質過程中，進一步發展空間觀念，經歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀。教師作為課堂教學的引導者，必須在教學前做好學情分析，在教學過程中也要充分了解學生的空間思維發展水平，保證學生空間觀念的發展，因材施教。

（二）圖形的測量

1.知識結構

2.知識要點

【長度單位】長度單位是用來測量物體長度的，表示物體的長短。常見的長度單位有千米、米、分米、厘米、毫米。測量方法有估測和精準測量。

【角的度量】量角器的中心點與角的頂點重合，將0°刻度線與角的一條邊重合，角的另一邊所對的量角器上的刻度，就是這個角的度數。簡單說就是點對點、線對線、讀數要看另一邊。

【周長】封閉圖形一周的長度就是它的周長。

【面積】物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積。面積可以是平面的也可以是曲面的。

【表面積】表面積就是物體表面的總面積。

【體積】體積是指物體所占空間的大小（表示三維立體圖形的大小）。

【容積】容器所能容納物體的體積通常叫做它們的容積。

3.復習建議

①培養學生能力，體現核心素養

小學數學核心素養包括數學思維能力、數學學習能力、數學思想方法。在復習過程中，教師設計一些綜合性和系列性的問題，可以溝通知識之間的聯系，培養學生能夠有序思考問題。在解題過程中，讓學生掌握分析問題的方法，形成問題解題的策略，提升反思問題的能力，從而提升學習數學能力。除此之外，還要注意數學思想方法的滲透。

②借助表格梳理，形成知識網絡

復習時啟發、引導學生回憶所學知識，并加以歸類整理，使之系統化的納入學生的認知結構。在教學時，教師要參與到學生的活動中來，并及時發現學生在整理知識的過程中存在的問題，然后對個別學生給予必要的指導和幫助。組織交流時，要讓學生充分展示自己的整理過程，使學生的認知結構逐步趨于完善。

③著眼未來發展，做好小初銜接

圖形與幾何的內容在中小學教材中占相當大的比例，是中小學銜接重中之重。小學教材中圖形的測量以具體形象思維為主，考核內容主要是針對概念的記憶和一些簡單的計算，初中教材中相關內容的描述，則顯得規范、嚴謹、抽象、邏輯性強，注重了抽象思維的培養。在學習三角形內角和的時候，小學是運用折拼、撕拼、測量等方法得出三角形的內角和是180°，而初中學習三角形內角和時是通過做輔助線，構成新圖形，進行推理論證。實現了未知與已知的轉化，培養了學生抽象思維能力和邏輯推理能力。總體上說中小學教材中呈現遞進、互補、交叉的特點。

（三）圖形的運動

1.知識結構

2.知識要點

在小學階段我們讓學生從實際生活中的平移、旋轉、軸對稱這三種現象逐步上升到圖形運動，到初中才真正理解平移、旋轉、軸對稱。

【平移】在平面內，把一個圖形沿某個方向（不僅限于水平或垂直）移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做圖形的平移。平移不改變圖形的形狀和大小，只是位置發生改變；圖形經過平移，對應線段對應角分別相等，對應點所連的線段平行且相等。

【旋轉】在平面內，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉。這個定點叫做旋轉中心，旋轉的角度叫做旋轉角，旋轉的三要素：旋轉中心、旋轉方向、旋轉角。對應點到旋轉中心的距離相等；旋轉前后的圖形相同。

【軸對稱圖形】如果一個平面圖形沿著某一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。

【圖形的放大或縮小】把一個圖形的各邊按一定的比例進行放大或縮小，從而得到該圖形的放大圖或縮小圖（放大圖或縮小圖統稱為原圖形的相似圖形）。

圖形的放大與縮小：只改變物體或圖形的大小，不改變它的形狀和角的大小。

3.復習建議

①培養學生能力，體現核心素養

圖形的運動這一板塊的內容重在培養學生的空間想象能力，數學推理能力。在復習時，教師幫助學生親身經歷圖形運動變化的過程，積淀幾何活動經驗，發展直觀想象，體驗幾何圖形在運動中的不變性，逐步發展數學推理能力。

②借助表格梳理，形成知識結構

復習時啟發、引導學生自主歸納與整理。可采用表格、樹狀圖、思維導圖等方式理清思路、歸納總結，使學生一目了然。在教學過程中，教師再給予適當的指導，對一些學生理解容易產生偏差的地方給予重點提示。

③關注易錯問題，突破易錯思維

a.軸對稱圖形可以有一條或幾條對稱軸；

b.畫平移的圖形時，部分同學會數錯。原因是搞不清哪里是平移的起點；

c.旋轉的敘述需要從旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向三個方面入手，學生容易說不全面；

d.圖形的放大和縮小，是通過比例來表示放大和縮小的，比的前項較大則是圖形的放大，比的后項較大則是圖形的縮小。圖形放大和縮小，不變的是形狀和角度，變的是長度和面積。

④著眼未來發展，做好小初銜接

a.軸對稱圖形的學習，為初中學習中心對稱、中心對稱圖形、圖形的運動積累感性體驗；圖形的放大與縮小，為初中學習相似多邊形、相似比及相似三角形、圖形的位似、相似的直角三角形、三角函數做鋪墊；

b.圖形的運動通過點動成線、線動成面、面動成體為畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖等打下良好的基礎，可見圖形運動這一板塊在小學階段的重要性。

（四）圖形與位置

1.知識結構

2.知識要點

【用數對表示物體的位置】豎排叫作列，橫排叫作行；確定第幾列一般從左往右，確定第幾行一般從前往后數。在說物體的位置時，通常先說列數，再說行數。

【用方向（加角度）和距離描述物體的準確位置】找準“基準點”，確定方向，確定距離，滲透極坐標思想。

【比例尺】是圖上距離與實際距離的比。圖上距離：實際距離=比例尺或圖上距離/實際距離=比例尺

3.復習建議

①重視思想方法的滲透，有效落實核心素養的培養

“圖形與位置”部分承載著滲透數形結合思想的重任，應特別關注空間觀念及應用意識的培養，方位的感知和圖形相互之間位置關系的把握，是表現空間觀念的一個重要的方面。通過感受位置的確定與日常生活的密切聯系，增強學生的應用意識，提高綜合運用知識的能力。

②注意關聯比較，把握概念本質，建立知識結構，形成知識體系

以貼近學生生活的主題來串聯復習課的素材和內容，有利于調動學生綜合運用已有經驗來解決問題的積極性，加深學生對數學知識現實意義的理解。當學生掌握了圖形與位置的相關知識經驗后，本環節要組織學生解決密切結合生活實際的數學問題，體會到方位和確定位置的重要性。這時，還可以引導學生利用比例尺的知識，開展繪制校園、家庭平面圖等創造性活動，使學生綜合運用方向與位置的有關知識，進一步發展空間觀念。學生在多個相關素材的碰撞、交融中，在多個相關內容的鏈接、遷移中，不斷開闊視野、豐富認識、把握本質，逐步完善知識體系，提升數學思維，積淀數學素養。教師在復習課中需要幫助學生將有關內容進行系統整理，形成聚合的知識體系。

③關注易錯問題，有針對性突破

a.不能正確的描述方向和角度。同樣是方向和角度的錯誤，但細細分析其實可以分為兩種類型：一是反方向描述角度，二是量角器上0 刻度線放在了目標地所在的線段上，導致方向相反。

b.著眼未來發展，做好小初銜接。小學階段學習了確定物體位置的基本方法，用數對確定位置和通過方向和距離確定位置，它們分別對應了中學要學習的平面直角坐標系和極坐標系，到初中將類比數對和數軸學習用平面直角坐標系確定點的位置，建立平面內點與坐標的對應關系。平面直角坐標系架起了數與形之間的橋梁，接觸平面直角坐標系這個數學工具，目的是盡早感受數形結合的思想。學生利用數形結合方法，通過對比體會用數對確定位置突出的是“點與整體”的位置關系，而方向和距離確定位置突出的是“點與點”之間的位置關系。這兩條線索并行發展，為后續學習奠定了基礎。

第三部分 統計與概率

一、總體目標

1.回顧用統計方法解決問題的全過程，歸納整理學過的統計表和統計圖，進一步體會統計在實際生活中的現實意義和應用價值。

2.能根據實際問題的需要設計簡單的統計表，使用適當的方法（如調查、試驗等）收集數據，在眾多信息中提煉有效的數據記錄在統計表中，能夠區別條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖的特點和作用，并根據需要選擇合適的統計圖表示數據。

3.進一步掌握看圖制表和看表制圖的方法，規范制作過程，提高根據有效數據得出結論并做出簡單判斷和預測以及進行交流的能力。

4.通過豐富的生活實例，進一步理解平均數的意義，掌握求平均數的方法，解釋結果的實際意義，體會平均數的價值。

5.在實例中進一步體會不確定事件的特點，能列出簡單試驗中所有可能發生的結果。知道事件發生的可能性有大有小，能對一些簡單的隨機現象發生的可能性作出描述和預測，并能相互交流；以隨機觀點來理解世界。

6.進一步體會數學與生活的緊密聯系，發展數據分析觀念，形成尊重事實、用數據說話的態度與習慣，培養實事求是的科學精神。

二、知識結構

三、知識要點

【統計表】把數字資料按照一定的規則，用表格的形式表現出來，這樣的表格叫做統計表。統計表的形式繁簡不一，通常按項目的多少可分為單式統計表和復式統計表。只對某一個項目進行統計的表格，叫做單式統計表。統計項目在兩個或者兩個以上的表格，叫做復式統計表。

【條形統計圖】用寬度相同的條形的高度或長度表示統計數據的大小或多少的一種圖形。條形統計圖又分為單式條形統計圖和復式條形統計圖。單式條形統計圖只表示1 個項目的數據，復式條形統計圖可以同時表示多個項目的數據，用不同的顏色區分。

【折線統計圖】用折線的升降變化來表示統計數據變化的一種圖形。通常按項目的多少可分為單式折線統計圖和復式折線統計圖兩種。單式折線圖是對一個項目進行的連續統計。復式折線圖是用不同顏色或線型區別表示兩個或多個項目的數量及變化趨勢。

【扇形統計圖】用圓形和圓內扇形面積的大小來表示統計數據數值大小的一種圖形。它用于表示總體中各部分所占的比例。

【平均數】小學數學教材里所講的平均數一般是指算術平均數，可以通過“總量÷份數=平均數”來計算得出。平均數是一個重要的刻畫數據集中趨勢的統計量，它可以反映一組數據的一般情況。

【可能性】隨機現象發生某種結果具有不確定性，即可能性。

四、復習建議

（一）親歷統計過程，培養核心觀念

教師須讓學生親歷數據收集、整理、分析的全過程，學生要作為問題的解決者去思考問題，這樣才有助于培養他們的數據分析觀念。“概率”知識的教學主要是為了培養學生的隨機觀念，要學會用“隨機”的眼光來觀察現實世界的問題。統計結果具有隨機性，統計數據允許有誤差，使學生頭腦中朦朧的隨機直覺轉變為科學的隨機觀念。

（二）設計操作活動，突破認知難點

教師要創造有利于學生動手動腦的操作活動，組織學生在活動中理解知識內涵，突破對重難點的理解與掌握。對于條形、折線、扇形三種統計圖的特點和作用，教師可以通過典型習題讓學生在情境中觀察、比較、討論，在實踐中驗證知識。“平均數”的教學重在“意義”的理解，復習時，通過創設具體情境，幫助學生理解平均數的本質意義是“表示一組數據整體水平或是一般水平的代表數”。

（三）合理控制難度，做好小初銜接

“統計與概率”的知識在三個學段均有安排，教學要求隨著學段的升高而逐漸提高。教師要從整體上把握第一、二學段的教學目標和教學內容，了解第三學段的教學目標和教學內容。在第三學段“統計”知識的學習中，增加了制作扇形統計圖的要求，學習用頻數分布直方圖描述數據；認識三個新的統計量，即描述數據集中趨勢的中位數和眾數，以及刻畫數據離散的量——方差，學習計算加權平均數；在“概率”方面，能夠用列舉法計算簡單隨機試驗中事件發生的概率，會用頻率估計概率。知道了“到哪里去”，有助于我們在教學中把握每個階段的教學重點，合理控制教學難度，在教學中“到位”而不“越位”。

第四部分 綜合與實踐

一、總體目標

1.通過綜合應用所學的知識和方法解決實際問題，使學生進一步加深對所學數學知識和方法的理解，獲得運用數學解決問題的思考方法，提高綜合應用數學知識和方法解釋日常生活現象、解決簡單實際問題的能力。

2.通過經歷解決問題的過程，使學生進一步體會數學知識之間的聯系和綜合，培養比較、分析、綜合、概括的能力，提高從不同角度、用不同方式探索解決問題的意識和能力，發展思維的靈活性、深刻性和創造性。

3.通過開展一些綜合與實踐應用活動，使學生進一步體會數學知識和方法在解決實際問題中的作用，培養學生的應用意識和創新意識，滲透模型思想、統計思想和函數思想。

二、知識結構

三、知識要點

（一）綠色出行中的數學問題

綠色出行是指采取相對環保的出行方式，即節約能源、提高能效、減少污染、有益健康、兼顧效率的出行方式，如乘坐公共汽車、地鐵等公共交通工具，騎自行車等。通過碳減排實現資源的可持續利用，促進環境保護，減少環境污染。

（二）旅游中的數學問題

確定景點，選好路線；具體、合理地做好時間安排；安排住宿、交通工具；做好旅游費用預算，旅游費用包括交通費、食宿費、景點門票費、購物費用等。

（三）郵票中的數學問題

1.確定信函資費的兩大要素：信函的目的地是本埠還是外埠，信函的質量；

2.國家郵政局關于信函郵資的收取標準

3.郵資的計算方法

（四）有趣的平衡

1.平衡規律：左邊的刻度數×棋子數=右邊的刻度數×棋子數；

2.當一邊的刻度數和棋子數保持不變時，另一邊的刻度數和棋子數成反比例關系。

（五）編碼問題

1.郵政編碼：郵政編碼由六位數組成。其中前兩位數字是省區，第三位數字是郵區，第四位數字是市，最后兩位是投遞局；

2.身份證編碼：身份證編碼由18 位數組成，其中第1～6 位表示所在的省市和縣區；第7～14位表示出生年月日；第15、16 位表示當地派出所代碼；第17 位表示性別，男性單數，女性雙數，第18 兩位表示校驗碼。

（六）統籌優化

統籌優化就是合理安排，讓完成任務的時間最短。即在同一時間里盡可能多做事情。

（七）找次品

用天平找次品，要用最少的測試次數找出次品，所測物品數目與測試的次數有如下關系（含一個次品，已知次品比正品重或輕）：稱n 次，最多可以分辨3 的n 次方個。

（八）抽屜原理

將m 件物品按任何方式放入n（n

（九）方陣問題

1.方陣每邊數與四周數之間的數量關系：

四周數=（每邊數-1）×4

每邊數=四周數÷4+1

2.實心方陣的數量關系：

總數=外層每邊數×外層每邊數。

3.空心方陣的數量關系：

總數=（外層每邊數一層數）×層數×4

（十）確定起跑線

相鄰兩條跑道的長度差=2π×跑道的寬度。

四、復習建議

（一）關注素養，培養應用能力

關注學生核心素養的培養是復習課的終極目標。應用意識和創新意識是綜合與實踐領域的重要核心素養，復習時教師首先要善于捕捉挖掘生活中的問題素材，然后將生活中的問題數學化，讓學生運用數學解決實際問題。教師應努力為學生創設運用數學的環境，引導學生親手操作，從數學的角度嘗試運用所學的數學知識和方法去尋求解決問題的策略，培養學生的數學應用意識和應用能力，使數學核心素養真正落地。

（二）加強引領，發揮指導作用

因為在“實踐活動”中蘊涵著“綜合應用”。要使學生能綜合運用畫圖、列表、猜想與嘗試、從特例開始尋找規律等策略來解決生活中的數學問題就相對較難。特別是在一些節點處和關鍵處，用到哪些知識點、采用哪些解決問題的方法等需要教師幫助學生進行回顧、總結、反思，及時地彌補知識的漏洞。

（三）專題復習，突破重點題型

鑒于小學生思維的發散性，對知識整體運用能力有限，因此，復習時要強化綜合性，抓住典型，集中訓練，多讓學生自己動手試一試，在嘗試的過程中慢慢發現突破的方向以及解決的策略。首先，教師可引導學生自主梳理類型，主要有：動手操作問題、圖表信息問題、數學探究問題；然后，以不同類型的典型題為例，組織專題復習。

（四）著眼發展，做好小初銜接

初中開展的綜合與實踐活動環節——選題、開題、做題、結題，是在小學的四個環節的基礎上提升的。小學生在綜合與實踐活動獲得的學習方法、解題策略，培養的應用能力，為以后的學習做好了儲備。在此基礎上，初中生獨立思考、自主探索以及解決問題的能力、手段、方式、方法才能有很大程度的提高。加上初中生更能有意識地體會到數學與他們的生活經驗、現實社會和其它學科的聯系以及數學知識內部的聯系，這就為第三學段綜合與實踐活動的開展提供了更廣闊的空間。