初中數學課堂教學中建模思想的滲透

■福建省仙游第一中學 林凱國

用數學方法構建數學模型解決問題的素養，是數學學科的核心素養之一。將數學建模作為核心素養并融入課程內容中是課程改革的一項重要舉措，能夠有效地改變教師教學方式和學生學習方式，為數學聯系現實世界提供了一種有效方式。

一、初中數學滲透建模思想的意義

初中數學滲透建模思想的意義主要體現在兩個方面，一是數學建模培養了學生的抽象能力。構建數學模型，從問題所包含的諸多要素中選擇建構某個數學概念或規律所需的要素，再對這些要素之間的關系進行綜合分析，將這些關系用數學的語言和方法，通過抽象、簡化的手段描述出來。二是建立數學模型解決問題就是讓學生對已學的知識進行合理應用，有利于學生應用能力的提升。事實上，數學源自生產實踐，與現實生活密切相關，幾乎所有科學領域都要用到數學知識。用數學思想方法解決現實問題，更加簡約、便捷和有效，數學建模的本質是用數學的思維思考世界。

二、初中階段常用的數學模型

1.方程（組）模型。將題目條件用數學語言轉化成方程，通過解方程解決實際問題。方程模型是最基本的數學模型之一，學生學會建立方程模型，就可以基于數量關系的角度對現實中貌似復雜實有規律的各種問題形成準確、清晰的認知。通常工程問題、行程問題都可以通過方程模型描述出來。

2.不等式（組）模型。從數量關系的角度分析問題，比方程模型更具有普遍性。不等式模型將題中的相關數據轉化成不等式問題，用以研究這些數量之間的大小關系和變化規律，不等式模型除了需要根據題意列出相關的代數式，常常還需要對代數式的值進行適當的縮小或放大，構建不等式模型解決實際問題。常見的方案選擇、市場營銷問題都可以通過構建不等式模型來解決。

3.函數模型。通過函數模型學生可以更好地理解數學問題中變量的變化情況，初步預測變量的變化規律。最大（小）值問題和大多數的動態圖形面積、動點運動問題、營銷策略問題都可以借助函數模型解決。

4.幾何模型。通過對圖形、圖形關系的抽象，運用幾何公式、定理進行運算、推理論證，研究它們的空間形式，構建幾何模型，表達現實世界的本質、關系和規律。

5.概率模型。用來描述各種事件發生的可能性的大小，包括古典概率、統計概率和圖形概率三種模型，用途非常廣泛。抽獎、博彩問題常用概率模型求解。

三、初中數學滲透建模思想的基本原則

教師在日常教學中滲透數學模型思想要遵循兩個原則。第一個原則是要充分了解數學思想方法、學會數學思維。數學思維包括兩種，一種是再現性思維，即對所學的知識進行復現，思考的結果是學生比較熟悉的或者是已知的；另一種是發現性思維，即需要針對所學知識有所創新。第二個原則要充分依托教材，重視數學活動的教學。教材是建模思想的基礎，歐幾里得幾何學本身是對現實世界的空間形式所提出的一個數學模型。教師要結合學情對教材進行加工整理、歸類，總結提煉解決問題的方法，在課堂上進行數學建模的指導，教會學生應用數學思維解決實際問題，從建模角度引導學生了解數學概念、公式的實際應用方法及數學思想背景，提高其知識應用能力。

四、初中數學課堂教學中建模思想的滲透策略

（一）培養學生的建模思想

構建數學模型是一個復雜的過程，初中教學中涉及需要建模的問題較少，學生還未產生將題目中多種不同的已知條件與要求整合起來進行分析的意識，因此教師要針對這一情況，由易到難建構數學模型，逐步培養學生的建模意識和思想。比如針對“銷售問題”，筆者設計了這樣一個題目：

“足球專賣店中有一種足球的標價為150 元，店家為了增加銷量，開展促銷活動，打八折出售，其銷售利潤為20%，求足球的進價是多少？”

學生開始解題時會直接用足球的價格乘以0.8計算出打折后的銷售價：150×0.8=120（元），再根據20%的利潤計算進價利潤與進價的問題在初中階段十分常見，這種解題思路就是一種典型的再現性思維，是對以往知識的復習與再現。教師可以借助數學模型培養學生的發現性思維。

分析題目中的已知條件“足球的定價為150 元，促銷活動是打8折銷售，利潤為20%。”指出“20%”實際上是商品銷售的利潤率，其計算公式（利潤率模型）為：商品銷售的利潤率＝利潤率模型是一種常見的簡單數學模型，因此教師可以引導學生利用這個模型求解。設足球的進價為 x 元，根據利潤率模型列出方程：

這種解法可以將已知的條件直觀地呈現出來，學生通過已知條件構建模型，能更深刻地體會到應用方程解決實際問題的實用性。

接著，對題目進行變式拓展處理，把題目中的“足球的銷售利潤為20%”改為“這種足球的銷售利潤降低了30%，但其銷量提高了2 倍”，問題改為“打折后店家的收益是增加了還是減少了？”或者進一步改變為“這種足球的銷售利潤降低了30%，為保證店家的利潤不降低，銷售量需要提高到原來的多少倍？”

改變后的題目，將“進價”隱性化，提高了解題的難度，但對應用利潤率模型解題的影響不大，襯托出模型的有效性、通用性，引導學生聯系生活，增加學生的經濟知識和經營意識。

（二）設計創新性的數學問題，營造良好的課堂氛圍

問題是激活學生思維的重要手段，科學的問題設計可以引導學生開闊思維，更好地推進教學活動的開展，因此教師在備課時就要吃透教材，立足教材，結合學生的認知發展情況，設計出具有開放性、啟發性的數學問題，引導學生在探索問題過程中強化自身的建模意識。比如下題：“已知市電視臺在學校的南偏西54°方向，發射塔建在電視臺的正北方向80km處的山上，小陳在學校測得發射塔在學校的北偏西36°方向，求學校到電視臺的距離。”

學生解題前，教師先做出提示：“本題中已知條件有哪些？是否能夠根據這些已知條件對題目進行簡化？”經過思考，學生可以意識到該問題是一個幾何模型，要先作圖得出一個直角三角形，再運用直角三角形知識求解。這類問題通過構建幾何模型使抽象的問題變得直觀、簡潔，學生理解起來更加容易，解決問題也更高效。

（三）強化學生應用數學模型解決現實問題的意識

數學源于生活又回歸生活，初中數學課程涉及很多日常生活中的實際問題，與生活息息相關的數學模型可以強化學生的建模意識，使其認識到數學知識的實用性，激發其學習興趣。比如在學習不等式的相關內容時，教師可以這樣設計題目：

“學校組織學生參加社會活動，旅游公司有大、小兩種客車可供租用，每輛50座的大客車日租金為500元，40座的小客車日租金為400元。學校計劃租用5輛客車，且要求租金不超過2200元，問：（1）最多可租多少輛大客車？（2）如果參加活動的師生一共205人，請設計出一個合理的租車方案。”

該題目具有多個已知條件，知識點分散，對于學生而言有一定難度，因此教師可以利用表格將已經條件呈現出來。

設租用50 座客車 x 輛，根據租金的限制，學生可以列出不等式

500x+400（5-x）≤2200，解得x≤2

根據不等式的解集和實際意義的限制，可確定x的取值范圍為0≤x≤2 ，由此得到第(1)題的答案。

第(2)題要考慮人數的要求，可直接利用(1)的模型，列出不等式

50x+40（5-x）≥205，解得x≥0.5

自然數x滿足的條件為1≤x≤2，從中可以得出合理（費用最低）方案。

接著，教師可提醒學生注意本題中數據的特殊關系：“兩種客車的座位數之比等于租金之比”，只要構建一個不等式模型就可以同時回答兩個問題。

這種設計既提高了課堂教學的趣味性，又能強化學生的建模意識。

五、初中數學教學滲透建模思想的應用實例

為更好地說明建模思想滲透于初中數學教學中的方法，下面以“解直角三角形”一課為例進行分析。

其一，進行復習回顧，通過復習直角三角形的邊角關系引出課程內容，使學生初步了解模型。其二，教師因勢利導，拋出以下問題：如何解直角三角形？求解時至少要知道直角三角形中的哪些元素？通過問題引出本節課的教學內容，啟發引導學生參照直角三角形全等的判定條件展開討論，通過對以前學過知識的重新認知，幫助學生充實直角三角形相關的知識體系，梳理和重構相關知識鏈，為后續構建數學模型打下基礎，起到承上啟下的作用。其三，教師進一步通過下面的例題設置情境，構建模型。

示例：學校需要測量旗桿的高度，可供使用的工具只有一卷皮尺和一個可測角度測角儀，測角儀的高度為1.5m，請設計一個測量方案并繪制出原理圖。

學生容易設計出如圖1所示的測量方案：用皮尺測量測角儀AB與旗桿CD 的距離CD＝a米，用測角儀測得旗桿頂端D的仰角α，由此算出旗桿的高度為(1.5+atanα)米。

圖1

這個方案中用到了“已知一角一邊解直角三角形”，學生還能設計出其他的測量方案，如測量旗桿底端C 的俯角β，通過“atanα+atanβ”計算出旗桿的高度(如下圖2所示)。

圖2

最后，教師進一步擴建模型：在同樣的條件下，你能夠測量出上海東方明珠塔的高度嗎？

雖然用第一種方案在理論上可以測量出東方明珠塔的高度，但是測角儀的高度僅有1.5m，與東方明珠塔高度相差懸殊，測量仰角和俯角時，會出現仰角過大或俯角過小的問題，產生較大的測量誤差，導致測量結果不具有參考意義，而且周邊建筑的遮擋也會直接影響測量結果。學生能思考到測量誤差的問題，說明學生已經考慮到方案的測量環境的限制，教師繼續引導：如果抬高測角儀的位置是否可行？學生容易想到，將測角儀放在另一座高樓樓頂，采用第二種方案進行測量，既減少了誤差，又可避免受其他建筑遮擋的影響。

隨著對問題的深入探究，學生了解了通過解直角三角形解決實際測高問題的方法，加上環境條件的限制可以引導學生優化測量方案，使學生感受到數學的實用性。此時，教師還需要注意引導學生由解單直角三角形向解具有一定聯系的雙直角三角形模型過渡，適時引出以下問題（如下圖3）：

圖3

如圖3，海岸線上有 A、B 兩個觀測點，B 在 A 正東方向20海里處。有一漁船C分別位于A、B的北偏東60°、30°方向上。如果漁船以50海里/小時的速度靠近海岸線，求漁船到達海岸線的最短時間 ( 3 取1.7，結果保留一位小數)。

題中隱藏著兩個共邊的直角三角形，根據雙直角三角形的邊角關系，應用方程模型不難求解。教師通過改變點C的位置，可以引出“共邊雙直角三角形”這一基本圖形在實際應用中常見的兩種模型（圖4）。

圖4

有了上面的建模知識儲備，教師就可以組織學生開展課后數學活動：用卷尺和測角儀測量電視臺建在山上的發射塔的高度，或者仿照上述海岸線觀測站觀測行船只的情況，利用所學知識設計一套檢測汽車行駛速度的方案。最后，組織方案評價活動，評選最優方案。

這一系列問題環環相扣，步步推進，學生真正地體會到解直角三角形相關知識在實際測量中的可操作性和實用性，學生通過參加數學建模實踐，獲得課堂教學中無法得到的活動經驗，促使他們更好地應用數學。

綜上所述，在指導學生進行數學建模時，教師要善于引導學生發現現實中與數學相關的問題，幫助他們嘗試并最終用數學的語言對問題進行描述，合理選擇恰當的數學模型進行刻畫和解決問題，幫助學生積累和感悟數學實踐的經驗，培養學生的科學精神和創新意識。